1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、座位號和考生號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．用2B鉛筆將考生號、座位號填涂在答題卡相應(yīng)位置上．
2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列直線中，傾斜角小于的直線是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)所求直線的傾斜角為，
則，其斜率為.
對于A選項，直線的斜率為，不合乎要求；
對于B選項，直線的斜率為，不合乎要求；
對于C選項，直線的傾斜角為，不合乎要求；
對于D選項，直線斜率為，合乎要求.
故選：D.
2. 已知數(shù)列滿足，（），則（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】因為，（），
所以.
故選：B.
3. 如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意，
.
故選：A.
4. 若橢圓（）與雙曲線的焦點相同，則的值為（ ）
A. 25B. 16C. 5D. 4
【答案】C
【解析】雙曲線的焦點為，
因為橢圓（）與雙曲線的焦點相同，
所以，解得.
故選：C.
5. 已知空間三點、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為空間三點、、，則，，
所以，，，，
所以，，
因為，
則，
所以，以、為鄰邊的平行四邊形的面積為.
故選：D.
6. 在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率，每次接觸過程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為3天，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到99人大約需要（ ）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 6天B. 15天C. 18天D. 21天
【答案】C
【解析】設(shè)第輪感染的人數(shù)為，
則數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，
由，
解得，
兩邊取對數(shù)可得，，
得，
故需要的天數(shù)約為.
故選：C.
7. 已知拋物線C：（）的焦點為F，直線l與C相交于A、B兩點，與y軸相交于點E．已知，，若的面積是面積的2倍，則拋物線C的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，過分別作的準線的垂線交軸于點，
則，故，
因為的準線為，所以，，
所以，解得，
故拋物線C的方程為.
故選：B.
8. 高8m和4m的兩根旗桿筆直地豎立在水平地面上，且相距6m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為（ ）
A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)高8m和4m的兩根旗桿分別為，觀測點為點，
則，故，
所以，
所以，
如圖，在平面中，以點的中點為原點建立平面直角坐標系，
則，
設(shè)Px,y，
則，
化簡得，為圓，
所以地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為圓.
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
9. 已知雙曲線C的方程為，則（ ）
A. 雙曲線C的焦點坐標為，
B. 雙曲線C的漸近線方程為
C. 雙曲線C的離心率為
D. 雙曲線C上的點到焦點的距離的最小值為1
【答案】ACD
【解析】對于A：由雙曲線，則，即，
所以雙曲線的焦點坐標為，故A正確；
對于B：雙曲線的漸近線方程為，故B錯誤；
對于C：雙曲線C的離心率，故C正確；
對于D：雙曲線C上的點到焦點的距離的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知圓：，直線：（），則（ ）
A. 直線l恒過定點
B. 直線l被圓C截得的最長弦長為10
C. 當時，直線l被圓C截得的弦長最短
D. 當時，圓C上恰有3個點到直線l的距離等于4
【答案】AB
【解析】對于A，直線的方程變形為：，
令，解得，
所以直線l恒過定點，故A正確；
對于B，圓的圓心，半徑，
當直線過圓心時，弦長最長為，故B正確；
對于C，當時，弦長最短，
此時，解得，故C錯誤；
對于D，當時，直線：，
此時圓心到直線的距離，
而，
所以當時，圓C上有4個點到直線l距離等于4，故D錯誤.
故選：AB.
11. 已知公差不為等差數(shù)列的前項和為，，，則的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，其前項和為，，，
則當時，，當時，，只需，
可得，所以，，則，
所以，，故選：BC.
12. 已知正四面體的棱長為2，點分別為和的重心，為線段上一點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線與所成角的大小為
B. 點到直線的距離為
C. 直線與平面間的距離為
D. 若平面，則三棱錐外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】將正四面體放入正方體中，
以點為原點，，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，

因為正四面體的長為2，
所以正方體的棱長為，
則，，，，
因為點分別為和的重心，
所以點的坐標為，點的坐標為
所以，
設(shè)，
則，
所以，
所以，
對于A，，
則，
所以直線與所成角的余弦值為，
又直線與所成角的范圍為，
所以直線與所成角的大小為，故A正確；
對于B，，
設(shè)直線所成的角為，
則，
所以，
所以點到直線的距離為，故B正確；
對于C，設(shè)平面的一個法向量為，
因為，，
所以，取，則，
因為，且直線平面，
所以直線平面，
所以點到平面的距離就是直線到平面的距離，
則點到平面的距離，
即直線到平面的距離為，故C錯誤；
對于D，因為平面，平面，所以，
則，
即，解得，
則，
設(shè)的重心為，則，
故，
則，所以，
又平面，
所以平面，
又因為點為等邊三角形的重心，
所以點為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，
則三棱錐外接球的球心在直線上，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，
則，即，解得，
所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則的公比為______.
【答案】
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，對任意的，，則，
因為，則，可得，
因為，解得，因此，數(shù)列的公比為.
故答案為：.
14. 已知直線與互相平行，則這兩條直線間的距離是______.
【答案】
【解析】因為直線與平行，則，解得，
所以，這兩條平行直線的方程分別為、，
故這兩條平行間的距離為.故答案為：.
15. 如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水面下降0.5米后，水面寬______米．
【答案】
【解析】如圖建立直角坐標系，設(shè)拋物線方程為，
將代入，得，
，代入，得，
故水面寬為．
故答案為：
16. 在棱長為的正方體中，點、分別是梭、的中點，是側(cè)面上的動點，且平面，則點的軌跡長為______，點到直線的距離的最小值為______.
【答案】；
【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，如下圖所示：
則A0,0,0、、、，
因為點是側(cè)面上的動點，設(shè)點，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，
則，取，可得，且，
因為平面，則，即，
可得，分別取線段、的中點、，
所以，點的軌跡為線段，
故點的軌跡長為，
，由，可得，
，
所以，點到直線的距離為
，
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，當時，取最小值，且.
故答案為：；.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知數(shù)列的前n項和公式為（）．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
解：（1）當時，，
當時，，
顯然時，，滿足要求，
綜上，；
（2），
則，
所以為等差數(shù)列，
故；
18. 在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)的圖象與坐標軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若經(jīng)過點1,4的直線l被圓C截得的弦長為4，求直線l的方程．
解：（1）令得與軸的交點為，
令，即，解得，或，可得
與軸的交點為，，
設(shè)圓C的方程為，
所以，解得，
所以圓C的方程為；
（2）圓C的方程為，圓心為，半徑為，
當直線l的斜率不存在時，可得方程為，
被圓C截得的弦長為，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以直線l被圓C截得的弦長為，解得，
直線l的方程為，即.
綜上所述，直線l的方程為，或.
19. 如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．

（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面ABD夾角的余弦值．
解：（1）由題意知，則，
故，又，且平面，
故平面，而平面，
故平面平面；
（2）作，垂足為E，在平面內(nèi)過點E作，交于F，連接，
則即為平面與平面ABD夾角或其補角，

由題意知，，
故，，
又在中，，
則，
則，
又平面，平面，故，
則，
故，即，
在中，,
故平面與平面ABD夾角的余弦值為．
20. 在平面直角坐標系中，動圓C經(jīng)過定點，且與定直線l：相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）經(jīng)過點F的直線與動圓圓心C的軌跡分別相交于A，B兩點，點P在直線l上且BP∥x軸，求證：直線AP經(jīng)過原點O．
解：（1）設(shè)點與直線l：相切的切點為，則，即動點C到定點和定直線l：的距離相等，點C軌跡且以為焦點，以直線l：為準線的拋物線，，故動圓圓心C的軌跡方程是；
（2）由題意，可知直線斜率不為0，
設(shè)直線的方程為：，Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立方程組，得，則，所以，
則，所以，，
所以直線AP經(jīng)過原點O．
21. 如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，M是的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）若平面，，，點P為線段上一點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
解：（1）因為，，所以四邊形為平行四邊形，故,
又平面，平面,所以平面；
連接交于N，連接，因為四邊形是正方形，故N為中點，
M是的中點，在中，有，平面，平面,
所以平面，且平面，平面,,
所以平面平面.
（2）如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)，，
則，又M是的中點，
故,，因為，
所以，解得，設(shè)，因點P為線段上一點，
則，即，
故，所以，
又，設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
令，則，
即，設(shè)直線與平面所成角為，
則
當時，
設(shè)，，所以，
當時，所以，
當時，，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
22. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，．
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知直線與橢圓分別相交于、兩點，且線段的中點為，若橢圓上存在點，滿足，求橢圓的方程．
解：（1）因為，且，可得，，
因為，由勾股定理可得，即，
可得，故該橢圓的離心率為.
（2）設(shè)Ax1,y1、Bx2,y2、，
由，得，所以，所以
則，即，
由于、在橢圓上，則，，①
由，得，即，
由在橢圓上，則，即，
即，②
將①代入②得：，③
若直線的斜率不存在，則線段的中點在軸上，不合乎題意，
因為線段的中點為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，
所以，
其中，
解得，
所以，直線方程為，
又，④
將④代入③得：，經(jīng)檢驗滿足，
所以橢圓的方程為.

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