吉林省八校聯(lián)考2024-2025學年高二上學期1月期末考試數(shù)學 Word版含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

2.答卷前考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上.
3.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率的定義直接得出結(jié)果.
【詳解】由得，
故傾斜角滿足為，
故.
故選：D
2. 如圖所示，在平行六面體中，為與的交點.若，則下列向量中與相等的向量是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量運算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.
【詳解】由題意可得：
=.
故選：A.
3. 如圖，在正方體中，M，N分別為的中點，異面直線MN與所成角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連結(jié)，，根據(jù)題中條件，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，進而可求出結(jié)果.
【詳解】
連結(jié)，，因為在正方體中，M，N分別為的中點，
所以，
因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.
故選：B
4. 九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎
《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一“.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若.且，則解下6個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）
A. 13B. 16C. 31D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)已知的遞推關(guān)系求，從而得到正確答案.
【詳解】，，
，，，，
，
所以解下6個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為.
故選：C.
5. 已知雙曲線與橢圓的焦點重合，則以橢圓的短軸端點為頂點，且與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的值，可得出雙曲線的方程，根據(jù)題意，設(shè)所求雙曲線的方程為，根據(jù)所求雙曲線與雙曲線有相同的漸近線可得出的值，即可得出所求雙曲線的方程.
【詳解】由題意且，則，則雙曲線的方程為.
以橢圓的短軸端點為頂點的雙曲線可設(shè)為，
若與雙曲線具有相同漸近線，則，即.
故所求雙曲線的方程為，即.
故選：B.
6. 平行直線與之間的距離為，則，的可能值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將直線化為，再由距離公式得到方程，從而得到，結(jié)合選項判斷即可.
【詳解】將直線化為，顯然，
依題意可得，即，只有滿足題意.
故選：A.
7. 如圖，在直三棱柱中，為腰長為的等腰直角三角形，且，側(cè)面為正方形，為平面內(nèi)一動點，則的最小值是（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)關(guān)于平面的對稱點為，利用對稱點、到平面距離相等，得出關(guān)于平面的對稱點為，利用對稱點求出最短路徑即可
【詳解】由題意，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設(shè)關(guān)于平面的對稱點為，
則，
設(shè)平面的法向量，
則即
令，則，
所以為平面的一個法向量，
所以與到平面的距離，
即①，又，所以②，
所以由①②得，又由可得，所以，
所以，
當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為．
故選：A．

8. 已知點在以為左、右焦點的橢圓內(nèi)，延長與橢圓交于點，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意設(shè)，，由橢圓的定義和勾股定理計算可得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的單調(diào)性，進而，結(jié)合離心率的定義計算即可求解.
【詳解】如下圖所示：
由題意可知，，設(shè)，則，
由橢圓定義可得，
在Rt中，由勾股定理可得，
即，即，
因為點在橢圓內(nèi)，則，
又因為，所以，
令，是一條開口向上的拋物線，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，
若方程在內(nèi)有實根，則，
得，所以，
因點在橢圓內(nèi)，且，則，即，
所以，因此.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義和勾股定理推出（），利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得，結(jié)合離心率的定義求解即可.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知橢圓上一點，、分別為左、右焦點，，的面積為，則下列選項正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則滿足題意的點有四個
C. 橢圓內(nèi)接矩形周長的最大值為
D. 若為鈍角三角形，則
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦定理、橢圓定義結(jié)合三角形面積公式推導出，可判斷A選項；設(shè)，可得出，結(jié)合，求出的值，判斷點的位置，可判斷B選項；利用橢圓的參數(shù)方程結(jié)合輔助角公式可判斷C選項；對各內(nèi)角為鈍角進行分類討論，求出的范圍，可求得的范圍，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，在橢圓中，，，則，
由橢圓的定義可得，，且、，
設(shè)，，且，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
所以，，
所以，，
因為，則，所以，，解得，A對；
對于B選項，設(shè)，則，且，解得，
此時點為橢圓短軸的頂點，故滿足條件的點只有兩個，B錯；
對于C選項，設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點為，
則橢圓內(nèi)接矩形周長為，
其中為銳角，且，
由得，
當時，，此時橢圓的內(nèi)接矩形周長取最大值為，故C正確；
對于D選項，若為鈍角，，，
則
，解得，所以，，
此時，；
若為鈍角，且，，
則，可得，
又因為，所以，，則，可得，
此時，；
當為鈍角時，同理可知.
因此，的取值范圍是，D錯.
故選：AC.
10. 如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，則下列說法中正確的是（）
A. B.
C. 向量與的夾角是D. 與AC所成角的余弦值為
【答案】AB
【解析】
【分析】A選項，利用向量法求解判斷；B選項，由判斷；C選項，利用向量夾角公式判斷；D選項，利用向量夾角公式判斷.
【詳解】因為以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，
所以，
，
則，所以A正確；
，則，
故，所以B正確；
顯然為等邊三角形，則.
因為，且向量與的夾角是，所以與的夾角也是，所以C不正確；
因為，
所以
，
所以，所以D不正確.
故選：AB
11. 在數(shù)列中，，則以下結(jié)論正確的為（）
A. 數(shù)列為等差數(shù)列
B.
C. 當取最大值時，的值為51
D. 當數(shù)列的前項和取得最大值時，的值為49或51
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差中項判斷A；計算判斷B；確定數(shù)列單調(diào)性推理判斷CD.
【詳解】對于A，由，得，
兩式聯(lián)立得，即，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；
對于B，令，得，B錯誤；
對于C，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，即，又，
公差，則，數(shù)列的前51項為正，
從第52項開始為負，當取最大值時，n的值為51，C正確；
對于D，由數(shù)列的前51項為正，從第52項開始為負，又，
得，
則數(shù)列前49項和最大，又，即數(shù)列前51項和最大，當時，，
因此當或51時，的前n項和取得最大值，D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及求數(shù)列最大項問題，探討數(shù)列的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調(diào)性作答.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 圓和圓的公切線條數(shù)為__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程確定出兩圓的圓心和半徑，然后根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，由此得到公切線條數(shù).
【詳解】∵圓，圓，
∴
∴圓心距，
而兩圓半徑之和，
∴兩個圓相離，則這兩個圓的公切線有4條.
故答案為：4.
13. 已知，直線，且，則的最小值為__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)直線垂直，先得到，再由，展開后利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，即，
因為，所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為8.
故答案為：8
14. 如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線l：交于點和，則______.
（參考數(shù)據(jù)：取.）
【答案】914
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，進而利用錯位相減法運算求解.
【詳解】由題意可知：，
則，
可得，
兩式相減可得：
，
所以.
故答案為：914.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知的直角頂點為A在y軸上，直角邊AB所在直線的方程為，點
，滿足．
（1）求AC邊所在直線的方程；
（2）求外接圓的方程；
（3）求BC邊所在直線的方程；
（4）若動圓P過點，且與的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）．
【解析】
【分析】（1）由題意得到點坐標，再由兩直線垂直得到斜率關(guān)系即可；
（2）由得到外接圓圓心坐標，再由兩點間距離公式求出半徑，可得標準方程；
（3）直曲聯(lián)立，解出點坐標，求出方程即可；
（4）由雙曲線的定義和性質(zhì)求出即可；
【小問1詳解】
由AB邊所在直線的方程為且直角的直角頂點為A在y軸上，
可得，直線AC的斜率為，AC邊所在直線的方程為；
【小問2詳解】
點A的坐標為，且，則為斜邊上的中點，
即為外接圓的圓心，則，
從而外接圓的方程為；
小問3詳解】
外接圓的方程為與直角邊AB所在直線相交，
即，消去可得，即，
解得或，
將代入直線方程可得，
BC邊所在直線即為BM，方程為．
【小問4詳解】
動圓P過點N，是該圓的半徑，又動圓P與圓M外切，
則，即，
故點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線的左支，
實半軸長，半焦距，∴虛半軸長，
從而動圓P的圓心的軌跡方程為．
16. 已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過焦點作一條直線交于A、B兩點，點在的準線上，且直線MF的斜率為的面積為1.
（1）求拋物線的方程；
（2）試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
【答案】（1）
（2）存定點或.
【解析】
【分析】（1）先由題中條件確定點縱坐標為，用表示出的面積，進而可求出，得出拋物線方程；
（2）先設(shè)直線的方程為，點，點，點，根據(jù)，得出，聯(lián)立于拋物線方程，根據(jù)韋達定理，代入前面所得關(guān)系式，化簡
求出即可.
【詳解】（1）因為點在的準線上，且直線MF的斜率為，所以易知點縱坐標為，
則所以，解得，
即拋物線的方程為.
（2）假設(shè)存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方；
由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，點，點
因為，即，
可得，
整理得①，
聯(lián)立直線與拋物線，可得，
則.
代入①式可得，即，即，
解得或，
即存在定點或，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方.
【點睛】思路點睛：
求解拋物線中直線過定點的問題時，通常需要先設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程消去(或)，結(jié)合韋達定理寫出兩根之和以及兩根之積，再根據(jù)題中所給條件列出等量關(guān)系，結(jié)合韋達定理的結(jié)果，化簡整理，即可求解.
17. 在三棱錐，底面是邊長為4的正三角形，平面平面，且．
（1）若，求證：平面平面；
（2）若底面，垂足為O，，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得、、，建立如圖空間直角坐標系，根據(jù)向量法分別求出平面PAB和平面PBC的法向量，結(jié)合即可證明；
（2）由（1），根據(jù)向量法分別求出平面PAB和平面PBC的法向量，結(jié)合數(shù)量積的坐標表示計算即可求解.
【小問1詳解】
取AC的中點H，則，連接HP、HB，由，得，
又平面PAC平面ABC=AC，平面PAC，所以平面ABC，
由平面ABC，得，，
以H為原點，方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸，建立空間坐標系，
由題意可得，
則，
有，
設(shè)平面PAB和平面PBC的一個法向量分別為，
則，
令，得，
所以，有，
即，故平面平面．
【小問2詳解】
由（1）知，若，則，，，，
有，，，，
設(shè)平面、平面一個法向量分別為，
則，
令，得，
所以，，
設(shè)平面與平面夾角為，得，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18. 已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求證：，其中.
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用定義法即可求出等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式；
（2）通過（1）求出的的通項公式，表達數(shù)列，然后利用公式法和放縮法，分類討論為奇數(shù)或偶數(shù)時前項的和，進而證明不等式.
小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由,得解得：
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由得，
由，，解得
【小問2詳解】
由題意及（1）得，
又∵，
∴
設(shè)，
當為奇數(shù)，時，
在中，
在中，
由，得
解得：
當為偶數(shù)，時，
同理可得，
綜上，.
19. 已知橢圓，左頂點分別為，上頂點為，左右焦點分別為為橢圓上一點，最大值為的面積為.
（1）求橢圓方程；
（2）已知直線過與橢圓交與M，N兩點（在上方），且，若，求直線斜率的值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)最大值和的面積，求出的值，即可求出橢圓方程.
（2）分類討論直線斜率是否存在時的兩種情況，讓直線的解析式與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到的表達式，代入韋達定理，即可得到直線斜率的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意在橢圓中，
最大值為的面積為.
，解得：，
橢圓方程為：.
【小問2詳解】
由題意及（1）得在橢圓中，，
直線過與橢圓交與M，N兩點（在上方），且，
當直線斜率不存在時，顯然不成立，
當直線斜率存在時設(shè)為，
由，得，
聯(lián)立消去得；
則，且，
可知，代入中得：，
因為當時，不成立，
則，，
在上方，.

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