1．的立方根是（）
A．B．C．D．
2．下列數(shù)中，是無理數(shù)的是（）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．下列條件中能判定為直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．下列命題中真命題是（ ）
A．相等的角是對頂角
B．無限小數(shù)就是無理數(shù)
C．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
D．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
6．下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤B．①②C．①④D．①②④
7．為了弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某班開展了背誦古詩詞競賽，滿分10分．現(xiàn)從40名同學(xué)中隨機(jī)抽取5名同學(xué)的得分，得到如下數(shù)據(jù)：6，6，8，10，10．該樣本的方差是（）
A．B．C．D．
8．如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)且）與的圖象相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，則關(guān)于的方程的解是（）
A．B．C．D．
9．如圖，在等腰中，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，桌上有一個(gè)圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計(jì)），高為，底面周長為，在盒子外壁離上沿的點(diǎn)處有一只螞蟻，此時(shí)，盒子內(nèi)壁離底部的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點(diǎn)處吃蜂蜜，求螞蟻爬行的最短距離（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共5小題）
11．已知是正比例函數(shù)，則 ．
12．某班級在教室衛(wèi)生評比中，黑板，門窗，桌椅，地面的得分分別是分，分，分，分，若四項(xiàng)得分依次按，，，的比例計(jì)算衛(wèi)生成績，則該班的成績?yōu)? ．
13．已知，為實(shí)數(shù)，且，則的值是 ．
14．如圖，點(diǎn)為凸透鏡的光心，點(diǎn)為凸透鏡的焦點(diǎn)，根據(jù)凸透鏡成像規(guī)律：過光心的光線經(jīng)凸透鏡后傳播方向不變；過焦點(diǎn)的光線經(jīng)凸透鏡折射后，折射光線平行于主光軸．發(fā)光點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過凸透鏡折射后所成的像為，已知，，則 ．
15．如圖，直線與直線相交于點(diǎn)．直線與軸交于點(diǎn)，一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，先沿平行于軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，改為垂直于軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，再沿平行于軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，又改為垂直于軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線的點(diǎn)處后，仍沿平行于軸的方向運(yùn)動，照此規(guī)律運(yùn)動，動點(diǎn)依次經(jīng)過點(diǎn)，，，，，，，則當(dāng)動點(diǎn)到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動的總路徑的長為 ．
三、解答題（本大題共11小題）
16．（1）計(jì)算：
（2）解方程組：
17．2024年8月，主題為“達(dá)人達(dá)禮?達(dá)州有‘李’”的川貨電商節(jié)暨第四屆達(dá)州脆李電商促消費(fèi)活動啟動儀式在達(dá)州舉行．來自全國的電商帶貨達(dá)人，通過互聯(lián)網(wǎng)將甜脆可口的達(dá)州脆李介紹給廣大網(wǎng)友，拓寬了達(dá)州脆李的銷售渠道．為確保脆李質(zhì)量，檢測人員對其中質(zhì)量為每箱的脆李隨機(jī)抽取20箱進(jìn)行測量，得到如下不完全統(tǒng)計(jì)圖．
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
(2)抽取20箱脆李質(zhì)量的中位數(shù)為______，眾數(shù)為______；
(3)若此次活動某電商帶貨達(dá)人售出的每箱的脆李有480箱，請根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)質(zhì)量達(dá)到及以上的箱數(shù)．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，．
(1)在圖中作出關(guān)于軸的對稱圖形，并寫出的坐標(biāo)；
(2)若為軸上一點(diǎn)，連接，，求的周長最小值．
19．如圖，在中，平分，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
20．“巴山大峽谷”位于四川省達(dá)州市宣漢縣，這里山勢奇特，河水清澈，溶洞成群，動物多而珍貴，植物豐富而罕見，是個(gè)旅游的好地方．若購買9張大象洞門票和4張?zhí)蚁乳T票共花900元，購買3張大象洞門票和2張?zhí)蚁乳T票共花360元．
(1)大象洞門票，桃溪谷門票每張各多少元？
(2)若某旅游公司共有游客50人，設(shè)購買大象洞門票張，且購買大象洞門票不超過20張，設(shè)該旅游公司門票總費(fèi)用為元，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出門票總費(fèi)用最低為多少錢？
21．如圖，已知直線：與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，直線：與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，兩直線的交點(diǎn)為，連接．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求的面積．
22．如圖，在海平面上有，，三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中在的北偏西方向上，與的距漓是40海里，在的南偏西方向上，與的距離是30海里．
(1)求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；
(2)若在點(diǎn)處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為25海里，此時(shí)在點(diǎn)處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里．輪船在駛向處的過程中，有多少小時(shí)可以接收到信號？
23．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，，，與交于點(diǎn)．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，求證：．
24．定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因?yàn)椋梢杂行У娜サ舾?，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．
例如：已知，求的值，可以這樣解答：
因?yàn)椋?br>所以．
根據(jù)以上材料，理解并運(yùn)用材料提供的方法，解答下列問題：
(1)已知：，則______；
(2)化簡：______；
(3)計(jì)算：．
25．如圖1，和均為等邊三角形，連接，連接，
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)，，在同一直線上，，，求的長度；
(3)如圖2，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，，，求的長．
26．如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，．
(1)若，求線段的長；
(2)如圖2，連接，延長交于點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，，分別取，的中點(diǎn)，，連接，若的邊長為4，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，直接寫出長．
參考答案
1．【答案】C
【分析】如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根．
根據(jù)立方根的定義即可求解．
【詳解】解：∵，
的立方根是，
故此題答案為C．
2．【答案】B
【分析】常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù)，含π的數(shù)；據(jù)此逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：A、是有理數(shù)，不符合題意；
B、是無理數(shù)，符合題意；
C、，是有理數(shù)，不符合題意；
D、，是有理數(shù)，不符合題意；
故此題答案為B．
3．【答案】B
【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征：①第一象限：；②第二象限：；③第三象限：；④第四象限：進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵第二象限內(nèi)的點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，
∴點(diǎn)所在的象限是第二象限．
故此題答案為B．
4．【答案】B
【詳解】解：A．因?yàn)椋什荒軜?gòu)成直角三角形，故A不符合題意；
B．因?yàn)?，故能?gòu)成直角三角形，故B符合題意；
C．因?yàn)?，故不能?gòu)成直角三角形，故C不符合題意；
D．因?yàn)?，故不能?gòu)成直角三角形，故D不符合題意；
故此題答案為B．
5．【答案】C
【詳解】解：、相等的角不一定是對頂角，該選項(xiàng)命題不是真命題；
、無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，該選項(xiàng)命題不是真命題；
、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，該選項(xiàng)命題是真命題；
、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，該選項(xiàng)命題不是真命題；
故此題答案為．
6．【答案】A
【詳解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是①；⑤，
故此題答案為．
7．【答案】A
【分析】結(jié)合方差公式先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入公式求出即可．
【詳解】解：平均數(shù)為：，
故此題答案為A．
8．【答案】D
【分析】把代入求出，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出答案．
【詳解】解：把代入得：，
解得，
∴，
∴關(guān)于的方程的解是
故此題答案為D．
9．【答案】C
【分析】先根據(jù)等邊對等角求出，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)求出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
故此題答案為C．
10．【答案】D
【分析】將容器側(cè)面展開，得到關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖是側(cè)面展開圖的一半，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，作交的延長線于點(diǎn)，由題意可知，為所求
高為，底面周長為，在盒子外壁離上沿的點(diǎn)處有一只螞蟻，此時(shí)，盒子內(nèi)壁離底部的點(diǎn)處有一滴蜂蜜
，，，
故此題答案為D．
11．【答案】1
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得b的方程，解方程即得答案．
【詳解】解：∵是正比例函數(shù)，
∴，
∴
12．【答案】
【詳解】解：∵，
∴該班的成績?yōu)榉郑?br>故答案為：．
13．【答案】
【分析】利用二次根式有意義的條件得出一元一次不等式組，解不等式組即可求出a的值，進(jìn)而得出b的值，然后將、的值代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：由題意可得：且，
解得：，
，
14．【答案】
【分析】根據(jù)對頂角相等可知，根據(jù)三角形內(nèi)角和為可以求出，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得．
【詳解】解：，
，
在中，，
，
，
．
15．【答案】
【詳解】解：∵直線與軸交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在直線上，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴動點(diǎn)從到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動的總路徑的長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，
∴，
∴動點(diǎn)從到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動的總路徑的長為，
，
∴當(dāng)動點(diǎn)到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動的總路徑的長為
16．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，二次根式的加減法則等化簡計(jì)算即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【詳解】解：原式
；
（2），
由②得，
把③代入①得，
解得，
把代入③，得，
∴方程組的解為．
17．【答案】(1)見解析
(2)；
(3)估計(jì)質(zhì)量達(dá)到及以上的有336箱
【分析】（1）先求出質(zhì)量為和的箱數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的確定方法確定中位數(shù)和眾數(shù)即可；
（3）先求出20箱中質(zhì)量達(dá)到及以上的比例，再乘以480即可得出答案．
【詳解】（1）解：質(zhì)量為的箱數(shù)：（箱，
質(zhì)量為的箱數(shù)：（箱，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
（2）解：中位數(shù)為質(zhì)量由小到大排列第10，第11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
，，
第10，第11個(gè)數(shù)據(jù)都為，
中位數(shù)為：；
個(gè)數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)6次，是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，
眾數(shù)為：．
故答案為：；；
（3）解：（箱．
答：估計(jì)質(zhì)量達(dá)到及以上的有336箱．
18．【答案】(1)見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各頂點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，即可得出，再寫出的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，即為所求，再求出的周長最小值．
【詳解】（1）解：如圖1，即為所求，；
（2）解：如圖2，點(diǎn)即為所求；
，
的周長最小值．
19．【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”得出，結(jié)合可得出，然后根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可得證；
（2）先根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線定義求出的度數(shù)，最后根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】(1)大象洞門票的價(jià)格每張60元、桃溪谷門票每張90元
(2)，門票總費(fèi)用最低為3900元
【分析】（1）設(shè)大象洞門票的價(jià)格每張?jiān)⑻蚁乳T票每張?jiān)?，根?jù)“購買9張大象洞門票和4張?zhí)蚁乳T票共花900元，購買3張大象洞門票和2張?zhí)蚁乳T票共花360元”列方程組求解；
（2）先列出出與的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】（1）解：設(shè)大象洞門票的價(jià)格每張?jiān)⑻蚁乳T票每張?jiān)?br>則，
解得：，
答：大象洞門票的價(jià)格每張60元、桃溪谷門票每張90元；
（2）解：由題意得，
購買大象洞門票不超過20張，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為：（元，
門票總費(fèi)用最低為3900元．
21．【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得的表達(dá)式；
（2）聯(lián)立直線，，求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用，可算得答案．
【詳解】（1）解：已知直線：與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)
直線的函數(shù)表達(dá)式：
（2）解：聯(lián)立直線，，有
解得
點(diǎn)坐標(biāo)為
22．【答案】(1)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為50海里
(2)有0.7小時(shí)可以接收到信號
【分析】（1）由題意易得是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，，使得海里，分別求得、的長，可求得此時(shí)輪船過時(shí)的時(shí)間，從而可求得最多能收到的信號次數(shù)．
【詳解】（1）解：由題意，得：，；
；
海里，海里；
（海里），
即：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為50海里；
（2）解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，，使得海里．
；
；
；
海里；
海里；
海里；
行駛時(shí)間為（小時(shí)）．
答：有0.7小時(shí)可以接收到信號．
23．【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（）由三角形內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可求解；
（）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理并結(jié)合已知可得，然后結(jié)合即可求證．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
24．【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料的方法進(jìn)行求解即可；
（2）分母有理化即可得答案；
（3）將每個(gè)加數(shù)分母有理化，再相加即可．
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以．
（2）解：原式，
（3）原式
，
．
25．【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由條件易證，從而得到：，．由點(diǎn)，，在同一直線上可求出，從而可以求出的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)D作，由點(diǎn)，，在同一直線上，，，可得，再由和均為等邊三角形，可得，從而得出，利用直角三角形性質(zhì)得出，再由勾股定理得出，最后可得答案；
（3）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則，得出，，，，證出是等邊三角形，得出，，求出，證明、、在同一條直線上，得出，再由勾股定理求出即可．
【詳解】（1）證明：和均為等邊三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
；
（2）解：如圖，過點(diǎn)D作，
點(diǎn)，，在同一直線上，，，
，
和均為等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，如圖所示：
則，
，，，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
又，
即、、在同一條直線上，
，
在中，，
即的長為．
26．【答案】(1)
(2)見解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，可知為等邊三角形，再證，可知，從而求得答案；
（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，由（1）可知，，，從而知道，推出，借助平角可求得，借助證明，可知為中點(diǎn)，，，推出當(dāng)最大時(shí)，與重合，又因?yàn)?，?那么此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)，從而得證；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，先求得，利用三角形中位線，求得、以及，在用勾股定理，求得，最后在用勾股定理，求得；當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，先求得和的長度，然后計(jì)算出，然后在中用勾股定理求得和，然后利用是三角形中位線求得，從而求得，，然后判定為等邊三角形，推導(dǎo)出，從而得到，，最后在中用勾股定理求得，從而得到．
【詳解】（1）解：是等邊三角形
，
線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段
，
（2）解：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)
由（1）可知，
，
線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段
，
是等邊三角形
，
，
又
，
最大時(shí)，與重合
又，
那么此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)，如圖所示：
，
（3）解：①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，如圖所示：
由（1）可知，是等邊三角形，
等邊的邊長為4，
，，，
，
，
取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)
，，
，
，
，
，
，
②當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，連接，如圖所示：
由（1）可知，是等邊三角形，，是等邊三角形，
，
是中點(diǎn)
是的中點(diǎn)
是等邊三角形，是中點(diǎn)
，
過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)
在中，，
，
在中，
取的中點(diǎn)，連接
，，
，
取的中點(diǎn)，連接
，
，
是等邊三角形
作交于點(diǎn)
，
，

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