2024年江蘇省泰州市中考數學模擬試題及答案

這是一份2024年江蘇省泰州市中考數學模擬試題及答案，共32頁。試卷主要包含了考試時間等內容，歡迎下載使用。
請注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩個部分．
2．所有試題的答案均填寫在答題卡上，答案寫在試卷上無效．
3．作圖必須用2B鉛筆，并請加黑加粗．
4．考試時間：120分鐘 滿分150分．
第一部分 選擇題(區(qū)18分)
一、選擇題：(本大題共有6小題，第小題3分，共18分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上)
1.-2的倒數是( )
A. -2B. C. D. 2
2.把如圖所示的紙片沿著虛線折疊，可以得到的幾何體是( )
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 三棱錐D. 四棱錐
3.下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.如圖，電路圖上有個開關、、、和個小燈泡，同時閉合開關、或同時閉合開關、都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是( )
A. 只閉合個開關B. 只閉合個開關C. 只閉合個開關D. 閉合個開關
5.點在函數的圖像上，則代數式的值等于( )
A. B. C. D.
6.如圖，半徑為的扇形中，，為上一點，，，垂足分別為、．若為，則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
第二部分 非選擇題(共132分)
二、填空題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上)
7.9的平方根是_________．
8.因式分解： ．
9.據新華社年月日消息，全國各地和軍隊約名醫(yī)務人員支援湖北抗擊新冠肺炎疫情，將用科學計數法表示_______．
10.方程兩根為、則的值為______．
11.今年月日是第個全國愛眼日，某校從八年級隨機抽取名學生進行了視力調查，并根據視力值繪制成統(tǒng)計圖(如圖)，這名學生視力的中位數所在范圍是______．
12.如圖，將分別含有、角一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中角的度數為_______．
13.以水平數軸的原點為圓心過正半軸上的每一刻度點畫同心圓，將逆時針依次旋轉、、、、得到條射線，構成如圖所示的“圓”坐標系，點、的坐標分別表示為、，則點的坐標表示為_______．
14.如圖，直線，垂足為，點在直線上，，為直線上一動點，若以為半徑的與直線相切，則的長為_______．
15.如圖所示的網格由邊長為個單位長度的小正方形組成，點、、、在直角坐標系中的坐標分別為，，，則內心的坐標為______．
16.如圖，點在反比例函數的圖像上且橫坐標為，過點作兩條坐標軸的平行線，與反比例函數的圖像相交于點、，則直線與軸所夾銳角的正切值為______．
三、解答題(本大題共有10題，共102分，請在答題卡規(guī)定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(1)計算：
(2)解不等式組：
18.年月日起，公安部在全國開展“一盔一帶”安全守護行動．某校小交警社團在交警帶領下，從月日起連續(xù)天，在同一時段對某地區(qū)一路口的摩托車和電動自行車騎乘人員佩戴頭盔情況進行了調查，并將數據繪制成圖表如下：
年月日月日騎乘人員頭盔佩戴率折線統(tǒng)計圖
年月日騎乘人員頭盔佩戴情況統(tǒng)計表
(1)根據以上信息，小明認為月日該地區(qū)全天摩托車騎乘人員頭盔佩戴率約為．你是否同意他的觀點？請說明理由；
(2)相比較而言，你認為需要對哪類人員加大宣傳引導力度？為什么？
(3)求統(tǒng)計表中的值．
19.一只不透明袋子中裝有個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學習小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出個球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復這個過程，獲得數據如下：
(1)該學習小組發(fā)現，摸到白球的頻率在一個常數附近擺動，這個常數是______(精確到)，由此估出紅球有______個．
(2)現從該袋中摸出個球，請用樹狀圖或列表方法列出所有等可能的結果，并求恰好摸到個白球，個紅球的概率．
20.近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程的普通道路，路線包含快速通道，全程，走路線比走路線平均速度提高，時間節(jié)省，求走路線的平均速度．
21.如圖，已知線段，點在平面直角坐標系內，
(1)用直尺和圓規(guī)在第一象限內作出點，使點到兩坐標軸的距離相等，且與點的距離等于．(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)在(1)的條件下，若，點的坐標為，求點的坐標．
22.我市在鳳城河風景區(qū)舉辦了端午節(jié)賽龍舟活動，小亮在河畔一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來，他在高出水面的處測得在處的龍舟俯角為；他登高到正上方的處測得駛至處的龍舟俯角為，問兩次觀測期間龍舟前進了多少？(結果精確到，參考數據：，，，)
23.如圖，在中，，，，為邊上的動點(與、不重合)，，交于點，連接，設，的面積為．
(1)用含的代數式表示的長；
(2)求與的函數表達式，并求當隨增大而減小時的取值范圍．
24.如圖，在中，點為的中點，弦、互相垂直，垂足為，分別與、相交于點、，連接、．
(1)求證：為的中點．
(2)若的半徑為，的度數為，求線段的長．
25.如圖，正方形的邊長為，為的中點，為等邊三角形，過點作的垂線分別與邊、相交于點、，點、分別在線段、上運動，且滿足，連接．
(1)求證：．
(2)當點在線段上時，試判斷的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由．
(3)設，點關于的對稱點為，若點落在的內部，試寫出的范圍，并說明理由．
26.如圖，二次函數、的圖像分別為、，交軸于點，點在上，且位于軸右側，直線與在軸左側的交點為．
(1)若點的坐標為，的頂點坐標為，求的值；
(2)設直線與軸所夾的角為．
①當，且為的頂點時，求的值；
②若，試說明：當、、各自取不同的值時，的值不變；
(3)若，試判斷點是否為的頂點？請說明理由．
泰州市2024年初中學業(yè)水平測試
數學試題
請注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩個部分．
2．所有試題的答案均填寫在答題卡上，答案寫在試卷上無效．
3．作圖必須用2B鉛筆，并請加黑加粗．
4．考試時間：120分鐘 滿分150分．
第一部分 選擇題(區(qū)18分)
一、選擇題：(本大題共有6小題，第小題3分，共18分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上)
1.-2的倒數是( )
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根據倒數的定義求解.
【詳解】-2的倒數是-
故選B
【點睛】本題難度較低，主要考查學生對倒數相反數等知識點的掌握
2.把如圖所示的紙片沿著虛線折疊，可以得到的幾何體是( )
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 三棱錐D. 四棱錐
【答案】A
【解析】
【分析】
根據折線部分折回立體圖形判斷即可.
【詳解】由圖形折線部分可知,有兩個三角形面平行,三個矩形相連,可知為三棱柱.
故選A.
【點睛】本題考查折疊與展開相關知識點,關鍵在于利用空間想象能力折疊回立體圖形.
3.下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據二次根式的運算法則即可逐一判斷．
【詳解】解：A、3和不能合并，故A錯誤；
B、，故B錯誤；
C、，故C錯誤；
D、，正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關鍵是掌握基本的運算法則．
4.如圖，電路圖上有個開關、、、和個小燈泡，同時閉合開關、或同時閉合開關、都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是( )
A. 只閉合個開關B. 只閉合個開關C. 只閉合個開關D. 閉合個開關
【答案】B
【解析】
【分析】
觀察電路發(fā)現，閉合或閉合或閉合三個或四個，則小燈泡一定發(fā)光，從而可得答案．
【詳解】解：由小燈泡要發(fā)光，則電路一定是一個閉合的回路，
只閉合個開關，小燈泡不發(fā)光，所以是一個不可能事件，所以A不符合題意；
閉合個開關，小燈泡發(fā)光是必然事件，所以D不符合題意；
只閉合個開關，小燈泡有可能發(fā)光，也有可能不發(fā)光，所以B符合題意；
只閉合個開關，小燈泡一定發(fā)光，是必然事件，所以C不符合題意．
故選B．
【點睛】本題結合物理知識考查的是必然事件，不可能事件，隨機事件的概念，掌握以上知識是解題的關鍵．
5.點在函數的圖像上，則代數式的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把代入函數解析式得，化簡得，化簡所求代數式即可得到結果；
【詳解】把代入函數解析式得：，
化簡得到：，
∴．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了通過函數解析式與已知點的坐標得到式子的值，求未知式子的值，準確化簡式子是解題的關鍵．
6.如圖，半徑為的扇形中，，為上一點，，，垂足分別為、．若為，則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本題可通過做輔助線，利用矩形性質對角線相等且平分以及等面積性，利用扇形ABC面積減去扇形AOC面積求解本題．
【詳解】連接OC交DE為F點，如下圖所示：
由已知得：四邊形DCEO為矩形．
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面積等于△DCO面積．
．
故選：A．
【點睛】本題考查幾何面積求法，在扇形或圓形題目中，需要構造輔助線利用割補法，即大圖形面積減去小圖形面積求解題目，扇形面積公式為常用工具．
第二部分 非選擇題(共132分)
二、填空題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上)
7.9的平方根是_________．
【答案】±3
【解析】
分析：根據平方根的定義解答即可．
詳解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案為±3．
點睛：本題考查了平方根的定義，注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．
8.因式分解： ．
【答案】
【解析】
【詳解】解：=；
故答案為
9.據新華社年月日消息，全國各地和軍隊約名醫(yī)務人員支援湖北抗擊新冠肺炎疫情，將用科學計數法表示為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
科學記數法的形式是： ，其中＜10，為整數．所以，取決于原數小數點的移動位數與移動方向，是小數點的移動位數，往左移動，為正整數，往右移動，為負整數。本題小數點往左移動到4的后面，所以
【詳解】解：
故答案為：
【點睛】本題考查的知識點是用科學記數法表示絕對值較大的數，關鍵是在理解科學記數法的基礎上確定好的值，同時掌握小數點移動對一個數的影響．
10.方程的兩根為、則的值為______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接根據韋達定理x1·x2=可得．
【詳解】解：∵方程的兩根為x1、x2，
∴x1·x2==-3，
故答案為：-3．
【點睛】本題主要考查韋達定理，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，則x1+x2=?，x1·x2=．
11.今年月日是第個全國愛眼日，某校從八年級隨機抽取名學生進行了視力調查，并根據視力值繪制成統(tǒng)計圖(如圖)，這名學生視力的中位數所在范圍是______．
【答案】4.65-4.95．
【解析】
【分析】
根據頻率直方圖的數據和中位數概念可知，在這50個數據的中位數位于第四組，據此求解即可．
【詳解】解：由中位數概念知道這個數據位于中間位置，共50個數據，根據頻率直方圖的數據可知，中位數位于第四組，即這名學生視力的中位數所在范圍是4.65-4.95．
故答案為：4.65-4.95．
【點睛】本題考查學生對頻率直方圖認識和應用，以及對中位數的理解，熟悉相關性質是解題的關鍵．
12.如圖，將分別含有、角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中角的度數為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
如圖，首先標注字母，利用三角形的內角和求解，再利用對頂角的相等，三角形的外角的性質可得答案．
【詳解】解：如圖，標注字母，
由題意得：




故答案為：
【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
13.以水平數軸的原點為圓心過正半軸上的每一刻度點畫同心圓，將逆時針依次旋轉、、、、得到條射線，構成如圖所示的“圓”坐標系，點、的坐標分別表示為、，則點的坐標表示為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據同心圓的個數以及每條射線所形成的角度，以及A，B點坐標特征找到規(guī)律，即可求得C點坐標．
【詳解】解：圖中為5個同心圓，且每條射線與x軸所形成的角度已知，、的坐標分別表示為、，根據點的特征，所以點的坐標表示為；
故答案為：．
【點睛】本題考查坐標與旋轉的規(guī)律性問題，熟練掌握旋轉性質，并找到規(guī)律是解題的關鍵．
14.如圖，直線，垂足為，點在直線上，，為直線上一動點，若以為半徑的與直線相切，則的長為_______．
【答案】3或5
【解析】
【分析】
根據切線的性質可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
【詳解】∵
∴與直線相切，OH=1
當在直線a的左側時，OP=PH-OH=4-1=3；
當在直線a的右側時，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案為3或5．
【點睛】此題主要考查切線的性質，解題的關鍵是根據題意分情況討論．
15.如圖所示的網格由邊長為個單位長度的小正方形組成，點、、、在直角坐標系中的坐標分別為，，，則內心的坐標為______．
【答案】(2，3)
【解析】
【分析】
根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，計算出△ABC各邊的長度，易得該三角形是直角三角形，設BC的關系式為：y=kx+b，求出BC與x軸的交點G的坐標，證出點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，三角形的內心在BD上，設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到點M的坐標．
【詳解】解：根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，
根據題意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
設BC的關系式為：y=kx+b，
代入B，C，
可得，
解得：，
∴BC：，
當y=0時，x=3，即G(3,0)，
∴點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，
設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形MEAF為正方形，
S△ABC=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B(-3，3)，
∴M(2，3)，
故答案為：(2，3)．
【點睛】本題考查三角形內心、平面直角坐標系、一次函數的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質等相關知識點，把握內心是三角形內接圓的圓心這個概念，靈活運用各種知識求解即可．
16.如圖，點在反比例函數的圖像上且橫坐標為，過點作兩條坐標軸的平行線，與反比例函數的圖像相交于點、，則直線與軸所夾銳角的正切值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意，先求出點P的坐標，然后表示出點A和點B的坐標，即可求出答案．
【詳解】解：∵點在反比例函數的圖像上且橫坐標為，
∴點P的坐標為：(1，3)，
如圖，AP∥x軸，BP∥y軸，
∵點A、B在反比例函數的圖像上，
∴點A為()，點B為(1，)，
∴直線與軸所夾銳角的正切值為：
；
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合，解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握反比例函數的性質與一次函數的性質進行解題．
三、解答題(本大題共有10題，共102分，請在答題卡規(guī)定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(1)計算：
(2)解不等式組：
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)應用零指數冪、負指數冪和特殊角三角函數值化簡求值即可；
(2)分別求出兩個不等式的解集即可得到結果；
【詳解】(1)原式=．
(2)解不等式得；
解不等式得；
綜上所述，不等式組的解集為：．
【點睛】本題主要考查了實數的運算及不等式組的求解，計算準確是解本題的關鍵．
18.年月日起，公安部在全國開展“一盔一帶”安全守護行動．某校小交警社團在交警帶領下，從月日起連續(xù)天，在同一時段對某地區(qū)一路口的摩托車和電動自行車騎乘人員佩戴頭盔情況進行了調查，并將數據繪制成圖表如下：
年月日月日騎乘人員頭盔佩戴率折線統(tǒng)計圖
年月日騎乘人員頭盔佩戴情況統(tǒng)計表
(1)根據以上信息，小明認為月日該地區(qū)全天摩托車騎乘人員頭盔佩戴率約為．你是否同意他的觀點？請說明理由；
(2)相比較而言，你認為需要對哪類人員加大宣傳引導力度？為什么？
(3)求統(tǒng)計表中的值．
【答案】(1)不同意，理由見解析；(2)應該對騎電動自行車騎乘人員加大宣傳引導力度，理由見解析；(3)．
【解析】
【分析】
(1)根據本次調查是從月日起連續(xù)天，在同一時段對某地區(qū)一路口的摩托車和電動自行車騎乘人員佩戴頭盔情況進行了調查，可知數據代表比較單一，沒有普遍性，據此判斷即可；
(2)由折線統(tǒng)計圖可知，騎電動自行車騎乘人員戴頭盔率比摩托車騎乘人員頭盔佩戴率要低很多，據此判斷即可；
(3)由折線統(tǒng)計圖可知，騎電動自行車騎乘人員不戴頭盔率為55%，則有，據此求解即可．
【詳解】解：(1)不同意。
由題目可知，本次調查是從月日起連續(xù)天，在同一時段對某地區(qū)一路口的摩托車和電動自行車騎乘人員佩戴頭盔情況進行了調查，數據代表比較單一，沒有普遍性，故不能代表月日該地區(qū)全天摩托車騎乘人員頭盔佩戴率；
(2)由折線統(tǒng)計圖可知，騎電動自行車騎乘人員戴頭盔率比摩托車騎乘人員頭盔佩戴率要低很多，故應該對騎電動自行車騎乘人員加大宣傳引導力度；
(3)由折線統(tǒng)計圖可知，年月日騎電動自行車騎乘人員戴頭盔率為45%，則騎電動自行車騎乘人員不戴頭盔率為：1-45%=55%，
∴
∴．
【點睛】本題考查了統(tǒng)計表和折線統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．
19.一只不透明袋子中裝有個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學習小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出個球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復這個過程，獲得數據如下：
(1)該學習小組發(fā)現，摸到白球的頻率在一個常數附近擺動，這個常數是______(精確到)，由此估出紅球有______個．
(2)現從該袋中摸出個球，請用樹狀圖或列表的方法列出所有等可能的結果，并求恰好摸到個白球，個紅球的概率．
【答案】(1)0.33，2；(2)．
【解析】
【分析】
(1)通過表格中的數據，隨著次數的增多，摸到白球的頻率越穩(wěn)定在0.33左右，進而得出答案；利用頻率估計概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的計算公式即可得出紅球的個數；
(2)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與摸到一個白球一個紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】解：(1)隨著摸球次數的越來越多，頻率越來越靠近0.33，因此接近的常數就是0.33；
設紅球由個，由題意得：
，解得：，經檢驗：是分式方程的解；
故答案為：0.33，2；
(2)畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結果，摸到一個白球，一個紅球有4種情況，
∴摸到一個白球一個紅球的概率為：；
故答案為：．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率的方法，理解頻率、概率的意義以及頻率估計概率的方法是解決問題的關鍵；還考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A的概率．
20.近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程的普通道路，路線包含快速通道，全程，走路線比走路線平均速度提高，時間節(jié)省，求走路線的平均速度．
【答案】75km/h
【解析】
【分析】
根據題意，設走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，由等量關系列出方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，則
，
解得：，
檢驗：當時，，
∴是原分式方程的解；
∴走路線的平均速度為：(km/h)；
【點睛】本題考查分式方程的應用，以及理解題意的能力，解題的關鍵是以時間做為等量關系列方程求解．
21.如圖，已知線段，點在平面直角坐標系內，
(1)用直尺和圓規(guī)在第一象限內作出點，使點到兩坐標軸的距離相等，且與點的距離等于．(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)在(1)的條件下，若，點的坐標為，求點的坐標．
【答案】(1)見解析；(2)P(5,5)．
【解析】
【分析】
(1)作第一象限的平分線OM，再以點A為圓心，a為半徑畫弧，交OM于點P即可；
(2)根據題意，設點P(t，t)，再根據兩點之間的距離公式列出方程即可解答．
【詳解】解：(1)如圖所示，作第一象限的平分線OM，再以點A為圓心，a為半徑畫弧，交OM于點P，則點P為所求；
(2)∵點P到兩坐標軸的距離相等，且在第一象限，
∴設點P(t，t)，
則AP=，
解得：t=5或t=-1(舍去)，
∴P(5,5)．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖以及兩點之間的距離公式，解題的關鍵是讀懂題意，明確如何作圖能滿足題意．
22.我市在鳳城河風景區(qū)舉辦了端午節(jié)賽龍舟活動，小亮在河畔的一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來，他在高出水面的處測得在處的龍舟俯角為；他登高到正上方的處測得駛至處的龍舟俯角為，問兩次觀測期間龍舟前進了多少？(結果精確到，參考數據：，，，)
【答案】兩次觀測期間龍舟前進了18米．
【解析】
【分析】
設BA與CD的延長線交于點O，由題意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的長度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的長度即可．
【詳解】解：設BA與CD的延長線交于點O，
根據題意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：兩次觀測期間龍舟前進了18米．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，要理解俯角概念，并且熟練掌握解直角三角形的方法．
23.如圖，在中，，，，為邊上的動點(與、不重合)，，交于點，連接，設，的面積為．
(1)用含的代數式表示的長；
(2)求與的函數表達式，并求當隨增大而減小時的取值范圍．
【答案】(1)AD=；(2) ，2≤x＜4.
【解析】
【分析】
(1)由比例求出CD與CP的關系式,再求出AD.
(2)把AD當作底,CP當作高,利用三角形面積公式求出S與x的函數表達式,再由條件求出范圍即可.
【詳解】(1)∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=x,
∴,即.
∴.
∴AD=.
(2).
對稱軸為,二次函數開口向下,
∴S隨x增大而減小時x的取值為2≤x＜4.
【點睛】本題考查三角形動點問題和二次函數圖象問題,關鍵在于熟練掌握基礎運算方法.
24.如圖，在中，點為中點，弦、互相垂直，垂足為，分別與、相交于點、，連接、．
(1)求證：為的中點．
(2)若的半徑為，的度數為，求線段的長．
【答案】(1)證明見詳解；(2)．
【解析】
【分析】
(1)通過同弧或等弧所對的圓周角相等，結合、互相垂直，證明，可得結果；
(2)連接AC，OA，OB，AB，證明M為AE中點，得MN為的中位線，結合的度數為90°，半徑為8，得到AB的長度，進而得到MN長度．
【詳解】(1)∵點為的中點
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴°
在和中
∴
∴
∴點N為BE中點
(2)連接CA，AB，OA，OB，如圖所示：
∵點為的中點
∴
在和中
∴
∴，即M為AE中點
∵N為BE中點
∴MN為的中位線
又∵的半徑為，的度數為
∴，OA=OB=8
∴
∴
【點睛】本題考查了利用圓周角定理的性質結合全等三角形證明中點問題，同時考查了直角三角形的邊長的計算，及中位線的作用，熟知以上知識是解題的關鍵．
25.如圖，正方形的邊長為，為的中點，為等邊三角形，過點作的垂線分別與邊、相交于點、，點、分別在線段、上運動，且滿足，連接．
(1)求證：．
(2)當點在線段上時，試判斷的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由．
(3)設，點關于的對稱點為，若點落在的內部，試寫出的范圍，并說明理由．
【答案】(1)證明見詳解；(2)不變，；(3)當時，點落在的內部．
【解析】
【分析】
(1)由“”可證；
(2)連接，過點作于，由“”可證，可得，，，由直角三角形的性質可求，由銳角三角函數可求，由全等三角形的性質可求，即可求；
(3)當點落在上時，，當點落在上時，分別求出點落在上和上時的值，即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形，
∴，,
∴,
∴
即有：，
∵四邊形是正方形，
∴
在和中
∴
(2)的值不變，
理由如下：如圖1，連接，過點作于，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
(3)當點落在上時，如圖2示，
，
，
，
是等邊三角形，
當點落在上時，點關于的對稱點為，
△，
點與點重合，點與點重合，
，
如圖3，當點落在上時，
同理可求：，
綜上所述，當時，點落在的內部．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
26.如圖，二次函數、的圖像分別為、，交軸于點，點在上，且位于軸右側，直線與在軸左側的交點為．
(1)若點的坐標為，的頂點坐標為，求的值；
(2)設直線與軸所夾的角為．
①當，且為的頂點時，求的值；
②若，試說明：當、、各自取不同的值時，的值不變；
(3)若，試判斷點是否為的頂點？請說明理由．
【答案】(1)；(2)①；②見解析；(3)點A是C1的頂點，理由見解析．
【解析】
【分析】
(1)將頂點坐標為和點P的坐標代入中即可解答；
(2)①如圖所示，過點A作AM⊥y軸于點M，得到△MAP為等腰直角三角形，從而確定P(0，n-m)，代入化簡即可；
②將x=0代入，得到，再求出A，B的坐標，表達出PA，PB即可解答；
(3)如圖所示，過點P作CD∥x軸，過點B作BD⊥CD于點D，過點A作AC⊥CD于點C，得到△BDP∽△ACP，設，根據PA=2PB，得到CP=2PD=-2x，AC=2BD=，確定點A的坐標，代入，解出x，進而得到即可．
【詳解】解：(1)∵頂點坐標為，
∴，
將點P(0,2)代入得：，
解得：；
(2)①由題意可知，，
如圖所示，過點A作AM⊥y軸于點M，則M(0，n)，MA=m，
∵直線與軸所夾的角為，
∴△MAP為等腰直角三角形，
∴MA=MP=m，
∴OP=n-m，
∴P(0，n-m)，代入得：，
解得：；
②如圖所示，當時，
將x=0代入，得，
∴，
當時，，
解得：，
∴，
∴AP=2m，
當時，即，
解得：，
∵點B在y軸左側，
∴，
∴PB=，
∴，不變．
(3)如圖所示，過點P作CD∥x軸，過點B作BD⊥CD于點D，過點A作AC⊥CD于點C，
則BD∥AC，
∴△BDP∽△ACP，
設，則PD=-x，BD=，
∵PA=2PB，
∴CP=2PD=-2x，AC=2BD=，
∴，
代入得：，
化簡得：，解得：，(舍去)，
∴，則點A是C1的頂點．
【點睛】本題考查了二次函數與幾何綜合問題，涉及了二次函數的圖象和性質，相似三角形的判定和性質，難度較大，計算量較多，解題的關鍵是綜合運用二次函數和幾何知識進行推理．