注意事項(xiàng)：
1．本試卷包括單項(xiàng)選擇題(第1題~第8題)、多項(xiàng)選擇題(第9題~第11題)、填空題(第12題~第14題)、解答題(第15題~第19題)四部分。本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上指定的位置。
3．作答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。
4．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．
1．設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，則A∩(?UB)＝
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
2．“a≠0”是“ab≠0”的
A．必要且不充分條件 B．充分且不必要條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
3．函數(shù)f(x)＝lg(1－|x|) 的定義域?yàn)?br>A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[－1，1] D．(－1，1)
4．將函數(shù)y＝sin(x－)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式為
A．y＝sin(x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(2x－)
5．已知csα＝－，＜α＜π，則cs(＋α)的值為
A．－ B．－ C． D．
6．已知a＝lg23，b＝sin，c＝3，則
A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
7．根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，室內(nèi)二氧化碳濃度應(yīng)不超過(guò)1000 ppm，在這個(gè)范圍內(nèi)，室內(nèi)空氣質(zhì)量良好，人體健康不受到影響．已知某室內(nèi)二氧化碳濃度y (ppm)與開(kāi)窗通風(fēng)的時(shí)長(zhǎng)t (分鐘)之間的關(guān)系式為y＝500＋104λe－ (λ∈R)．經(jīng)測(cè)定，該室內(nèi)初始時(shí)刻的二氧化碳濃度為2000 ppm，要使該室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，則需要開(kāi)窗通風(fēng)的時(shí)長(zhǎng)至少約為 (參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099，ln5≈1.609)
A．6分鐘B．8分鐘C．10分鐘D．12分鐘
8．若命題“?x＞0，(ax－1)(x2－2ax－1)≥0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值集合為
A．{} B．{} C．{a|a≥} D．{a|0＜a≤}
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分．
9．若a＞b＞0，則
A．a(chǎn)3＞b3 B．a(chǎn)b＜b2 C．＋＞ D．＋＜2
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－，)，角θ的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓)交于點(diǎn)B
(A，B不重合)，下列說(shuō)法正確的是
A．若csθ＝－，則點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
B．若csθ＝，則點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
C．若點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)，則sinθ＝
D．若OA和OB相互垂直，則tanθ＝
11．函數(shù)f(x)滿足：?x∈R，f(x＋1)f(x)＝2．已知當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)＝2x，則
A．f(1)＝1 B．f(x)為周期函數(shù)
C．f(x)為偶函數(shù) D．方程f(x)＝恰有3個(gè)解
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．
12．已知函數(shù)f(x)＝lga(x＋2) (a＞0，a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(m，n)，則m＋n＝．
13．已知函數(shù)f(x)＝且f(2)＝，則α＝，使得f(x)＜成立的x的取值范圍是．
14．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(－，0)，一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝，且f(x)在區(qū)間(0，)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則ω＝．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知6m＝2，6n＝5．
（1）求62m－ n的值；
（2）用m，n表示lg2015．
16． （本小題滿分15分）
已知f(α)＝．
（1）若sinα＋csα＝，且0＜α＜π，求f(α)的值；
（2）若f(α)＝，求sin2α－3sinαcsα的值．
17．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)＝f(－x)－f(x)．
（1）判斷g(x)的奇偶性，并加以證明；
（2）若f(x)＝3x．
①用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：g(x)在R上單調(diào)遞減；
②解關(guān)于x的不等式g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0．
18．(本小題滿分17分)
已知函數(shù)f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)分別
為(，2)，(，－2)．
（1）求f (x)的解析式；
（2）求f (x)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（3）設(shè)m＞1，證明：函數(shù)g(x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零點(diǎn)．
19．(本小題滿分17分)
設(shè)函數(shù)f(x)在非空數(shù)集M上的取值集合為N．若NM，則稱(chēng)f (x)為M上的“T函數(shù)”．
（1）判斷f (x)＝sin2x是否為[，]上的“T函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）若f (x)＝lg2 (－1)為[a，b] (a＜b)上的“T函數(shù)”，證明：a＋b＜2；
（3）若存在實(shí)數(shù)b，使得f (x)＝(x－a)2＋b為[0，1]上的“T函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
南京市2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研測(cè)試
高一數(shù)學(xué)參考答案 2025.01
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．
1．B 2．A 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分．
9．AC 10．ACD 11．BCD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．
12．－1 13．，(－∞，2) 14．18
四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
解：（1）62m－ n＝＝；5分
（2）因?yàn)?m＝2，6n＝5，
所以m＝lg62，n＝lg65．7分
從而lg2015＝9分
＝11分
＝，
因?yàn)閘g62＋lg63＝1，
所以lg3615＝＝．13分
16. （本小題滿分15分）
（1）解法1：f(α)＝，
因?yàn)閟inα＋csα＝，
所以(sinα＋csα)2＝，即2sinαcsα＝－，2分
從而(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα＝，4分
因?yàn)?＜α＜π，sinα＞0，
又因?yàn)閟inαcsα＜0，所以csα＜0，因此sinα－csα＞0，
從而sinα－csα＝，6分
故f(α)＝＝．7分
解法2：由sinα＋csα＝及sin2α＋cs2α＝1，2分
解得sinα＝，csα＝，
或sinα＝，csα＝，4分
因?yàn)椋鸡粒鸡校?br> 所以sinα＝，csα＝，
所以sinα－csα＝，6分
因此f(α)＝＝＝．7分
（2）解法1：f(α)＝＝，
所以2sinα＝－4csα，9分
假設(shè)csα＝0，則由上式知sinα＝0，與sin2α＋cs2α＝1矛盾，
所以csα≠0，
從而tanα＝－2．11分
則sin2α－3sinαcsα＝＝14分
＝＝2．15分
解法2：f(α)＝＝，
所以sinα＝－2csα，
又sin2α＋cs2α＝1，9分
所以5cs2α＝1，即cs2α＝，11分
因此sin2α－3sinαcsα＝4cs2α＋6cs2α＝10cs2α14分
＝2．15分
17. （本小題滿分15分）
解：（1）g(x)是R上的奇函數(shù)．
因?yàn)間(x)定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的x∈R，都有－x∈R，且
g(－x)＝f(x)－f(－x)＝－g(x)，3分
所以g(x)是R上的奇函數(shù)．4分
（2）①g(x)＝－3x．
任取x1，x2∈R，不妨設(shè)x1＜x2，
g(x1)－g(x2)＝－3x1－＋3x2＝(3x2－3x1)(1＋)，7分
因?yàn)閤1，x2∈R，x1＜x2，且函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，
所以3x2－3x1＞0，1＋＞0，
從而g(x1)－g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，
因此g(x)在R上單調(diào)遞減．9分
②因?yàn)間(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0，
又g(x)是R上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，
所以g(4x－9)＞g(2x＋1－6)，
從而4x－9＜2x＋1－6，12分
解得－1＜2x＜3，
所以不等式的解集為(－∞，lg23)．15分
18．(本小題滿分17分)
解：（1）由題意，A＝2，1分
＝－＝，又ω＞0，所以＝，即ω＝2．3分
根據(jù)題意，當(dāng)x＝時(shí)，sin(2×＋φ)＝1，
從而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又－π＜φ＜0，故φ＝－．5分
所以f (x)＝2sin(2x－)．6分
（2）令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，8分
則－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z．10分
故f (x)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，]和[，π]．12分
（3）g (x)＝2sin(2mx－)－2msin(2x－)＝2[sin(2mx－)－msin(2x－)]，
當(dāng)m＞1時(shí)，
則g (0)＝(m－1)＞0，14分
g ()＝2[sin(－)－m]≤2(1－m)＜0，16分
又g (x)在(0，＋∞)上的圖象是一條不間斷的曲線，
所以由零點(diǎn)存在性定理知，
當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)g (x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零點(diǎn)．17分
19．(本小題滿分17分)
解：（1）由x∈[，]，得2x∈[，]，
所以sin2x∈[，1]，即f (x)的取值集合為[，1]，2分
因?yàn)閇，1][，]，
所以f (x)＝sin2x是為[，]上的“T函數(shù)”．4分
（2）因?yàn)閒 (x)＝lg2 (－1)為[a，b](a＜b)上的減函數(shù)，
所以f (x)在[a，b]的取值集合為[f (b)，f (a)]，5分
因?yàn)閒 (x)為[a，b]上的“T函數(shù)”，
所以[f (b)，f (a)][a，b]，
因此f (b)≥a，f (a)≤b，
即lg2 (－1)≥a，lg2 (－1)≤b，7分
所以(2a＋1)(2b＋1)≤9，(2a＋1)(2b＋1)≥9，
從而(2a＋1)(2b＋1)＝9，即2a＋b＋2a＋2b－8＝0，9分
因?yàn)閍＜b，
所以0＝2a＋b＋2a＋2b－8＞2a＋b＋2×－8，
解得＜2，即a＋b＜2．11分
（3）解法1：①若a≤0，則f (x)的取值集合為[f (0)，f (1)]，
因此即
從而
所以－a2＋2a≥－a2，解得a≥0，
又a≤0，故a＝0；13分
②若0＜a＜1，則f (x)的取值集合為[f (a)，max{f (0)，f (1)}]，
因此 即
從而
所以解得0≤a≤1，
又0＜a＜1，故0＜a＜1；15分
③若a≥1，則f (x)的取值集合為[f (1)，f (0)]，
因此即
從而
所以－a2＋1≥－a2＋2a－1，解得a≤1，
又a≥1，故a＝1；
綜上，0≤a≤1．17分

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