人教A版（2019）高一數學必修第二冊-余弦定理的應用-1教案

這是一份人教A版（2019）高一數學必修第二冊-余弦定理的應用-1教案，共15頁。教案主要包含了學習目標，課上任務，學習疑問，課后作業(yè)，課后作業(yè)參考答案等內容，歡迎下載使用。

教學基本信息
課題
余弦定理的應用
學科
數學
學段： 高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書數學必修第二冊A版 版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教學設計參與人員
姓名
單位
設計者
傅靖
北京市第二中學
實施者
傅靖
北京市第二中學
指導者
康杰
雷曉莉
莊肅欽
劉冬
北京教科院基礎教育教學研究中心
北京東城區(qū)教師研修中心
北京市第二中學
北京市第二中學
課件制作者
傅靖
北京市第二中學
其他參與者
教學目標及教學重點、難點
本節(jié)課的主要知識要素是余弦定理及其推論的應用，核心環(huán)節(jié)是結合例題，靈活應用余弦定理及其推論解決不同類型的解三角形問題，深化余弦定理及其推論在邊角互化中的應用；教學過程中主要培養(yǎng)學生邏輯推理、數學運算的能力.
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設置意圖
復習回顧
同學們好！我是來自北京市第二中學的數學教師傅靖，在上節(jié)課中，我們?yōu)榱颂骄咳切沃幸阎承┰兀蠼馄渌氐倪@一問題，通過幾種不同的方法，為同學們推導了三角形中表示邊角關系的重要定理：余弦定理及其推論，那么這節(jié)課，我們就來繼續(xù)探究余弦定理的應用.
首先，我們來回顧一下余弦定理及其推論. 三角形中的余弦定理，有三個等式，盡管表達式不同，但本質相同，表示的是三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，接著，我們將余弦定理的三個等式中邊角元素分離，進行變形，就得到了三個利用三條邊來表示角的余弦值的公式：余弦定理的推論.
給出本節(jié)課學習的核心內容：探究余弦定理及其推論的應用.
探究新知
實際上，如果我們進一步觀察這六個等式的特征，會發(fā)現其實每個等式中均含有同一個三角形中的三條邊和一個角共四個元素，因此利用等量關系，知道其中的三個元素，選擇定理列出方程，就可以求得另一個元素.因此，余弦定理及其推論最常見的應用，就是通過已知三邊和一個角這四個元素中的三個元素，求解另一個未知的元素，而一個三角形中有三個角、三條邊共六個元素，我們就可以通過求解所有未知的元素，解三角形.那么根據三個已知元素類型的不同，我們選擇的公式也不同，所以，我們先對已知三個元素的情況分類說明.
對于已知的三條邊和一個角，我們不妨按照一類元素的個數來進行梳理，比如我們考慮三個元素中角的個數，只可能是0或1，因此當角的個數為0，即已知三條邊時，求解一個角，那么根據我們剛剛的課前回顧可知，此時可以選擇余弦定理的推論中的相關公式解決問題，更可喜的是，借助推論，我們不僅能找到一個角，當我們運用了推論中的所有三個公式，我們就可以求出三角形中所有的角，此時也就解出了三角形.而當已知元素中角的個數是1時 ，此時的情況就是已知兩條邊和一個角，求另一條邊，但此時請大家注意，這樣的敘述，并不能清晰地表示元素之間的關系，因為邊與角之間存在不同的位置關系，因此可能的情況有：已知兩邊及其夾角，此時我們可以選取含有兩邊及這個夾角的余弦定理公式，從而求得第三條邊長.此外，還有可能的情況是：已知兩邊及一邊的對角，那么這時，我們可以選取的就是含有兩邊和這個對角的余弦定理公式，也可利用等量關系建立方程求出第三條邊，因此兩類情況都可利用余弦定理的公式來求邊，而當第三邊求解之后，我們就得到了三條邊，又可以轉化為第一類問題，利用余弦定理的推論，求出所有的角，從而解三角形.下面我們針對不同類型的問題，結合例題逐一說明.
復習余弦定理及其推論，為本節(jié)課探究余弦定理及其推論的應用做鋪墊.
例題解析
請看例題解析
已知三條邊，求解三角形中的問題：
例 在△ABC中，已知，求這個三角形的最小內角.
對于沒有幾何圖形的問題，我們建議大家不妨先繪制一個示意圖來輔助分析，我們在圖形上標注好已知條件和問題.此時，已知三角形的三條邊，求解三角形中最小的內角.我們不妨先將問題提煉出來，從已知和問題中尋找解題思路.結合課前回顧，我們知道，在三角形中，已知三邊求解角的大小，可以利用余弦定理的推論，通過邊的關系，找到角的余弦值，再通過角是三角形內角這一條件，確定角的大小.而問題是要求最小的內角，我們則可以分別用余弦定理的推論求出三個角，再通過比較找到最小的值，但這樣顯然有些麻煩.那有沒有更簡單的辦法呢？實際上，如果我們能通過已知條件先確定誰是最小的內角，再去求解，可能就會簡化解題過程.其實我們知道，在三角形中有一個重要的結論，即“大邊對大角”，因此，最小角對應的邊長應為最短的邊長.所以，我們可以根據大邊對大角，先確定最小的內角是誰，再利用余弦定理的推論直接求出最小的內角，因此我們不妨就用第二種思路來解決這個問題.請大家看解題過程：因為在△ABC中，，，所以，由三角形中“大邊對大角”可知：，所以三角形的最小內角為B；下面我們只需要通過三邊大小求出角B的大小即可.由余弦定理的推論得：，分子展開得，此時為了能夠消去分母中的無理數項，可將分子提取公因數，得，最終運算得到，從而求得B的余弦值，而由余弦值確定B的大小時，請大家注意，因為在△ABC中，，所以，最后答題，即三角形的最小內角是.
因此小結本題的解題過程，對于已知三條邊求角的問題，可利用相關的余弦定理的推論來進行解決，此時，需注意滿足要求的角的確定，即“大邊對大角”，而在通過余弦定理的推論求出角的余弦值后，還要通過角是三角形內角這一條件確定角的范圍，從而求出角的大小.因此這類問題的思路請大家明晰.
已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：
例 在△ABC中，a=7，b=8，銳角C滿足，求B(精確到1°).
同樣，我們先繪制示意圖來輔助分析，我們在圖中標注已知和問題，發(fā)現此時問題為已知兩邊及其夾角的正弦值，求一個角，我們把問題提煉出來，并加以分析，已知兩條邊長，如果能找到第三條邊，就可以類似上題的思路確定角的大小，因此，如果能利用已知條件求出c，就可結合余弦定理的推論求得B，那么如何求得c呢？我們知道，可以選擇的依據是相關的余弦定理，通過a，b和C的余弦值，可以求得c，這就需要將已知條件中的sinC轉化為csC，而這一步的實現，可以依靠的是我們同角三角函數的基本關系，即，因此問題的思路就梳理清楚了，我們來看解題過程：因為，且C為銳角，所以可以直接這里請注意，csC的平方在開方時，本身要考慮取值的正負，而本題中，已給出了C為銳角，因此C的余弦值一定是正數，所以在得到了C的余弦值后我們就可以利用余弦定理，代入數值運算得9.此時請注意，有時有的同學容易忽略平方，錯看成，此處要小心.所以最終舍去負值，，這樣我們得到了三邊長度，繼續(xù)由余弦定理的推論，得，代入數值運算，得，再結合內角的范圍，最終利用計算器，算得滿足要求的精確到的 .問題得解.因此梳理此類問題，已知兩邊及其夾角的正弦值，求角的大小，我們可以先利用同角三角函數的基本關系得到兩邊及其夾角的余弦值，再利用余弦定理的推論求出角的大小.在這一過程中請注意，角的范圍決定了余弦值的正負，那么請大家思考一下，如果本題條件中沒有指明C是銳角，那么求出C的余弦值應該分別考慮其正負的情況，而如果是負值，最終又會是怎樣的結果呢？大家可以課下進行探究。而由角的余弦值確定角的大小時，內角的范圍決定了最終角的大小.因此這類問題的解題過程請大家明晰.
接下來我們將上題的已知條件進行一些變化來分析.
已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：
例 在△ABC中，已知，解這個三角形(邊長精確到1cm，角度精確到).先繪制示意圖，并標注已知和問題，我們知道，此時問題提煉為已知a，b和A，求解這個三角形，那么通過已知的兩邊及一邊對角這三個元素我們知道，是可以代入到有關的余弦定理中列出等量關系，而由于知道的角是A，所以我們不妨選擇含有A的余弦定理，這樣列出的應當是關于未知量第三邊c的方程，再通過求解方程，得到c，這樣，我們就得到了三邊長度，而所謂的解三角形，是要知道三角形中三個角、三條邊六個元素，因此還差B，C未知，而我們則可以利用得到了三邊長度，借助余弦定理的推論，求得B，C，從而知道了所有六個元素，也就解出了這個三角形.我們來看解題過程：首先根據已知條件，我們選擇含有兩邊及一邊對角的余弦定理公式，代入數值，得，整理得到，這樣我們就得到了關于c的一元二次方程，因此因式分解得，求得或.此時我們解出了兩個c值，這意味著有兩個c能夠滿足已知條件給出的邊角關系.而這兩個c值是否都能夠構成三角形，實際上可以做檢驗，方法就是分別考察求出的兩個c值和已知的a，b三邊能否構成三角形，我們可以口算檢查兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，從而確定或均滿足題意，因此求得了第三邊c.那么既然已知了三條邊，下面我們只需繼續(xù)利用余弦定理的推論，求出其他兩個未知的角，即可解出三角形，而既然c有兩種結果，我們就應該對問題分類來進行討論：第一種情況，當時，此時我們不妨先來求B，則由余弦定理的推論，，代入三邊數值，，此時由于B為三角形內角，所以利用計算器，就得到B精確到約等于.當然，接下來我們可以再一次使用余弦定理的推論，算出C的余弦值，從而得到C，但從剛剛的過程中我們發(fā)現，本題給出的數值，運算后似乎無法得到某些特殊角的三角函數值，而還需要利用計算器算得角的大小，比較麻煩，那有沒有其他的辦法求出最后的一個C呢？其實，在△ABC中，角的關系存在一個重要的結論，即三個內角的和是，因此由內角和，可得，要求的，從而代入已有的結果，其中由于，因此最終.此時我們就解出了當時這個三角形的所有元素，也就解出了三角形；下面我們同理討論當時的情況，此時，，因此，再利用三角形內角和，算得，從而也得到了當時這個三角形的所有元素，解出了三角形.因此，最后答題，綜上，將兩種情況分別羅列，問題得解.
小結這類問題，已知兩邊及一邊對角求解三角形，我們的思路是，首先利用余弦定理，列出關于第三邊的方程，此時需要注意的是公式的選擇，我們可以選擇含有兩邊和這個對角的余弦定理公式來建立等量關系.從而，通過求解方程，求得第三條邊，此時應當注意方程解的情況與檢驗，考慮是否需要進行分類討論，最后，分別利用推論求出角的大小，我們可以先利用公式求出一個角的大小，再利用三角形內角和是求出另一個角，從而解出三角形.因此以上，我們對三類已知某些元素，利用余弦定理及其推論求解三角形的問題進行了分析，我們來梳理一下這類問題：我們從已知元素出發(fā)，通過判斷已知三個元素的類型來確定思路.若已知三邊，可利用余弦定理的推論求出各個角的大??；而如果已知兩邊和一角，我們要進一步判斷邊與角的位置關系，但其實無論哪種情況，我們只要選擇含有已知角的余弦定理公式即可找到等量的邊角關系，求出第三邊，從而，通過已知的三條邊，轉化為第一類問題進一步求出其他未知角，解出三角形.所以通過以上分析，可以看出，余弦定理及推論可解決通過已知三個元素，利用等量關系求解一個元素，從而解三角形的這類問題.這其中，建立恰當的等量關系是問題解決的關鍵，因此蘊含的方程思想是我們應當把握的重點，那么除此之外，余弦定理及其推論還有哪些其他的應用呢？實際上，由于定理表述的是三角形中邊與角元素之間的等量關系，因此，我們也常常利用它們，將邊與角進行相互的轉化，從而將不同類型的元素統(tǒng)一成同類元素解決問題.比如，常見的題型有以下判斷三角形形狀，證明恒等式，求解幾何計算等，今天我們就以其中的一類代表性問題：判斷三角形的形狀，來體會利用余弦定理及推論，實現邊角互化，從而解決問題的過程.
判斷三角形的形狀：
例 在△ABC中，已知，，試判斷△ABC的形狀.
同樣的，我們先簡單地畫一個示意圖輔助分析，其中我們知道三邊與之間的關系，還知道，即問題為已知邊角關系，邊邊關系，如何判斷三角形的形狀.那我們不妨從問題入手，想確定一個三角形的形狀，我們能做的是根據三角形邊或者角的特征來判斷.因此要么判斷三條邊的關系來確定形狀，要么判斷三個角的關系來確定形狀，因此入手點為將已知關系從含有邊角兩類元素，轉化為只含有邊、或只含有角一類元素，通過同類元素間的關系再做判斷.那么思路就是，要么消去已知關系中的角，得到三條邊關系，要么消去已知關系中的邊，得到三個角的關系，而這些轉化，都離不開我們已有的三角形中邊角之間的等量關系，比如余弦定理及推論，而具體邊角互化方向的選擇，則需要結合已知條件的特點來確定.對于本題，我們不妨分別從兩條思路出發(fā)，體會邊角互化的過程.先看第一種思路，將角轉化為邊，我們來看解題過程：先將已知條件中涉及邊角關系的等式記作（1）式，此時觀察（1）式特征，其中只有一個A的余弦，因此可利用推論，將角的余弦轉化為三邊關系，從而消去角，因此，我們將推論代入（1）式，此時觀察等號兩側，發(fā)現若將等號左側的移至右側，則可與右側的結合，形成等式左側分式分子中的，從而可進行下一步的化簡運算，因此將該式整理得到，而此時請大家務必注意，如果想將等式兩側同時消去，前提一定要保證其不為0，倘若這一項為0，等式也是成立的，因此我們要分類來進行討論：第一種情況，當時，等式約分化簡，得到，因此等式兩邊可同時乘以不為零的bc，將分式化為整式，可得，進一步化簡，得到這樣一個二元二次方程，此時我們可將該式因式分解，得到，但由于b，c均大于0，所以我們能夠唯一確定b，c的關系，即，再結合已知中，得，可知△ABC 為等腰三角形，此時請注意，這種情況的前提是，我們還要對其等于0的情況單獨說明，當時，我們直接得到了三邊的關系，即，而這不就是勾股定理嗎？因此可知△ABC為直角三角形.最后答題，綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.我們通過將角轉化成邊，從而確定了三角形的形狀.
此外，我們再來嘗試將邊轉化成角，來判斷形狀，實際上，問題的入手點仍舊是這一邊角關系，此時等式中三邊均存在，若想將邊轉化為角，我們不妨考慮先轉化一條邊來觀察等式結構，結合等式中存在的唯一的角A，且A的對邊a在該式中只出現了一次，化簡起來相對簡單，所以我們不妨利用余弦定理表示a，因此將代入，就得到了，進一步化簡，得到了，此時，等式兩側均出現了，可以考慮消去，但前提是不能為0，所以當時，化簡該式，得到，從而結果與第一種思路類似，因此答案與第一種思路相同；而當時，此時，所以直接得到△ABC為直角三角形.綜上可得到相同的答案.此處特別說明，請大家注意，由于和不可能同時成立，因此三角形不可能是等腰直角三角形，大家在答題時請?zhí)貏e注意.所以這種思路，我們是嘗試利用余弦定理及推論將邊轉化為角來判斷形狀，雖然在時，最終仍舊是利用邊長關系確定的結果，但當時，我們就需要利用角的大小來確定形狀，因此將邊轉化為角，也是判斷三角形形狀的一種思路.所以我們來小結一下這類問題，已知邊角關系，判斷三角形的形狀，我們有兩種思路可供選擇，而這兩種思路，都離不開三角形中確定的邊角關系，而這也是余弦定理其及推論的重要作用，實際上，這就是數學中重要的化歸思想，其實就是將不同類元素轉化成同類元素，消除差異，解決問題的過程.而轉化方向的選擇，則是問題的重點與難點.我們要具體問題具體分析.最終我們可以利用三條邊，或三個角關系判斷三角形的形狀，而這也離不開三角形的一些性質，其實，從余弦定理及推論本身的形式中，我們也可以得到一些簡單的結論，這里，我們不妨就從邊角兩類元素分離的更清楚的余弦定理的推論中來看，比如，我們知道，在△ABC中，角A的大小與是一一對應的，這就說明，如果A為銳角，等價于，也就等價于表達式等號右側的分式大于0，而分母中兩邊的乘積是恒大于0的，因此就等價于分子，實際上，就是三邊關系，因此我們也可以通過轉化邊角關系，結合這樣的結論來判斷形狀，當然我們還有當A為直角時，，等價于分子等于0，即，而這就是勾股定理，也可以確定三角形為直角三角形，最后，當A為鈍角時，等價于，等價于分子小于0，即，從而我們也可根據一個角是鈍角，來確定三角形是鈍角三角形，因此對于判斷三角形形狀問題的方法，請大家明晰.那從這類問題中我們可以看到余弦定理及推論在邊角互化中的有著很重要作用，其中最主要的思想就是化歸的思想，我們盡可能消除差異，統(tǒng)一元素來解決問題.以上，是我們本節(jié)課的學習內容.
結合例題，靈活應用余弦定理及其推論解決不同類型的解三角形問題；深化余弦定理及其推論在邊角互化中的應用.
課堂小結
最后，我們來進行課堂小結.
本節(jié)課，我們主要列舉了余弦定理及其推論的兩大類應用中的一些例題.第一類問題，就是利用方程的思想，通過已知的三個元素求解另一個元素，從而解決解三角形及其他問題.而已知元素不同，雖然選擇的公式不同，但都可以利用余弦定理及其推論表示的邊角關系來解決問題，因此這類應用中，選擇恰當的公式，是解決問題的關鍵.第二類問題，主要是利用化歸思想，結合余弦定理及其推論，實現邊角之間的相互轉化，從而解決問題.而這類問題的關鍵在于我們要充分結合題目的特征，選擇恰當的轉化方向來實現消除差異，解決問題的目的.希望同學們課下能夠認真總結，加強分析與練習.
小結本節(jié)課所學知識.
《余弦定理的應用》學習任務單
【學習目標】
本節(jié)課的主要知識要素是余弦定理及其推論的應用，核心環(huán)節(jié)是結合例題，靈活應用余弦定理及其推論解決不同類型的解三角形問題，深化余弦定理及其推論在邊角互化中的應用；教學過程中主要培養(yǎng)學生邏輯推理、數學運算的能力.
【課上任務】
1．余弦定理及其推論的形式和含義是什么？
2．余弦定理及其推論的六個等式表示哪些元素的等量關系，知道幾個元素可以求幾個元素？
3．已知三角形的三條邊，如何求解三角形？如何由余弦值確定角的大??？
4．已知三角形的兩條邊及它們的夾角的正弦，如何求解三角形？
5．已知三角形的兩條邊及一邊的對角，如何求解三角形？如何選擇余弦定理的公式？
6．對求出兩個解的解三角形問題如何進行取舍檢驗？
7．判斷三角形形狀的方法有哪些？學習過哪些特殊形狀的三角形？
8．利用余弦定理及其推論判斷三角形形狀的結論有什么？
9．如何恰當地選擇邊角轉化的方向？
【學習疑問】（可選）
10．哪段文字沒看明白？
11．哪個環(huán)節(jié)沒弄清楚？
12．有什么困惑？
13．您想向同伴提出什么問題？
14．您想向老師提出什么問題？
15．沒看明白的文字，用自己的話怎么說？
16．本節(jié)課有幾個環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系和順序是怎樣的？
17．同伴提出的問題，您怎么解決？
【課后作業(yè)】
18．作業(yè)1
(1)在△ABC中，已知，，銳角A滿足，求C(精確到).
(2)在△ABC中，分別根據下列條件解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm).
?，，；
?，，.
19．作業(yè)2（個人學習感想：哪個知識最重要，最有用，需要注意的關鍵之處等）
【課后作業(yè)參考答案】
(1)解：因為，且A為銳角，
所以.
由余弦定理，得.
所以.
由余弦定理的推論，得.
利用計算器，可得.
(2)?解：由余弦定理，得.
所以.
由余弦定理的推論，得.
利用計算器，可得.
所以.
?解：由余弦定理的推論，得.
利用計算器，可得.
由余弦定理的推論，得
利用計算器，可得.
所以.