注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2 . 回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共30分）
一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請將正確答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．體育是一個鍛煉身體，增強(qiáng)體質(zhì)，培養(yǎng)道德和意志品質(zhì)的教育過程，是培養(yǎng)全面發(fā)展的人的一個重要方面，下列體育圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（ ）

A B C D
2．2023年9月9日，上海微電子研發(fā)的28nm浸沒式光刻機(jī)的成功問世，標(biāo)志著我國在光刻機(jī)領(lǐng)域邁出了堅(jiān)實(shí)的一步．已知28nm為0.000000028米，數(shù)據(jù)0.000000028用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
如果多邊形的內(nèi)角和等于1980°，則這個多邊形是（ ）
A．九邊形B．十三邊形C．十二邊形D．十五邊形
4．下列式子從左到右變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、N，若∠BAC＝70°，則∠EAN的度數(shù)（ ）
A．60°B．50°C．40°D．70°
6．在△ABC中，若三邊長a，b，c滿足a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，則邊長c為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少2天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則下列分式方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知關(guān)于x的方程有整數(shù)解，且﹣4≤m＜3，則所有滿足條件的整數(shù)m的和是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
9．對于分式，我們把分式叫做P的伴隨分式．若分式，分式P2是P1的伴隨分式，分式P3是P2的伴隨分式，分式P4是P3的伴隨分式，…以此類推，則分式P2024等于（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G．下列結(jié)論正確的有（ ）個．

第5題圖 第10題圖
①BF＝AC ②CE＝BF ③△DGF是等腰三角形 ④BD+DF＝BC ⑤
A．5B．4C．3D．2
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二．填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上）
11．分解因式：＝ ．
12．已知一個等腰三角形的周長是15，其中一條邊長是7，則這個等腰三角形的腰長是 ．
13．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BCD＝36°，∠CEA＝70°，則∠EAB＝ °．

第13題圖 第14題圖 第16題圖
14．如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF＝5，則AF的長為____________
15．已知a，b為實(shí)數(shù)，定義一種新的運(yùn)算“☆”如下：a☆b＝，若3☆（x+2）＝1，則x=_____
16．如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，在AC邊上取一點(diǎn)D，連接BD，點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，以BE為斜邊作等腰Rt△BEF．連接AE、AF，CE，AF交BD于G，M為CE上一點(diǎn)，連接AM；在下列結(jié)論中：
①∠EAD＝∠ABD； ②若AE垂直平分GD，則∠AFE+∠ABD＝45°；
③若AE垂直平分GD，則AD+GF＝AB； ④若∠FAM＝45°，則EC＝2EM．
其中正確的結(jié)論有 ．（填寫正確結(jié)論的序號）
解答題（本題共8個小題，滿分72分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
（8分）解方程：（1） （2）
（10分）先化簡后求值：
（1），其中，．
（2），其中．
19.（6分）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（3，1），C（﹣2，2）．
（1）請?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)，畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1并寫出A1，B1，C1的坐標(biāo)
（2）請寫出點(diǎn)M（a，b）關(guān)于直線n（直線n上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為1）對稱的點(diǎn)M1的坐標(biāo)．
20．（8分）【教材呈現(xiàn)】如圖是人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第109頁的部分內(nèi)容．
請寫出圖①所表示的公式： ；圖②所表示的公式： ．
【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．
（2）請寫出圖③所表示的代數(shù)恒等式： ．
【解決問題】
（3）利用（2）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+bc+ac＝25，則a2+b2+c2＝ ．
【知識遷移】
事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖④表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖④中圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式： ．
21．（8分）項(xiàng)目學(xué)習(xí)方案：
（1）任務(wù)一中橫線①處應(yīng)填 ，橫線②處應(yīng)填 ．
（2）完成任務(wù)二
22.（10分）如圖1：在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥DB，且AB＝6，AD＝2．
（1）若∠CAD＝∠ACB，求BC的長；
（2）如圖2，若AE⊥BC交BC于E交BD于F，且△ABE為等腰三角形，求BF的長． ．
23．（10分）閱讀理解并解答：
（1）我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個多項(xiàng)式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項(xiàng)式進(jìn)行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩栴}．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．
則這個代數(shù)式x2+2x+3的最小值是 ，這時(shí)相應(yīng)的x的值是 ．
（2）求代數(shù)式﹣x2+14x+10的最?。ɑ蜃畲螅┲?，并寫出相應(yīng)的x的值．
（3）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．
（4）若M＝2（3x2+3x+1），N＝4x2+2x﹣3，試比較M、N的大小，并說明理由．
24．（12分）【材料1】在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即“在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，則”．
【材料2】定義：若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)O是等邊△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且OA+OB+OC＝18，則這個等邊三角形的高的長度為 ；
（2）如圖2，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于點(diǎn)P，連接AP，求證：點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)；
（3）應(yīng)用探究：已知有A、B、C三個村莊的位置如圖3所示，能否在合適的位置建一個污水處理站Q，使得該處理站分別連接這三個村莊的水管長度之和最??？如果能，請你說明該如何確定污水處理站Q的位置，并證明該位置滿足設(shè)計(jì)要求．
2024—2025學(xué)年度上學(xué)期八年級數(shù)學(xué)參考答案
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．C；2．B；3．B；4．C；5．C；6．A；7．A；8．D；9．D；10．A；
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．；12．4或713．1614. 2 15. 16．②③④；
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．解：（1）方程兩邊同乘x（2x+1），得3（2x+1）+x（2x+1）＝2x?x，
解，得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，x（2x+1）≠0，
∴原分式方程的解是
（2）方程兩邊都乘以（x+1）（x﹣1）得：3（x+1）+2（x﹣1）＝6，
解這個整式方程，得x＝1，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以，x＝1是增根，原方程無解．
18.解：（1）原式＝（4x2﹣12xy+9y2）﹣（4y2﹣x2）+8xy3÷2xy﹣10x3y÷2xy
＝4x2﹣12xy+9y2﹣4y2+x2+4y2﹣5x2
＝﹣12xy+9y2，
當(dāng)x＝，y＝2時(shí)，
原式＝﹣12××2+9×22
＝﹣12+36
＝24；
（2）原式＝÷
＝?
＝，
當(dāng)m＝20﹣2﹣1＝1﹣＝時(shí)，
原式＝
＝；
19.解：（1）先作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1、B1、C1，然后順次連接，則△A1B1C1即為所求，如圖所示：
A1，B1，C1的坐標(biāo)分別是A1（﹣2，4），B1（﹣3，1），C1（2，2）．
（2）設(shè)點(diǎn)M1（x，y），
∵直線n＝1，且平行于y軸，M（a，b），
∴，y＝b，
∴x＝﹣a+2，
∴點(diǎn)M（a，b）關(guān)于直線n對稱的點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（﹣a+2，b）．
（1）
50
21.解：（1）設(shè)用320元購買的A種花卉的數(shù)量為x，則每枝A種花卉單價(jià)為元，
∴每枝B種花卉單價(jià)為元，
根據(jù)題意得；
∵，
∴表示用320元購買的A種花卉數(shù)量，表示用800元購買的B種花卉數(shù)量，
即小組成員乙設(shè)每枝A種花卉單價(jià)為a元；
故答案為：；每枝A種花卉單價(jià)為a元；
（2）∵單位時(shí)間內(nèi)可完成m盆小盆栽的插花任務(wù)或
完成（9﹣m）盆大盆栽的插花任務(wù)，
∴完成小盆栽的插花任務(wù)的效率為，完成大盆栽的插花任務(wù)的效率為9﹣m，
∵完成35盆小盆栽所用時(shí)間與完成10盆大盆栽的時(shí)間相同，
∴，
解得m＝7，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝7是原分式方程的解，
∴m＝7．
22.解：（1）如圖，延長AD交BC于點(diǎn)H．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠HBD．
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝∠HDB＝90°．
在△BAD和△BHD中，
，
∴△BAD≌△BHD（ASA）．
∴HB＝AB＝6，HD＝AD＝2．
∴AH＝4．
∵∠CAD＝∠ACB，
∴CH＝AH＝4．
∴BC＝CH+HB＝4+6＝10．
（2）如圖，作AE⊥CB，交DB于點(diǎn)F．
∴∠HAE+∠AHE＝90°，∠FBE+∠AHE＝90°
∴∠HAE＝∠FBE．
∵直角△ABE為等腰直角三角形，AE⊥BC，
∴AE＝BE．
在△AHE與△BFE 中．
，
∴△AHE≌△BFE（ASA）．
∴BF＝AH＝4．
23.解：（1）根據(jù)題意可得：
當(dāng)代數(shù)式x2+2x+3取得其最小值時(shí)，x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案為：2，﹣1；
（2）原式＝﹣（x2﹣14x﹣10）
＝﹣（x2﹣14x+49﹣49﹣10）
＝﹣[（x﹣7）2﹣49﹣10]
＝﹣[（x﹣7）2﹣59]
＝﹣（x﹣7）2+59，
∵（x﹣7）2≥0，
∴﹣（x﹣7）2≤0，
∴﹣（x﹣7）2+59≤59，
當(dāng)代數(shù)式﹣x2+14x+10取得其最大值時(shí)，x﹣7＝0，
解得：x＝7，
∴代數(shù)式﹣x2+14x+10的最大值是59，這時(shí)相應(yīng)的x的值為7；
（3）由題意可得：a2+b2﹣10a﹣8b＝﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16﹣25﹣16＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2﹣25﹣16＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝﹣41+25+16，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝5，b＝4，
∵a﹣b＜c＜a+b，
∴1＜c＜9，
∵c是△ABC中最長的邊，
∴5≤c＜9，
∴c的取值范圍是5≤c＜9；
（4）M＞N，理由如下：
∵M(jìn)＝2（3x2+3x+1），
N＝4x2+2x﹣3，
∴M﹣N
＝2（3x2+3x+1）﹣（4x2+2x﹣3）
＝6x2+6x+2﹣4x2﹣2x+3
＝2x2+4x+5
＝2x2+4x+2+3
＝2（x2+2x+1）+3
＝2（x+1）2+3，
∵（x+1）2≥0，
∴2（x+1）2+3≥3，
∴M﹣N≥3＞0，
∴M＞N．
24.（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABO+∠CBO＝60°．
∵點(diǎn)O是等邊△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝∠CBO，
∴△ABO≌△BOC（AAS），
∴OA＝OB＝OC，
∴點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴∠OBD＝∠ABC＝30°．
∵OA+OB+OC＝18，
∴OA＝OB＝OC＝6．
∴延長AO交BC于點(diǎn)D，如圖1，
∴OD＝OB＝3，
∴AD＝6+3＝9．
故答案為：9；
（2）證明：如圖2，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設(shè)AB與CD交點(diǎn)為G．
∵△ABD與△ACE都是等邊三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝∠EAB，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，CD＝BE，S△CAD＝S△EAB，
又∵∠ADC+∠DAG＝∠ABE+∠GPB，
∴∠GPB＝∠DAG＝60°，
∴∠BPC＝∠DPE＝120°，∠EPC＝60°，
∵S△CAD＝CD?AM，S△EAB＝BE?AN，
∴CD?AM＝BE?AN，
∴AM＝AN，
∴AP平分∠DPE，
∴∠APD＝∠APE＝60°，
∴∠APB＝∠APC＝120°＝∠BPC，
∴點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)；
（3）解：能，如第（2）小題那樣，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于一點(diǎn)，由（2）小題知該點(diǎn)是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，即為所要建的污水處理站Q的位置．
證明：如圖3，設(shè)點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接QA、QB、QC，并在QB同側(cè)作等邊△ABD與等邊△QBK，連接DK．
∵△ABD與△QBK都是等邊三角形，
∴BA＝BD，BQ＝BK＝QK，∠ABD＝∠QBK＝60°，
∴∠KBD＝∠QBA，
∴△KBD≌△QBA（SAS），
∴∠DKB＝∠AQB，DK＝AQ，
∴QA+QB+QC＝DK+KQ+QC≥DC．
當(dāng)D、K、Q、C四點(diǎn)共線時(shí)，QA+QB+QC＝DC為最小值，
又∵∠BKQ＝∠BQK＝60°，
∴∠DKB＝∠AQB＝120°，∠CQB＝120°，
∴∠AQC＝120°，
∴點(diǎn)Q是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，
即當(dāng)點(diǎn)Q是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，QA+QB+QC的值最小
思考：你能根據(jù)圖14.2﹣2和圖14.2﹣3中圖形的面積說明完全平方公式嗎
項(xiàng)目情景
元旦將至，某學(xué)校購買花卉裝點(diǎn)校園，同學(xué)們需完成了解花卉知識（包括花語等知識），購買花卉、插花、擺放盆栽等任務(wù)
素材一
采購小組到市場上了解到每枝A種花卉比每枝B種花卉便宜5元，用800元購買的B種花卉數(shù)量為用320元購買的A種花卉數(shù)量的2倍
任務(wù)一
小組成員甲設(shè)用320元購買的A種花卉的數(shù)量為x，由題意得方程：①；
小組成員乙設(shè)②，由題意得方程：
素材二
插花時(shí)，技術(shù)小組成員丙發(fā)現(xiàn)自己單位時(shí)間內(nèi)可完成m盆小盆栽的插花任務(wù)或完成（9﹣m）盆大盆栽的插花任務(wù)，并且完成35盆小盆栽所用時(shí)間與完成10盆大盆栽的時(shí)間相同
任務(wù)二
求m的值

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