數(shù) 學(xué)
本試卷共 4 頁，150 分，考試時長 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考 試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保存。
第一部分（選擇題 共 50 分）
一、選擇題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（1）已知lg2 3 ? a ，lg2 5 ? b ，則lg 152
（B） ba（A） ab
（C） a b
（D） a b
（2）擲一個骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，設(shè)事件 M ? “點數(shù)為奇數(shù)”，事件 N ? “點數(shù)為3 的整數(shù)倍”，若 P M( ) ， P N( ) 分別表示事件 M ， N 發(fā)生的概率，則
（A） P M( ) ? 1 ， P N( ) ? 1
（C） P M( ) ? P N( ) ? 1
（B） P M( ) ? 1 ， P N( ) ? 1
32
（3）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間( ,?? ??) 上單調(diào)遞增的是
1
（B） f (x) ? 2x
（C） f x( ) ? x3
（D） f x( ) ? lg x
2x
x2
（5）供電部門對某社區(qū)1 000 位居民 2024 年12 月份人均用電情況進行統(tǒng)計后，按人均用電量（單位： 度）分為[0,10) ，[10,20) ，[20,30) ，[30,40) ，[40,50] 五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下 列說法錯誤的是
（A）在這1 000 位居民中，12 月份人均用電量人數(shù)最多的一組有 400 人 （B）在這1 000 位居民中，12 月份人均用電量不低于 20 度的有500 人 （C）在這1 000 位居民中，12 月份人均用電量為 25 度
（D）從這1 000 位居民中，任選1 位擔(dān)任安全用電宣傳員，選到 居民人均用電量在[30,40) 一組的概
1率為
10
第1頁/共7頁
（4）函數(shù) f (x)
的零點個數(shù)是
（A）0
（B）1
（C） 2
（D）3
（6）已知向量 m ? (a,2) ， n ? (8,a) ，則“ a ? ?4 ”是“ m n ”的? 2 a
（C）
（D）
（B） 2 a ? 1 b
3
b
3 3
3 3 3
3 3
（A）充分而不必要條件 （C）充要條件
（B）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件b
a
（7）如圖，在平行四邊形 ABCD 中， M 是 AB 的中點， DM 與 AC 交于點 N ，設(shè) AB ? ， AD ? ，則
?BN
D
NC
B
A
M
（A）
? 1 b
1a ? 2
1 a ? 2 b
f (x ) ? f (x ) x ? x 2 2（8）若函數(shù) f (x) 滿足：對定義域內(nèi)任意的 x1, x2 (x1 ? x2 ) ，都有
f ( ) ，則稱函數(shù) f (x)
2
1
2
1
3
（D） f x( ) ? (x ? 0)
具有性質(zhì) H .下列函數(shù)中不具有性質(zhì) H 的是
（C） f x( ) ? x3 (x ≥0)
（9）已知函數(shù) f x( )=|lga x a|( > 0 且 a ? 1) ，那么下列命題中的假命題是
（B）若0 ? m ? n ，且 f m( )= ( )f n ，則 mn ? 1
1
x
（A） f ( )x ? ( ) （B） f x( ) ? lg2 x
1
x
（A）若 f (2)=1 ，則 a ? 12 或 a? 2
（C）存在正數(shù) k ，使得函數(shù) g x( )= (f x) ? kx ?1 恰有1 個零點
（D）不存在實數(shù) a ?1，使得函數(shù) g x( )= (f x) ? ax 恰有3 個零點
（10）已知函數(shù) f (x) ? 且 ，給出下列四個結(jié)論:ax ?1
a ? 1)
(a ? 0
x
a ?1
f (x) 在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
f (x) 的值域為(0,1) ；
f (x) 的圖象是中心對稱圖形；
f (x) 的圖象過定點(0,0) .
其中正確結(jié)論的個數(shù)是
（A）1
（B） 2
（C）3
（D） 4
第二部分（非選擇題 共 100 分）
二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。
第2頁/共7頁
（11）函數(shù) f (x) ? ? lg(5 ? x) 的定義域為 .1
（12）某單位共有80 名職工，其中35 歲以下的有 20 人，35 — 45 歲的有35 人， 45 歲及以上的有 25 人.現(xiàn) 用分層抽樣的方法，從中抽取16 名職工進行問卷調(diào)查，則抽取的 45 歲及以上的職工人數(shù)為 .
?
（13）向量a ， b ， c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c = ?a + ?b ( ,? ? ? R) ，則 = .
?
（14）若冪函數(shù) f (x) 同時具有以下三個性質(zhì)：① f (x) 的定義域為(??,0) (0,??) ；② f (x) 是奇函數(shù)；③ 當(dāng) x ? 0 時， f (x) ? 0 .則 f (x) 的一個解析式是 ．
?
x2 , x ≤1,
（16）已知函數(shù) f ( )x ? ?
若 f ( )x ? 2 ，則 x ? ；若 f x( ) ? m 有三個不同的實根 x1, x2 , x3 ，
?lg2 x x >, 1.
且滿足 x1 ? x2 ? x3 ，則(x1 ? x2 )m2024 ? x3 的取值范圍是 ．
（16）據(jù)說古印度國王為了獎賞國際象棋的發(fā)明者，讓他提一個要求.發(fā)明者說：我想在棋盤的第1 個格子 里放上1 顆麥粒，在第 2 個格子里放上 2 顆麥粒，在第3 個格子里放上 22 顆麥粒，在第 4 個格子里放上 23 顆 麥粒，，每個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的 2 倍，直到第 64 個格子，國王欣然同意. 通過計算，該發(fā)明者所要求的麥粒數(shù)為 264 ?1 .你認為1010 ，1015 ，1020 ，1025 四個數(shù)中與 264 ?1 最接近的是
．（參考數(shù)據(jù)：lg2 ? 0.3010 ）
三、解答題共 5 小題，每小題 14 分，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（17）（本小題14 分）
2
甲、乙兩人獨立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目 概率是 ，乙解出這道題目的概率是 45 .
3
（Ⅰ）求甲、乙兩人都解出這道題目的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人恰有一人解出這道題目的概率； （Ⅲ）求這道題目被甲、乙兩人解出的概率.
（18）（本小題14 分）
1 1已知向量a ? (?1,2) ，b ? ( ,? ) ．
2 4
（Ⅰ）求| a + 4b | ；
（Ⅱ）若向量 c 滿足 2a ? 3c ? 8b ，求向量c ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若a ? mc ? 2nb ，求實數(shù) m n, 的值.
第3頁/共7頁
（19）（本小題14 分）
已知函數(shù) f x( ) ? lg (2 x2 ? 2x ? a) 的定義域是 R ．
（Ⅰ）求實數(shù) a 的取值范圍；?3x?11
（Ⅱ）解關(guān)于 x 的不等式 a ? 1a2 ．
（20）（本小題14 分）
隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，越來越多的人習(xí)慣用手機應(yīng)用程序（簡稱app ）獲取新聞資訊，手機應(yīng)用 程序已經(jīng)成為人們生活中不可或缺的一部分，它悄無聲息的改變著人們的生活習(xí)慣，也為人們的生活 提供了極大的便利.為了解用戶對某款 app 的滿意度，隨機調(diào)研了3 000 名用戶，調(diào)研結(jié)果如下表（單位： 人）：
（Ⅰ）從所有參與調(diào)研的人中隨機選取1 人，求此人“不滿意”的概率；600
550
250
700
250
50
x y
100
（Ⅱ）若用頻率估計概率，從使用該款 app 的青年人和中年人中各隨機選取1 人，估計恰有1 人“滿意”的 概率；
（Ⅲ）現(xiàn)需從參與調(diào)研的老年人中選擇 9 人作進一步訪談，若在“滿意”、“一般”、“不滿意”的老年人中 各選取3 人，這種抽樣是否合理？說明理由．
（21）（本小題14 分）
已知函數(shù) f (x) 的定義域為 R ，對任意實數(shù) m n, ? R ，都有 f m( ? n) ? f m( ) ? f n( ) ，且當(dāng) x ? 0 時，
0 ? f ( )x ?1. （Ⅰ）求 f (0) ；
（Ⅱ）證明：當(dāng) x ? 0 時， f (x) ?1 ；
（Ⅲ）當(dāng) f (lg(a2 ? 2a ? 3)) ?1 時，求實數(shù) a 的取值范圍.
第4頁/共7頁
青年人
中年人
老年人
滿意
一般
不滿意
參考答案3 5 3 5 15 5
一、選擇題（共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分）
二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
（D）
（B）
（C）
（D）
（C）
（A）
（A）
（B）
（D）
（B）
（11）(3,5) （12）5
（13）4

（14） y ? x?1 （答案不唯一） （15） ? 2,4 ；(1,2]
（16）填寫1010 或1025 ，得0 分；填寫1020 得3 分；填寫1015 ，得5 分.
三、解答題（共 5 小題， 共 70 分）
解：（Ⅰ）設(shè)事件 A ?“甲、乙兩人都解出這道題目”，則
P A( ) ? 2 ? 4 ? 8 分
3 5 15
（Ⅱ）設(shè)事件 B ?“甲、乙兩人恰有一人解出這道題目”，則
2
1
2
1
6
4
P B( ) ? ? ? ? ? ? .
分
（Ⅲ）設(shè)事件C ? “這道題目被甲、乙兩人解出”，則
P C( ) ? 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 4 ? 14 .
分3 5
15
3 5
3 5
（18）（本小題滿分14 分）
解：（Ⅰ）因為向量a ? (?1,2) ，b(1 ,?1) ，
2 4
?
所以a + 4b ? (?1,2) ? 4(1 ,? 1) ? (1,1) .
2 4

分
（Ⅱ）因為 2a ? 3c ? 8b ，所以3c ? 2a ? 8b = 2(?1,2) ?8(1,?1) ? (?6,6) .
2 4
所以c ? (?2,2) .
分
（Ⅲ）因為a ? mc ? 2nb ，由（Ⅱ）知，c ? (?2,2) .
所以| 4 |
2m ?1 ? n, m ? 3 ,
?2m ? 2 ? ? 2 , n ? 2.
所以 ? n 即 ? 2
2 4
a + b ? 2 .
所以(?1,2) ? m(?2,2) ? 2n(1,?1) .
所以 x2 ? 2x ? a ? 0 恒成立.
分
（19）（本小題滿分14 分）
解：（Ⅰ）因為函數(shù) f x( ) ? lg (2 x2 ? 2x ? a) 的定義域是 R ，
第5頁/共7頁
11
所以? ? 4 ? 4a ? 0 .，
a2
?
所以 a ?1 .
所以實數(shù) a 的取值范圍為(1,??) ．
分
（Ⅱ）因為
a
?3x?
1
所以 a?3x?11 ? a?2 .
由（Ⅰ）知， a ?1，
所以?3x??3x?11 ? ?2 ，即3x ? ?9 ，解得 x ? ?3 .
不等式 a ? 1a2 的解集為 . 分(?3,??)
（本小題滿分14 分）
解:（Ⅰ）所有參與調(diào)研的人共有3000 人，不滿意的人數(shù)是 250 ? 50 ?100 ? 400 .
記事件 D ? “從所有參與調(diào)研的人中隨機選取1人，此人不滿意”，則所求概率為
P D( )= 400 = 2 分
3000 15
（Ⅱ）參與調(diào)研的青年人共有1400 人，滿意的是600 人.
記事件 M ? “從使用該款app 的青年人中隨機選取1 人，此人滿意”，
600 3則 P M( ) 的估計值為 = .
1400 7
參與調(diào)研的中年人共有1000 人，滿意的是700 人.
記事件 N ? “從使用該款app 的中年人中隨機選取1 人，此人滿意”，
700 7則 P N( ) 的估計值為 = .
1000 10
則從使用該款app 的青年人和中年人中各隨機選取1 人，恰有1 人“滿意”的概率估計為

P M N( ? M N) ? P M( ) ? P N( ) ? P M( ) ? P N( )
= 3 ?(1? 7) ?(1? 3) ? 7 ? 分
7 10 7 10 70
（Ⅲ）這種抽樣不合理.
理由：參與調(diào)研的 600 名老年人中不滿意的人數(shù)為100 ，滿意和一般的總?cè)藬?shù)為 x ? y ? 500 ，說 明滿意度之間存在較大差異，所以從三種態(tài)度的老年中各選取 3 人不合理.合理的抽樣方法是采
用分層抽樣，根據(jù) x ， y ，100 的具體數(shù)值來確定抽樣數(shù)值.
分
（本小題滿分14 分）
解:（Ⅰ）因為函數(shù) f (x) 的定義域為 R ,對任意實數(shù) m n, 都有 f m( ? n) ? f m( ) ? f n( ) ， 且當(dāng) x ? 0 時，0 ? f ( )x ?1.
所以當(dāng) m ? 1， n ? 0 時， f (1? 0) ? f (1) ? f (0) ，即 f (1) ? f (1) ? f (0) . 所以 f (0) ? 分
第6頁/共7頁
（Ⅱ）證明：因為當(dāng) x ? 0 時，?x ? 0 ，所以 f (?x ? x) ? f (?x) ? f x( ) . 即 f (?x) ? f x( ) ? f (0) ，由（Ⅰ）知， f (0) ?1.
所以 f (?x) ? f x( ) ?1 .
所以 .f (x) ?
f (?x)
1
因為?x ? 0 ，所以0 ? f (?x) ?1.
所以 .f (x) ? ?1
f (?x)
1
分
（Ⅲ）任取 x1, x2 ? R ，且 1x < x2 ，則
f x(1 ) ? f x(2 ) ? f ((x1 ? x2 ) ? x2 ) ? f x(2 ) ? f x(1 ? x2 ) f x(2 ) ? f x(2 )
? [ f x(1 ? x2 ) ?1] f x(2 )
由已知條件及（Ⅰ），（Ⅱ）可知， f (x2 ) ? 0 .
又因為 1x < x2 ，所以 x1 ? x2 < 0 .所以 f x(1 ? x2 ) ?1 . 所以 f x(1 ? x2 ) ?1 ? 0 .所以[ f x(1 ? x2 ) ?1] f x(2 ) ? 0 . 所以 f x(1 ) ? f x(2 ) .
所以函數(shù) f (x) 的是 R 上的減函數(shù).
當(dāng) f (lg(a2 ? 2a ? 3)) ?1 時，不等式轉(zhuǎn)化為 f (lg(a2 ? 2a ? 3)) ? f (0) . 因為函數(shù) f (x) 的是 R 上的減函數(shù)，
所以不等式 f (lg(a2 ? 2a ? 3)) ? f (0) 轉(zhuǎn)化為
2 2
lg(a ? 2a ? 3) ? 0, 即 a ? 2a ? 3 ?1, 即 1? 5 ? a ?1? 5,
?a2 ? 2a ? 3 ? 0. ?a2 ? 2a ? 3 ? 0. ?a ? ?1或a ? 3.

所以實數(shù) a 的取值范圍是1? 5 ? a ? ?1或3 ? a ?1+ 5 . 分
第7頁/共7頁

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