數(shù) 學(xué)
本試卷共 4 頁(yè)，150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效。考 試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。
第一部分（選擇題 共 50 分）
一、選擇題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(3 ? 4i)2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
（A）第一象限
（B）第二象限 （C）第三象限
（D）第四象限
（2）已知a ? (1 0， 2，) ，b ? (x 0， 1)， ，如果a 與b 為共線(xiàn)向量，則 x 的值為
1

2 3
1
1

6
1
（3）二次函數(shù) y ? 1 x2 的圖象是拋物線(xiàn)，該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
4
（A）(0 1)， （B）(1 0，) （C） （D） ( 1 0，)
16
(0，1 )
16
（4）已知空間中直線(xiàn)l 的一個(gè)方向向量 u ? (?1 0， 2，) ，平面? 的一個(gè)法向量 n ? (2 1， 1)， ，則
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）l//? （C）l ? ?
（B）l ? ?
（D）直線(xiàn)l 與平面? 不相交
（5）已知直線(xiàn)l1 : x ? 2ay ?1 ? 0 與直線(xiàn)l2 : (a ?1)x ? ay ?1 ? 0 平行，則 a 的值為
1
1
2
（A）
（B）
（C） 或
（D）
0 0 1
2
（6）已知圓C : (x ?1)2 ? (y ? 2)2 ? 4 與直線(xiàn)l : x ? y ? m ? 0 交于 A B， 兩點(diǎn)，若?ACB ? 90? ，則 m 的值為
?3（A）
（B）
（C） 或
（D）
（7）條件 p : m ? 0 n， ? 0 ，條件 q :方程 mx2 ? ny2 ?1表示的曲線(xiàn)是橢圓，則 p 是 q 的
（A）充分而不必要條件 （C）充分必要條件
（B）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件
（8）已知雙曲線(xiàn)C 的方程為 x2 ? y2 ?1 ，點(diǎn) P ，Q 分別在雙曲線(xiàn)的左支和右支上，則直線(xiàn) PQ 的斜率的取
4
值范圍是
（A）(?? ?， 2)
（B）(?2 2，)(2 ? ?)
，
（D）(? 12 ，12)(?? ?， 1) (1 ? ?)
2 2
（C）
，
第1頁(yè)/共10頁(yè)
（9）廡殿（圖 1）建筑是古代傳統(tǒng)建筑中的最高型制．這種建筑形式常用于宮殿、壇廟一類(lèi)皇家建筑，是
北京中軸線(xiàn)上主要建筑最常采取的形式．如故宮午門(mén)、太和殿、乾清宮等，都是廡殿式建筑．廡殿殿
頂?shù)幕窘Y(jié)構(gòu)包括四個(gè)坡面，坡面相交處形成 5 根屋脊，又稱(chēng)“四阿殿”或“五脊殿”．圖 2 是根據(jù)
廡殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面 ABCD 是矩形，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰
三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面與平面 ABCD 的夾角都相等．若 AB ? 25m ，
BC ?10m ，則 EF 的長(zhǎng)為
FE

D C

BA
圖 1
圖 2

（A）10m （B）10 2m （C）15m （D） 20m
y2
（10）已知橢圓C : ? b2 ?1(a ? b ? 0) 的左、右焦點(diǎn)分別是 1F (?c 0，) ， F2 (c 0，) ，若離心率x2 a2
1
e ? 5 ? (e ? 0.618) ，則稱(chēng)橢圓C 為“黃金橢圓”．給出下列三個(gè)命題：
2
C 中，b2 ? e ? a2 ；
C 中，若上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為 E ， B ，則? 1F EB ? 90；
C 中，以 A(?a 0，) ， B a( 0，) ， D(0 ?， b) ， E(0 b，) 為頂點(diǎn)的菱形 ADBE 的內(nèi)切圓過(guò)焦 點(diǎn) 1F ， F2 ．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）3
第二部分（非選擇題 共 100 分）
二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。
（11）若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z(1? 2i) ? 5 ，則 z ? ．
（12）已知雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，則雙曲線(xiàn) 的離心率為 ；若 M 是C： ?
4
?1
9
x2 y2
C
1F F，2
雙曲線(xiàn)C 上任意一點(diǎn)，則||M 1F | |? MF2|| ? ．
（13）直線(xiàn) y ? mx ? 2m ?1經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)C ，則點(diǎn)C 的坐標(biāo)為 ，以點(diǎn)C 為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓 的方程為 ．
第2頁(yè)/共10頁(yè)
（14）一只盛水的圓柱形茶杯傾斜后得到橢圓形水面，若水面與底面所成的二面角為 45，則水面
橢圓的離心率為 ．
（15）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A(0 0 2)，， ， B(2 0 1)，， ，C(0 2， 1)， ，若點(diǎn) P(x y， 0，) 在平面 ABC 內(nèi)，
則一個(gè)符合題意的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ．
（16）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體 ABCD ? A B C D1 1 1 1 中， E 是棱 A 1A 上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
A1
B1 ? BED1 的體積為定值；B1
D
D1
C1
C
存在點(diǎn) E ，使得 B D1 ? 平面 BED1 ；E
E ，在棱 DC 上總存在一點(diǎn) P ，使得 AP 平面 BED1 ；
A
B
E 到 DC1 的距離的最小值為1． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題共 5 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。
（17）（本小題 13 分）
已知拋物線(xiàn)C：y2 ? 2 p x ( p ? 0) 的焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是 2 . （Ⅰ）求拋物線(xiàn)C 的方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線(xiàn)l 經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C 的焦點(diǎn) F ，且與拋物線(xiàn)C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)，求線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)．
（18 ）（本小題14 分）
（Ⅰ）若平面 AB E1 與棱C D1 1 交于點(diǎn) F ，求證點(diǎn) F 為C D1 1 的中點(diǎn)； （Ⅱ）求平面 AB E1 與平面 ABCD 夾角的余弦值．
D1
如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD ? A B C D1 1 1 1 ， AB ? AD ? 2， AA1 ? 4 ，點(diǎn) E 為 DD1 中點(diǎn)． A1
B1
C
F
C1
E
D
AB
第3頁(yè)/共10頁(yè)
（19 ）（本小題14 分）
如圖，在四棱錐 P ? ABCD 中，平面 PAD ?平面 ABCD ，底面 ABCD 為矩形， E 為線(xiàn)段 PD 的中點(diǎn)，
AB ?1， PA ? AD ? 2．
（Ⅰ）求證： PB 平面 ACE ；
P
（Ⅱ）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知， 求（i）點(diǎn) P 到平面 ACE 的距離；
（ii）直線(xiàn) AP 與平面 ACE 的夾角的正弦值．E
A
D
條件①： PB ? AD ； 條件②： AE ? 2 .
C
B
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
（20）（本小題滿(mǎn)分 14 分）
y2
已知橢圓C : ? ?1(a ? b ? 0) 的離心率為 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1， ) ．x2 a2
b2
（Ⅰ）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 斜率為 12 的直線(xiàn)與橢圓C 交于 M N， 兩點(diǎn)（ M N， 不與 A 重合），直線(xiàn) AM A， N 與 x 軸分別交于
P Q， 兩點(diǎn)，求證：△APQ 是等腰三角形．
（ 21 ）（本小題15 分）
對(duì)于空間向量ak ? (xk y，k z，k ))
(xk y，k z，k ?N k， ? 0 1 2，， 3，， ，定義：? ak ? ? xk ? yk ? zk ，
[ak ] ? xk ? yk ? zk ．且 xk?1 ? |xk ? yk |，yk?1 ? |yk ? zk |，zk?1 ? |zk ? xk | ． （Ⅰ）若a0 ? (1 2 3)，， ，求? a2 ? 及[a2 ] ；
（Ⅱ）是否存在[a1] ? 2 025 ？若存在，寫(xiě)出一個(gè) a0 ；若不存在，說(shuō)明理由； （Ⅲ）證明：對(duì)于任意 a0 ，必存在 m ?N? ，使? am ? ? 0 ．
第4頁(yè)/共10頁(yè)
參考答案
一、選擇題（每小題 5 分，共 50 分）
二、填空題（每小題 5 分，共 30 分）
（11）1? 2i
13
（12） 4
2
（13）(?2 ?， 1) (x ? 2)2 ? (y ?1)2 ? 5

（14） 22
（15）(2 2， 0，) （答案不唯一，滿(mǎn)足 x+y ? 4 ）
（16）①，②，④
三、解答題（共 5 小題，共 70 分）
（17）（本小題 13 分）
解：（Ⅰ）焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是 p ? 2 ,
拋物線(xiàn)C 的方程為 y2 ? 2 px ，即 y2 ? 4x .
準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x ? ?1 .
（Ⅱ）焦點(diǎn) F (1 0，) ，
直線(xiàn)l 的方程為 y ?1 (? x ?1) ,
2
?y ? x ?1，
由 ? 消去 y 得 x2 ? 6x+1 ? 0 .
?y ? 4x ，

解方程得 x1 ? 3+2 2 ，x2 ? 3 ? 2 2 .代入 y ? x ?1得 y1 ? 2+2
得 A ， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3+2 2 2，+2 2) ，(3 ? 2 2 2， ? 2

，
2 ，y2 ? 2 ? 2 2 .


所以 AB= (x1 ? x2 )2 ? (y1 ? y2 )2 = (4 2)2 ? (4 2)2 ? 8 .
解法二：不解方程 x1 ? x2 ? 6 x，1x2 ?1 ?， ? 62 ? 4 ? 0 ， AB ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
C
C
B
D
C
D
解法三： AB=

1? k2 |x1 ? x2|=

1? k2 (x1 ? x2 )2 ? 4x x1 2 ? 8 .
（18）（本小題 14 分）
解：（Ⅰ）解法一： ,
第5頁(yè)/共10頁(yè)
?平面 ABB A1 1 //CDD C1 1 .
AB E1 ? AB1 ,平面CDD C1 1
AB E1 ? EF ,
又平面 ABB A1 1
? AB1 //EF .
又 AD//B C1 1，AD=B C1 1，四邊形 1AB C D1 為平行四邊形.
? AB1 //DC1 ,
EF //DC1 .
又點(diǎn) E 為 DD1 中點(diǎn)，
?點(diǎn) F 為C D1 1 的中點(diǎn).
解法二：連結(jié) DC1 ,
在長(zhǎng)方體 ABCD- 11A B C D1 1中， AD//B C1 1，AD=B C1 1，四邊形 1AB C D1 為平行四邊形，
AB1 //DC1 .
AB1 ? 平面 AB E1 ， DC1 ? 平面 AB E1 ，
?DC1 平面 AB E1 ，
又 DC1 ? 平面CDD C1 1 ，平面 AB E1
? EF //DC1 .平面CDD C1 1 ? EF ，
又點(diǎn) E 為 DD1 中點(diǎn)，
?點(diǎn) F 為C D1 1 的中點(diǎn).
A1
解法三：(建系求法向量的分值給在第二問(wèn))
設(shè) F(0 y， 4，) ，則 AF ? (?2 y， 4，) .
D1
E
z
F C1
B1
D C y
A
B
x
由 n ? AF ? 0 ?2 ? 2y ? 4 ? 0 ，，得
y ?1?點(diǎn) F 為C D1 1 的中點(diǎn). （左手法則建系也可以）
（Ⅱ）因?yàn)?DA D， C D， D1 兩兩互相垂直，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz- ， 則 D（0 0， 0，） A， (2 0， 0，) B， (2 2， 0，) C， (0 2， 0，) ， E(0 0， 2，) , AE ? (?2 0， 2，) ,
1A (2 0， 4，) D， 1(0 0， 4，) C，1(0 2， 4，) B，1(2 2， 4，) , AB1 ? (0 2， 4，) .
， ，?
?n AB1 ? 0 2y ? 4z ? 0，
設(shè)平面 AB E1 的法向量為 n ? (x y z) ，則 ?
?n ? AE
0. ?2x ? 2z ? 0.
，?
1
第6頁(yè)/共10頁(yè)
平面 ABCD 的法向量為 m ? (0 0 1)， ，，
設(shè)平面 ABCD 與平面 AB E1 夾角為? ，
所以 cs? ?| cs ? m n， |?? | m n? | ?? .
1 6
6 6
| m || n |
AB E1
ABCD
平面 與平面 夾角的余弦值為 .
6
6
（19）（本小題 14 分）
解： （Ⅰ）連結(jié) BD 交 AC 于點(diǎn) F ，
E 是 PD 的中點(diǎn)， F 是 BD 中點(diǎn)
EF PB .
又EF ? 平面 ACE ，
PB ? 平面 ACE ,
AD ? PA . B C
PB
注：建空間直角坐標(biāo)系的此問(wèn)得 0 分.
z
P
（Ⅱ）選條件①： PB ? AD 作為已知，
E
PB ? AD ， AB ? AD ， AB
PB ? B ，
A
D
y
平面 ACE .
AD ?平面 PAB .
x
選條件②： AE ?2 作為已知，
因?yàn)榈妊切?PAD 中， E 為線(xiàn)段 PD 的中點(diǎn)，所以 AE ? PD .
AE ? 2 得 PE ? ED ? 2 .

所以 PA2 ? AD2 ? PD2 ， AD ? PA .
平面 PAD ?平面 ABCD ，交線(xiàn)為 AD ， AB ? AD ，
AB ?平面 PAD . ? AB ? PA .
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A ? xyz .
? AE ? (0 1 1)， ， ，
，，設(shè)平面 ACE 的法向量為n ? (x y z) ，則 ?
? ?n AE ? 0.
?
?n AC ? 0
?x ? 2y ? 0
y ? z ? 0. 令 x=2 ，則 y ? ?1，z ?1 .

AP ? (0 0 2)， ，
，
第7頁(yè)/共10頁(yè)
?點(diǎn) P 到平面 ACE 的距離為 d ?0? 2 ? 0? ?( 1) ? 2?1
AP n?
n

63 .
22 ? (?1)2 ?12
?
設(shè)直線(xiàn) A 1A 與平面 1C DM 所成角為? ，則直線(xiàn) A 1A 與平面 1C DM 所成角的正弦值為
?sin? ? d ? 6
AP 6
解法二： AP ? (0 0 2) ， n ? (2 ?1 1)， ，
，，
.
設(shè)直線(xiàn) A 1A 與平面 1C DM 所成角為? ，?sin? ? cs ? A 1A n ? ?
（20）（本小題 14 分）
?
?
?a2 ? b2 ? c2
解：（Ⅰ）由題意得
1
a
?a b
?cs ? AP n ?? AP n? ? 0?0 ? 0? ?( 1) ? 2?1 ? 6 AP n 2? 6
2 2
? 4 ?1.
c 1
2
9
，


x2 y2
AM
，
x2 y2
4 3
當(dāng) M 或 N 坐標(biāo)為(1 ?， 3) 時(shí)， ? ? ? m ， m ? ?2 ，不合題意.
6 . 6
AN
y1 ? 3 y2 ? 3
所以 k ? k ? 2 ? 2
1 ? x2 ? ?m x，1x2 ? m2 ? 3 .
，
22 ? ?( 1)2 ?12

?a ? 2 ，
又 a ? b ? 0 ，解得 b ? 3， c ?1 .

?1得，


，
所以橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4 ? 3 ?1.
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)方程為 y ? x ? m ，代入 ?
x2 ? mx ? m2 ? 3 ? 0 ，設(shè) M (x1 y，1) N， (x2 y，2 ) ，
所以 ? ? 0 ，得 m2 ? ?4 1 (? m2 ? 3) ? 0 ， ?2 ? m ? 2 .
3 1
2 2 2
1 ?1 x2 ?1
(y1 ? 3)(x2 ?1) ? (y2 ? 3)(x1 ?1)
2 2
(x1 ?1)(x2 ?1)
第8頁(yè)/共10頁(yè)
(2y1 ? 3)(x2 ?1) ? (2y2 ? 3)(x1 ?1)
2(x1 ?1)(x2 ?1)
(x ? 2m ? 3)(x ?1) ? (x ? 2m ? 3)(x ?1) 2(x1 ?1)(x2 ?1)1 2
2 1
? 2x x1 22(? ?m 4)(x ? x2 ) 1 2?
x?1)(
? 2(m2 ? 3) ? (2m ? 4)(?m) ? 4m ? 6
2(x1 ?1)(x2 ?1)
=0
所以 AP ? AQ . △APQ 是等腰三角形． （21）（本小題 15 分）
解：（Ⅰ）若a0 ? (1 2 3)，， ，則 x1 ?1，y1 ?1，z1 ? 2 ，a1 ? (1 1 2)，， ， x2 ? 0，y2 ?1，z2 ?1 ，a2 ? (0 1 1)，， ，
所以 ? a2 ?? ?0 1 1? ? 0 ，
[a2 ] ? 0 ?1?1 ? 2 ． （Ⅱ）不存在．
不防設(shè) x0 ≤ y0 ≤z0 ，
?x1 ? y0 ? x0 ， 所以 y1 ? z0 ? y0 ，
z1 ? z0 ? x0 .
相加得 x1 ? y1 ? z1 ? 2(z0 ? x0 ) ． 因?yàn)閇a1] ? x1 ? y1 ? z1 ? 2025 ，
所以 z0 ? x0 ? ．
因?yàn)?xk y，k z，k ?N k， ? 0 1 2，， 3，， ，所以不存在滿(mǎn)足條件的a0 ． （Ⅲ）設(shè) Mk ? max{xk y，k z，k } (k ? 0 1 2，， 3， )
2025
2
， ，
假設(shè)對(duì)?k ? N ?， ak?1 ?? 0 ，即 xk?1 y，k?1 z，k?1 均不為 0．
所以 Mk ?1 ? Mk ?2 ．即 M1 ? M2 ? M3 ?．
第9頁(yè)/共10頁(yè)
又因?yàn)?Mk?1 ? N? ，
所以 M1 ≥ M2 ?1≥ M3 ? 2 ≥ ?1? M1 ． 所以 M2?M1 ≤ ?1．
與 M2?M1 ? N 矛盾，故假設(shè)不正確．
綜上，對(duì)于任意 a0 ，必存在 m ? N? ，使? am ? ? 0 ．
第10頁(yè)/共10頁(yè)

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