一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）
A．2B．C．1D．
3．已知平面向量的夾角為，且，，則（ ）
A．1B．2C．D．4
4．若為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，則
5．下列四組數(shù)據(jù)中，方差最小的為（ ）
A．B．
C．D．
6．早在兩千年前，古人就通過觀測發(fā)現(xiàn)地面是球面，并會運(yùn)用巧妙的方法對地球半徑進(jìn)行估算.如圖所示，把太陽光視為平行光線，O為地球球心，A，B為北半球上同一經(jīng)度的兩點，且A，B之間的經(jīng)線長度為L，于同一時刻在A，B兩點分別豎立一根長桿和，通過測量得到兩根長桿與太陽光的夾角和（和的單位為弧度），由此可計算地球的半徑為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知拋物線的弦的中點橫坐標(biāo)為5，則的最大值為（ ）
A．12B．11C．10D．9
二、多選題
9．已知直線和圓，則（ ）
A．直線l恒過定點（2，0）
B．存在k使得直線l與直線垂直
C．直線l與圓O相交
D．若，直線l被圓O截得的弦長為
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù)
B．的最小正周期為
C．在上單調(diào)遞增
D．的最小值為
11．設(shè)曲線，拋物線，記拋物線的焦點為，，為分別為曲線，上的動點，為曲線的切線，則（ ）
A．若與無公共點，則
B．若過點，則被截得的弦長為
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，
三、填空題
12．雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線右支上，若，則 .
13．在中，已知，，則 .
14．有三個袋子，每個袋子都裝有個球，球上分別標(biāo)有數(shù)字.現(xiàn)從每個袋子里任摸一個球，用分別表示從第一，第二，第三個袋子中摸出的球上所標(biāo)記的數(shù)，則事件“”的概率為 .
四、解答題
15．已知等差數(shù)列滿足，是關(guān)于的方程的兩個根.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項和.
16．在中，角的對邊分別為，為邊上的中線.
(1)證明：；
(2)若，，求的最大值.
17．如圖，在四棱錐中，平面，，，.
(1)證明：；
(2)若四棱錐的外接球的表面積為，求二面角的余弦值.
18．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)工具研究數(shù)列性質(zhì).比如，為了研究數(shù)列的性質(zhì)，對通項公式取對數(shù)得，，則可通過研究函數(shù)的性質(zhì)，得到數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而得到的性質(zhì).請根據(jù)以上材料，解決如下問題：
(1)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍，并證明：；
(2)是否存在常數(shù)，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）
19．線段的長為3，端點分別在軸和軸上運(yùn)動，點滿足，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)曲線與軸的左右兩個交點分別為為上異于的動點.過點分別作直線，直線，其中與曲線交于兩點，交直線于點，點滿足.
①求點的軌跡方程；
②的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.
《2025屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．D
【分析】解對數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故選：D
2．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再計算其模即可.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：D
3．B
【分析】根據(jù)向量模長的關(guān)系，利用平方法轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積公式，解一元二次方程即可得出答案.
【詳解】由，
所以，即，
即，整理得，
解得或（舍去），
所以.
故選：B.
4．C
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，
若，，則或與異面，A錯誤；
平行與同一平面的兩條直線位置關(guān)系不確定，可能平行、相交或異面，B錯誤；
如圖，，過點作的平行線，設(shè)所在平面為，
且，則，
根據(jù)已知，所以，
則，由，可得，且，所以，C正確；

若，， 則或，D錯誤.
故選：D
5．C
【分析】先分別求平均數(shù)，再分別求出方差，最后比較方差的大小即可.
【詳解】對于A，，
；
對于B，，
；
對于C，，
；
對于D，，
；
因為，
所以四組數(shù)據(jù)中，方差最小的為，
故選：C.
6．A
【分析】過點B作太陽光的平行線，與 的延長線交于點C，可求出，利用弧長公式即可求得地球的半徑.
【詳解】如圖所示，過點B作太陽光的平行線，與 的延長線交于點C，
則 ， ，所以,
設(shè)地球半徑為R,則根據(jù)弧長公式得 ，所以 ,
故選：A.
7．B
【分析】根據(jù)題意判斷是偶函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.
【詳解】，，
又
，所以函數(shù)是偶函數(shù)，
當(dāng)時，，易得單調(diào)遞增，
不等式，即，
等價于，
，可得，解得，
所以不等式的解集為.
故選：B.
8．A
【分析】根據(jù)拋物線定義，可得，數(shù)形結(jié)合可得，得解.
【詳解】設(shè)拋物線的焦點為，，的橫坐標(biāo)分別為，，則，
拋物線的準(zhǔn)線為，則，，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時取等號）如圖所示，
即的最大值為12.
故選：A.

9．BCD
【分析】A選項，化為點斜式可以看出直線恒過的點，B選項兩直線斜率存在且垂直，斜率乘積為-1，從而存在滿足題意，C選項直線過的定點在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項；當(dāng)時，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長
【詳解】直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；
當(dāng) 時，直線與直線垂直，故B正確：
∵定點（-2，0）在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C正確：
當(dāng)時，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，
故選：BCD.
10．AD
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得選項A正確；根據(jù)可得選項B錯誤；根據(jù)可得選項C錯誤；根據(jù)二倍角公式結(jié)合可得選項D正確.
【詳解】由題意得，.
A.∵函數(shù)的定義域為，，
∴是奇函數(shù)，選項A正確.
B.∵，
∴不是函數(shù)的周期，選項B錯誤.
C.∵，
∴在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，選項C錯誤.
D. ∵，，
∴，
∵，
∴的最小值為，選項D正確.
故選：AD.
11．AD
【分析】選項A將與無公共點轉(zhuǎn)化為無零點，由導(dǎo)數(shù)求最小值大于0即得；選項B先求切線方程為，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求得；選項C利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值小于，進(jìn)而可得；選項D根據(jù)的切線方程和拋物線的切線方程為，進(jìn)而可得.
【詳解】選項A：聯(lián)立得，設(shè)，
由題意可知無零點，，
故當(dāng)時，f′x0，
故，由題意，得，故A正確；
選項B：由題意，由得，
設(shè)與曲線的切點為，則切線方程為，
因過點，故，解得，
所以的方程為，即，
與聯(lián)立得，
設(shè)與的交點坐標(biāo)為Ax1,y1,Bx2,y2，
則，故，故B錯誤；
選項C：當(dāng)時，，因在曲線上，
可設(shè)為，則，
設(shè)，，
設(shè)，則，
故hx在上單調(diào)遞增，又，，
故，使得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小值為，又，故，故C錯誤；
選項D：當(dāng)時，在處的切線方程為，
將代入得，
而曲線在處的切線方程為，
要使得兩曲線上得點M，Q之間距離最小，當(dāng)時，，
，則，兩直線的距離為，
顯然兩切點為得連線與切線不垂直，故，故D正確.
故選：AD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題選項A，C關(guān)鍵是把幾何問題解析化，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.
12．
【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得，再利用余弦定理求解.
【詳解】因為點在雙曲線右支上，且，
則，又，
在中，由余弦定理可得，，
所以.
故答案為：.

13．
【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合條件切化弦可得，將條件切化弦運(yùn)算得解.
【詳解】，，
，即，
解得，即，
即，
所以，又，
得，
又由，可得，
.
故答案為：.
14．
【分析】歸納求出滿足的情況種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式求解.
【詳解】由題意，從三個袋子中摸出的球上所標(biāo)記的數(shù)的總的情況為種，
滿足，則，
當(dāng)時，對應(yīng)的情況有，1種；
當(dāng)時，對應(yīng)的情況有，2種；
當(dāng)時，對應(yīng)的情況有，3種；
當(dāng)時，對應(yīng)的情況有，種；
所以滿足的情況有種，
故所求事件的概率為.
故答案為：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理可得，利用等差數(shù)列通項公式列式計算；
（2）由（1）求得通項，代入運(yùn)算可得，利用裂項求和得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，由韋達(dá)定理可得，
因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
所以，即，
則，解得，
.
（2）由（1），則，
，
，
.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）方法一：對兩邊平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案；
（2）在中，由余弦定理得，結(jié)合（1）再利用基本不等式可得答案.
【詳解】（1）方法一：為邊上中線，，
，
在中，由余弦定理得：，
，
，
.
方法二：為邊上中線，
在中，，
在和中，由余弦定理得：
，
即，
，
即；
（2），，由余弦定理可得，
故，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，
所以，
所以取得最小值為.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)證明線線平行，先證平面即可.
（2）先確定四棱錐的外接球的球心，即可得的長，過作于，所以為二面角的平面角，求解即可.
【詳解】（1）取AB的中點，連接，則由題意知為正三角形，
所以，
由等腰梯形知，設(shè)，則，，
故，即得，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，，平面，所以平面，
因為平面，所以.
（2）由于，
又，為等邊三角形，
，
即為四邊形外接圓的圓心，且半徑，
過作平面的垂線，則，
在平面內(nèi)作的垂直平分線交與點，
則，即為四棱錐的外接球的球心，
且半徑，則，
，則，
過作于，平面，
所以平面，又平面，
則，所以為二面角的平面角，
，
所以二面角的平面角的余弦值為.
18．(1)；證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）當(dāng)x=0時，恒成立，；當(dāng)x>0時，可化為，令，x>0，利用導(dǎo)數(shù)方法判斷其單調(diào)性，結(jié)合洛必達(dá)法則即可求出的范圍；得出以，將代入整理，即可證明不等式成立；
（2）先由題意得到a>0；由推出，結(jié)合（1）的結(jié)果，可求出；對于，當(dāng)或時，于顯然恒成立；當(dāng)時，推出以，同（1）構(gòu)造函數(shù)，求出；從而可求出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)x=0時，顯然恒成立，；
當(dāng)x>0時，可化為，
令，x>0，則，
令，x>0，則在上恒成立，
因此在上單調(diào)遞減，所以，
即在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
又由洛必達(dá)法則可得：，
所以恒成立，因此，為使對任意x>0恒成立，只需；
綜上，；
所以，因為，所以，
則，所以得證；
（2）存在，使得：有，,證明如下：
由題意，為使恒成立，必有a>0；
(i)由得，所以，則，因為，
由（1）知對任意x>0恒成立，
為使都成立，只需，解得；
(ii)對于，當(dāng)或時，于顯然恒成立；
當(dāng)時，，由得，所以，
令，則，，
所以，同（1）令，，
則，
令，，
則在上恒成立，
因此在上單調(diào)遞增，所以，
因此在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
所以當(dāng)，；
因此，為使恒成立，只需，解得；
由(i)(ii)可得，；即存在，使得：有，.
【點睛】思路點睛：
利用導(dǎo)數(shù)的方法求解不等式中的參數(shù)時，一般可利用分離參數(shù)的方法，先分離出所求參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值即可.
19．(1)
(2)①，②存在最小值，最小值為3.
【分析】（1）設(shè)點Ex,y，，，根據(jù)及計算即可；
（2）①由題意，可設(shè)，則，利用點差法得①，②，由①②得，
運(yùn)算得解；②設(shè)直線的斜率分別為，可得，由，利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）設(shè)點Ex,y，，，由，則，
由，可得，即，代入，
可得，
所以曲線的方程為.
（2）①因為，所以，
不妨設(shè)，則，
設(shè)，，，
則①，②，
由，得，則，
即，
由，得，
則，即，
又①②得，
，即得，且，
所以點的軌跡方程為.
②設(shè)，則，
設(shè)直線的斜率分別為，則，
聯(lián)立，得，
聯(lián)立，得，
設(shè)直線與軸交于點，直線與軸交于點，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的面積存在最小值，最小值為3.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的第一小問解決的關(guān)鍵是利用點差法得到①，②，由①②得，再由和的坐標(biāo)關(guān)系代入運(yùn)算得解.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
C
A
B
A
BCD
AD
題號
11









答案
AD









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