2025.1
本試卷共 6 頁，150 分。考試時長 120 分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}紙上，在試卷上作答無效。考 試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。
第一部分（選擇題 共 40 分）
一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（6）
?a ? b ? 0?
1A B C D1 1
ABCD ?
C
3 ?1
P
8
z ? 2 ? 4i
1? i
3i
2
3
?4
z
B2 △ 1F B F1 2
? y ? a ? 0 (x ?1)2 ? y2 ? 2
a
P
C : ?
2 y2
4 12
C : y2 ?12x
F M C
? ?6
2
2
2 y2
C : ? ?1 a b
1
2
7
| MF |?
4
?3i
2
y2
3
x ?
3
?1
3
?1
5
6
3
4
E CD
?3
?3 1
2 3
3
4 3
?1
2 2
1
6
4
3
1A B BA1
B1
3

2
D E1 / /
1F F2
M
EB1 ? AD1
7
第1頁/共11頁
（1）復數(shù) ，則 的虛部為
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）雙曲線 的離心率為
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）若直線 與圓 相切，則實數(shù) 的值為
（A）
（B）
（C） 或
（D） 或
（4）已知 是雙曲線 上的動點，則 到雙曲線兩個焦點距離之差的絕對
值為
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知拋物線 的焦點為 ，點 在 上，若 到直線 的距離為
， 則
（A）
（B）
（C）
（D）
已知橢圓 的左右焦點為 ， ，上下頂點為 ，
，若 為等腰直角三角形，則橢圓 的離心率為
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）如圖，在正方體 中， 是棱 上的 動點．則下列結(jié)論不正確的是
（A） 平面
（B）
A N1
3 BE ? CF
E ?
EB1
A B1 1 ? A
y ? kx ? 2 k
?15 ? 0
x2 ? y2 ? 8x 1
2 y2
m ? 3
? 1
3 ? m 1? m
y
△MEF
ABCD
?
3 AB ? BC ? 4

5
4



2
3
C

4
3
AA1
A D1 1CB
C
ABCD ? A B C D1 1 1 1 EF ? 2 3
△MD N1
4 2
1
4 M
4 ? 2 3
5 ? 2 3
6 ? 2 5
（C）二面角 的大小為
（D）直線 與平面 所成角的大小不變
（8）“ ”是“方程 表示焦點在 軸上雙曲線”的
（A）充分而不必要條件
（B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件
（D）既不充分也不必要條件
（9）已知圓 的方程為 ，若直線 上至少存在一點，使得以
該點為圓心，半徑為 的圓與圓 有公共點，則 的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）如圖，在長方體 中， ，
， ， ， ， 是平
面 上的動點，且滿足 的周長為 ， 則 面積的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 （非選擇題
共 110 分）
二、填空題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。
（11）以 A?2, ?4?, B ??2, 2? 為直徑 的兩個端點的圓的標準方程是 ．
（12）若拋物線 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的焦點與橢圓? 4 3
y2 x2
? 1的一個焦點重合，則該拋物線的準線方程為
．
2
（13）已知直線 y ? kx ?1與雙曲線 x4 ? y2 ?1 的一條漸近線垂直，則斜率 k 的一
個取值是 ．
（14）“中國天眼”反射面的主體是一個拋物面（拋物線繞著其對稱軸旋轉(zhuǎn)所形 成的曲面稱為拋物面），利用了拋物線的光學性質(zhì)：由其焦點出發(fā)的光線 照射到拋物線，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的對稱軸．如圖所示：拋 物線C : y2 ? 4x ，一條光線經(jīng)過 M ?4, ?3? ，與 x 軸平行照射到拋物線上 的點 A 處，第一次反射后經(jīng)過拋物線的焦點 F 到拋物線上的點 B 處， 第二次反射后經(jīng)過 N (4, y2 ) ，則 A 的坐標為 ，| MA | ? | AB | ? | BN | 的值為 ．
2
B
A
（15）已知曲線C : 4y ? x | x |? 4 ，點 F ( 3, 0) ，下面有四個結(jié)論：
①曲線C 關(guān)于 x 軸對稱；
第2頁/共11頁
C 與 y 軸圍成的封閉圖形的面積大于 2 ；
C 上任意點 P 滿足| PF |≥ 2 ；
C 與曲線(x ? 2y ? m)(x ? 2y ? m) ? 0, (m ? R) 的交點個數(shù)可以是0 個、 2 個、
3 個、 4 個．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題共 6 小題，共 85 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（16）（本小題 13 分）

f (x) sin x cs x sin2
1
x ( 2
0)
?
?
?
已知函數(shù) ? ? ? ? ．
（Ⅰ）若? ? 1 ，當 x ?[ , ? ] 時，求 f (x) 的最大值和最小值及相應的 x ；
?
（Ⅱ）若函數(shù) f (x) 圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ，求? 的值和 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間． 4
（17）（本小題 13 分）
在△ABC 中， ?A 為鈍角， a ? 7 ，sin 2B ? 3bcs B ．
7
（Ⅰ）求 ?A ；
（Ⅱ）若b ? 3 ，求△ABC 的面積．
（18）（本小題 14 分）
如圖，在四棱錐 P ? ABCD 中，底面 ABCD 為正方形， PA ? AB ? 2 ， PA ? AD ， E 為線段 PD 上的 中點．
（Ⅰ）求證： PB // 平面 ACE ；
（Ⅱ）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個，使 得 PA ? 平面 ABCD ，并求直線 PC 與平面 ACE 所成角的 正弦值和二面角 E ? AC ? B 的余弦值．
條件①： PB ? 2 3 ；
條件②： PB ? PD ；
條件③：平面 PAD ? 平面 ABCD ．
第3頁/共11頁
（19）（本小題 15 分）
已知橢圓的中心是坐標原點O ，它的短軸長為 22 ，一個焦點 F 的坐標為
，點T 的坐標為 ，且橢圓兩個焦點之間的距離為 4 ．( ? c, 0)
c
( , 0)c (c ? 0)
10
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）如果過點 F 且斜率為1的直線與橢圓相交于點 M ， N 兩點，求△OMN 的面積； （Ⅲ）如果過點T 的直線與橢圓相交于點 P ，Q 兩點，且OP ? OQ ，求直線 PQ 的斜率．
（20）（本小題 15 分）
已知橢圓C : x2a2 ? b2 ? 1?a ? b ? 0?的離心率為 ，右焦點為 F ，點 A?a,0? ，且 AF ? 1 ，過點 Fy2
的直線l （不與 x 軸重合）交橢圓C 于點 M ， N ，直線 MA ， NA 分別與直線 x ? 4 交于點 P ，Q . （Ⅰ）求橢圓C 的方程；
（Ⅱ）若| PQ |≤12 ，求直線l 斜率的取值范圍；
（Ⅲ）判斷點 A 與以 PQ 為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
（21）（本小題 15 分）
設正整數(shù) n ≥ 4 ，若由實數(shù)組成的集合 A ? ?a1, a2 , 任意四個不同的元素 a b c d, , , ，均有 ab ? cd ? A ., an? 滿足如下性質(zhì)，則稱 A 為 Hn 集合：對 A 中
1 1
例如，判斷 A ? {0, ,1,3}是否為 H4 集合：當 ab ? 0? 時，此時 ab ? cd ? 3? A ；
3 3
1
當 ab ? 0 ?1時，此時 ab ? cd ? 1? A ；當 ab ? 0 ? 3 時，此時 ab ? cd ? ? A .所以 A ? {0,1,1,3}是 H4 集合.
3 3
1 ? ?1 ?
（Ⅰ）判斷集合 A1 ? ?0, ,1, 4?和 A2 ? ? ,1, 2,3?是否為 H4 集合；
4 ? ?3 ?
（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）
（Ⅱ）若集合 A ? ?{ 1,1, x y, } 為 H4 集合，求出所有集合 A ，并說明理由；
（Ⅲ）若集合 A ? ?a1, a2 , a3 , a4? 為 H4 集合，求證： A 中元素不能全為正實數(shù)．
（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
第4頁/共11頁
參考答案
一、選擇題（共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）C （4）B（5）A
（10）D
（6）B （7）D （8）C （9）A
二、填空題（共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分）
（11） x2 （y ?1 2）?13 （12） y ?1?
（13） ?2 或 2 （兩個都答不給分）
9
（14）( , ?3) ，10 （注： 第一問 3 分，第二問 2 分）
4
（15）①②④ （注：對一個 2 分，兩個 3 分，有選錯 0 分） 三、解答題（共 6 小題，共 85 分）
（16）（共 13 分）

解：
2 2 2
6 6
sin(2?x ? )

所以2 1
第5頁/共11頁
……4 分
sin 2?x ? ?
?
sin 2?xcs ? cs2?xsin
?
6
3
1?
cs2?x 1
?
f x( ) ? sin(4x ? )
6
由 ? ? 2k? ? 4x ? ? ? 2k?
? ?
2 6 2
……11 分
……2 分
……3 分
……13 分
……1 分
……9 分
……10 分
……5 分
……7 分
f x( ) ? 3sin?xcs?x ? sin ?x ?
2
?[ ,
]
3
?
6
由 x ?[ , ] ，可得 2x ?
（Ⅰ）當? ? 1 時， f x( ) ? sin(2x ? )
7? ? ? 4?
12 12 6 3
? ?
6 2 6
當 2x ? ? 時， f (x) 取最小值 ?
2?


當 2x ? ? 時， f (x) 取最大值1，此時 x ?

4?
6
，此時 x ?
3 7?
2 12
（Ⅱ）因為函數(shù) f (x) 圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ?
4
T ? ? ? ，且? ? 0 ，所以? ? 2 ，
| 2?| 2
3
k? ? k?
得 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為[? ? , ? ],k ?Z
解：（Ⅰ）由題意得 2sin B cs B ? 37 b cs B ，因為 A 為鈍角，
6 2 12 2
（17）（共 13 分）
7……2 分
3
得cs B ? 0 ，則 2sin B ? b ，
sin A sin B
a b
由正弦定理 ?
得 ?
，
? ，解得sin A ?
sin A sin A 2
……4 分
3
b 2 a 7……5 分
sin B
7
……7 分
……9 分
2 2?
因為 A 為鈍角，則 A ? 2π3 .
（Ⅱ）當b ? 3 時，
由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cs A ，
得 49 ? 9 ? c ? 6c cs ，
3
解得c ? 5……10 分
bcsin A ? ?5?3?
則 S ABC ? ……13 分
23 ?
154 3 .
（18）（共 14 分）
（Ⅰ）證明：設 BD 交 AC 于點 O，連結(jié)OE .
因為底面 ABCD 為正方形，所以 O 是 BD 中點， E 為線段 PD 上的中點
所以OE 是 ?PBD 的中位線 所以 PB / / OE ，
OE ?平面 ACE ，
PB ? 平面 ACE ，
……1 分
……2 分
……3 分
……4 分
所以直線 PB / / 平面 ACE ．
（Ⅱ）解：選擇②， PB ? PD ，又因為底面 ABCD 為正方形， PA ? AD
可得 PAB ? PAD ，所以 PA ? AB ，所以 PA ?平面 ABCD ， ……5 分
以 A 為原點，AB AD ， 的方向分別為 x，y，z 軸正方向建立空間直角坐標AP
，
系，則 A(0, 0, 0) ， B(2, 0, 0) ， C(2, 2, 0) ， D(0, 2, 0) ， P(0, 0, 2) ， E(0,1,1) ，
AE ? (0,1,1) , AC ? (2, 2, 0) , PC ? (2, 2, ?2) 設平面 ACE 的法向量為 n ? (x y z, , )……6 分
由 ? ，得 n ? (1, ?1,1) ；?
n AC ? 2x ? 2y ? 0
……8 分
?n AE ? x ? z ? 0
設直線 PC 與平面 ACE 所成角為 θ．
則sin? ?| cs ? n PC, |? ? ? ．
| n || PC | 3| n PC | 1
……10 分
第6頁/共11頁
1
∴直線 PC 與平面 ACE 所成角的正弦值為 ．
3
設二面角 E ? AC ? B 的為? ，? 為鈍角，
平面 ABCD 的法向量為 m ? (0, 0,1)
n m
cs? ? ? | cs ? n m, |? ? ? | |??
| n || m |
……11 分
……13 分
3
，
3
……14 分二面角 E ? AC ? B 的余弦值為 ? 33 ．
選擇③，平面 PAD ? 平面 ABCD ，又因為平面 PAD 平面 ABCD ? AD ， PA ? AD ，
PA ? 平面 PAD ，所以 PA ?平面 ABCD ， 選擇①，錯誤
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由題意橢圓的焦點在 x 軸上，標準方程設為 x2a2 ? y2b2 ? 1?a ? b ? 0?
所以橢圓 C 的方程為 ? ?1，x2 y2
……4 分
6 2
……5 分
……6 分
（Ⅱ）過點 F 且斜率為1的直線方程為 y＝x ? 2 ，
? y ? x ? 2，
2
? ?1，
橢圓離線率e ? 63 ．
聯(lián)立 ? x2 y2 得 4x ?12x ? 6 ? 0 ．
? 6 2
……7 分
則 x1 ? x2 ? 3 ， x x1 2 ? 3 ．
2
……9 分| MN |? 1? k2 (x1 ? x2 )2 ? 4x x1 2 ? 6
OMN 的高 h ? | 2 | ?
2
S OMN ? 1 | MN | h ?
……10 分
2
（Ⅲ）當直線過點T 且斜率存在時，設方程為 y＝k x( ?3) ，
第7頁/共11頁
（Ⅰ）解：由題意得 ? a 2 解得 a ? 2,c ?1 ，
得(3k2 ?1)x2
y ? k ? x ? 3?
，
2 2
聯(lián)立 ? x2 y2 ?18k x ? 27k ? 6 ? 0 ．……11 分
? ? 1，
6 2
2
2
18k 27k ? 6
2 ， x x1 2 ? ．則 x1 ? x2
……12 分
2
3k ?1 3k ?1
因為過點T 的直線與橢圓相交于點 P ，Q 兩點，且OP ? OQ ，
設 P x(1, y1 ),Q x(2 , y2 ) ，知?＞0 成立， x x1 2 ? y y1 2 ? 0 ……13 分
2
y y1 2 ? k(x1 ? 3)?k(x2 ? 3) ? 3k
3k2 ?1
2 25
1 2
1 2
3k2 ?1 3k2 ?1
5
……15 分
x ? y y ? 27k ? 6 ? 3k ? 0，解得 k ? ?
，經(jīng)檢驗可知?＞0
當斜率不存在時，OP ? OQ 不成立。
（20）（共 15 分）
c ? 1，

a ? c ?1，
……2 分
……3 分從而b ?

a2 ? c2 ?
3 ，
所以橢圓 C 的方程為 ? ?1．x2 y2
……4 分
4 3
（Ⅱ）解：當直線 l 的斜率不存在時，有 M 1, ， N 1,? ， P(4,?3),Q(4 3)，, F(1,0), A(2,0) ，
3 ? ? 3 ?
2 ? ? 2 ?
| PQ |? 6 ．
當直線 l 的斜率存在時，設l : y＝k x( ?1) ，其中 k ? 0 ．
y ? k x? ?1?，
2 2
2 2
2
2
聯(lián)立 ? 得(4k ? 3)x ?8k x ? 4k ?12 ? 0 ．……5 分
?3x ? 4y ?12，
由題意，知 ?＞0 恒成立，設 M x(1 , y1 ), N x(2 , y2 ) ，
2
2
1
則 x ? x ? 8k4k + 3 ， x x1 2 ? 4k2?124k2+ 3 ．
……6 分
2
直線 MA 的方程為 y ? 1x1? 2 ? x ? 2? ，y
2y ? ? 2y ?令 x ? 4 ，得 yP ? 1 ，即 P 4,
，同理可得Q 4,
．……8 分
1
x1 ? 2
2y
2
x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ?
第8頁/共11頁
1 ?
|? 2y1 ? 2y2 |? 2y1(x2 ?2) ?2y2 (x1 ?2) ||
|
所以| PQ |?| yP yQ
? 4 ?
集合 A2 ? ? ,1,2,3?不是 H4 集合，
?3 ?
1 ?2 x2 ?2 x1x2 ?2(x1 ? x2 ) ? 4
2 1將 y1 ? k ?x1 ?1?，y2 ? k ?x2 ?1? 代入整理得| PQ |?| 2k(x ? x )x x ?2(x + x ) + 4 |
1 2 1 2
k2 ? 1 |? 6 k ?1
2

k2
1 2
2
| PQ |?| |?|
2k (x ? x1)2 ?4x x 6
x1x2 ?2(x1 ? x2 ) ? 4
k……10 分
| PQ |?12 ，解得 k (? ?? ?, 3]
[ 3,??)
3
3
……11 分
（Ⅲ）點 A 在以 PQ 為直徑的圓的內(nèi)部.
證明：當直線 l 的斜率不存在時，有 M 1, 2 ， N 1,? 2 ， P(4, ?3),Q(4 3)，, F(1,0), A(2,0) ，
3 ? ? 3 ?
?
則 AP ? ?2,?3?， AQ ? ?2,3? ，故 ? 5 ，即?PAQ ? 90?．……12 分AP AQ ? ?
由（Ⅱ）可知 P4, x ?2 ，Q4, x ?2 ． 2y1 ? ? 2y2 ?
1 2
2
1
2y ? ? 2y ?
所以 AP ? 2, ， AQ ? 2, ．
x1 ?2 ? ? x2 ?2 ?
因為 ?AP AQ ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? ?1 2
1 2
1 2 1 2
2
1
?? ? ? ?? ?
?
1 2
4y y 4k2 ?x ?1??x ?1? 4k2 ?x x1 2 ??x1 ? x2 ??1?
?2 x ?2 x ?2 x ?2 x x ?2 x ? x ? 4
2 ?4k2 ?12 8k2 ?
4 ? 4k 4k2 ?3 ? 4k2 ?3 ?1 ? 4 ? 4k2 ?4k2 ?12??8k2 ??4k2 ?3? ? ?5 ? 0
2 22
2
2
，
2
2
4k ?12 16k ?4k ?12??16k ? 4 4? k ?3?
? ? 4
4k ?3 4k ?3
所以?PAQ ? 90?， ……14 分
綜上?PAQ ? 90?，點 A 在以 PQ 為直徑的圓的內(nèi)部. （21）(共 15 分）
解：（Ⅰ）集合 1A ? ?0, ,1,4?是 H4 集合，
?1 ?
（Ⅱ）當?a b c d, , , ? ???1,1, x y,?時， ab ? cd ? ?1? xy ? A， 當?a b c d, , , ? ???1, x,1, y?時， ab ? cd ? ?x ? y ? A ， 當?a b c d, , , ? ???1, y x, ,1?時， ab ? cd ? ?y ? x ? A ，
……15 分
……2 分
……4 分
……5 分
第9頁/共11頁
不妨設 x ? y ，由集合互異性可知： x ? ?1, y ? ?1
則 ?x ? y ? ? y ? x 且互為相反數(shù)，
若{? y ? x?， x ? y} ? { ,x y}，可得 x ? y ? 0 ，不符合題意
則{? y ? x?， x ? y} ? ?{ 1,1}，可得 y ? x ?1
當 ?1? xy ? ?1時， xy ? 0 ，不符合題意
當 ?1? xy ? 1時，解得 x ? ?2 ， y ? ?1或 x ? 1 ， y ? 2 ，不符合題意
當 ?1? xy ? x 時，解得 x ? ?1 ， y ? 0 或 x ? 1 ， y ? 2 ，不符合題意……6 分

當 ?1? xy ? y 時，解得 x ? 2 ， y ? 2 ?1或 x ? ? 2 ， y ?1? 2 ，符合題意
所以集合 A ? ??1,1,
2, 2 ?1?或 A ? ??1,1,?

2,? 2 ?1? ……8 分
（Ⅲ）假設 A 中元素全為正實數(shù)，不妨設0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4
當?a b c d, , , ? ? ?a1,a2 ,a3 ,a4? 時， ab ? cd ? a a1 2 ? a a3 4 ? A ， 當?a b c d, , , ? ? ?a1,a3 ,a2 ,a4?時， ab ? cd ? a a1 3 ? a a2 4 ? A ， 當?a b c d, , , ? ? ?a1,a4 ,a2 ,a3?時， ab ? cd ? a a1 4 ? a a2 3 ? A ，
由于?a a1 2 ? a a3 4 ? ? ?a a1 3 ? a a2 4 ? ? a4 ?a3 ? a2 ? ? a1 ?a3 ? a2 ? ? ?a4 ? a1 ??a3 ? a2 ? ? 0
1 3 2 4
1 4 2 3
2 4 3 1 4 3 4 3
2 1
?
?
? ? ? ? ? ?? ? 0
a a ? a a ? a a ? a a ? a a ? a ? a a ? a ? a ? a a ? a ?
所以
a a1 4 ? a a2 3a a1 2 ? a a3 4 ? a a1 3 ? a a2 4 ?
……9 分
A 中元素至少 2 個大于1時，此時1? a3 ? a4 ，
a a1 2 ? a a3 4 ? a a3 4 ? a4 ? A
……10 分
A 中元素至多1個大于1，此時0 ? a1 ? a2 ? a3 ?1? a4 a a1 4 ? a a2 3 ? a a1 4 ? a1 ，0 ? a3 ? a1 ? 1
所以{a a1 2 ? a a3 4 ,a a1 3 ? a a2 4 ,a a1 4 ? a a2 3} ? {a4 ,a3 ,a2}，
1 2 3 4 4
可得 3 ? 4 3 ，可得 a a1 2 ? a a3 4 ? a a1 4 ? a a2 3 ? a4 ? a2 ，即(a4 ? a2 )(a3 ? a1) ? a4 ? a2 不成
a a1 4 ? a a2 3 ? a2
立，
……12 分
A 中元素小于等于1，即0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?1
0 ? a4 ? a3 ? a4 ? a2 ? a4 ? a1 ?1
此時{a a1 2 ? a a3 4 ,a a1 3 ? a a2 4 ,a a1 4 ? a a2 3} ? {a4 ,a3 ,a2 ,a1}， 包含以下幾種情況：
第10頁/共11頁
第一種：{a a1 2 ? a a3 4 ,a a1 3 ? a a2 4 ,a a1 4 ? a a2 3} ? {a4 ,a3 ,a2}，
?a a1 2 ? a a3 4 ? a4
可得 ?a a1 3 ? a a2 4 ? a3 ，可得 a a1 2 ? a a3 4 ? a a1 4 ? a a2 3 ? a4 ? a2 ，即(a4 ? a2 )(a3 ? a1) ? a4 ? a2 不成 a a1 4 ? a a2 3 ? a2
立，
第二種：當{a a1 2 ? a a3 4 ,a a1 3 ? a a2 4 ,a a1 4 ? a a2 3} ?{a3 ,a2 ,a1}時，
?a a1 2 ? a a3 4 ? a3
可得 ?a a1 3 ? a a2 4 ? a2 ，可得 a a1 2 ? a a3 4 ? a a1 4 ? a a2 3 ? a3 ? a1 ，即(a4 ? a2 )(a3 ? a1) ? a3 ? a1 不成 a a1 4 ? a a2 3 ? a1
立，
第三種：當{a a1 2 ? a a3 4 ,a a1 3 ? a a2 4 ,a a1 4 ? a a2 3} ?{a4 ,a2 ,a1}或{a4 ,a3 ,a1} 時，
4
1 2 3 4
?a a ? a a ? a
可得 ，可得 a a1 2 ? a a3 4 ? a a1 4 ? a a2 3 ? a4 ? a1 ，即(a4 ? a2 )(a3 ? a1) ? a4 ? a1 ，即
a a1 4 ? a a2 3 ? a1
a ? a ? a4 ? a1 ?1不成立，1
3
……15 分
a4 ? a2
由①②③都錯，可知假設集合 A 中全為正實數(shù)為錯誤命題，所以集合 A 中不全為正實數(shù).
第11頁/共11頁

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