一、選擇題
1．已知空間向量,且,則( )
A.B.C.1D.2
2．已知直線l的斜率為3,且在y軸上的截距為,則l的方程為( )
A.B.C.D.
3．已知雙曲線的焦距,實軸長為4,則曲線C的漸近線為( )
A.B.C.D.
4．已知圓,圓,則兩圓的位置關系是( )
A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切
5．已知等差數(shù)列中,,且,則( )
A.0B.C.D.
6．已知拋物線上一點到焦點的距離為,則其焦點坐標為( )
A.B.C.D.
7．設等比數(shù)列的前n項和為,若,則( )
A.6B.7C.8D.9
8．在四棱錐中,底面是正方形,E為中點,若,,,用,,表示,則( )
A.B.C.D.
9．已知平行于x軸的直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,O為坐標原點,若為等邊三角形,則雙曲線C的離心率為( )
A.2B.C.D.
10．數(shù)學家華羅庚曾說:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”.事實上,很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決,例如,與相關的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點與點之間距離的幾何問題.若曲線,且點M,N分別在曲線C和圓:上,則M,N兩點間的最大距離為( )
A.8B.6C.5D.4
二、填空題
11．已知直線,,若,則實數(shù)________.
12．經(jīng)過、的方向向量為,則________.
13．已知雙曲線上一點P到左焦點的距離為3,則點P到右焦點的距離為________.
14．已知數(shù)列的通項公式為,數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,則________.
15．下列四個命題中.
①若數(shù)列的前n項和為滿足,則是等比數(shù)列且通項公式為;
②拋物線上兩點、且（O為原點）,則;
③橢圓左、右焦點分別是、,左、右頂點分別、,點P是橢圓上異于、的任意一點,則直線與直線的斜率之積為;
④與兩圓和都外切的圓的圓心的軌跡為雙曲線.
其中正確命題序號為________.（寫出所有的正確答案）
三、雙空題
16．已知圓和圓,則兩圓公共弦所在直線的方程為________:公共弦長為________.
四、解答題
17．已知圓C的方程為:.
（1）若直線與圓C相交于A,B兩點,且,求實數(shù)a的值;
（2）過點作圓C的切線,求切線方程.
18．如圖所示的幾何體中,四邊形為矩形,平面,,,,點P為棱的中點.
（1）求證:平面;
（2）求直線與平面所成角的正弦值;
（3）求點F到平面的距離.
19．已知等比數(shù)列的公比大于1,,;等差數(shù)列滿足,
（1）求數(shù)列,的通項公式;
（2）求數(shù)列的前n項和.
20．已知橢圓的左焦點F為圓的圓心,且橢圓上的點到點F距離的最小值為.
（1）求橢圓的標準方程;
（2）設直線與橢圓交于兩個不同點M,N,點A為橢圓上頂點,直線與x軸交于點E,直線與x軸交于點D,若,求證:直線l經(jīng)過定點.
參考答案
1．答案：C
解析：,,且,則,解得.
故選:C.
2．答案：B
解析：由題意知:直線l過點和斜率為3,
所以得:直線的方程為:,化簡得:,
故B項正確.
故選:B.
3．答案：A
解析：由題意可得,,則,
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選:A.
4．答案：D
解析：對于圓,可得圓的圓心坐標為,半徑.
對于圓,可得圓的圓心坐標為,半徑.
可得兩圓的圓心距.
因為,而圓心距,所以.
故兩圓的位置關系是外切.
故選:D.
5．答案：A
解析：記等差數(shù)列的公差為d,
因為,,所以,因此,
所以,
故選:A
6．答案：D
解析：由拋物線,則焦點,準線,
由題意可得,且,
則點M到準線l的距離,解得,
所以焦點.
故選:D.
7．答案：A
解析：等比數(shù)列中,,,成等比數(shù)列
又,,
,解得.
故選:A.
8．答案：B
解析：連接BD,E為PD的中點,
.
故選:B.
9．答案：D
解析：因為為等邊三角形,所以漸近線的傾斜角為,
所以,則,離心率為.
故選:D
10．答案：B
解析：因為,
表示曲線C上的點到兩定點,的距離之和為,
即,
根據(jù)橢圓定義,曲線C表示以和為焦點,以為長軸長的橢圓,
設橢圓C的方程為,
則,,所以,
其方程為;
記圓:的圓心為,其半徑為,
根據(jù)圓的性質(zhì)可得,,
因為點在橢圓上,所以,
又在顯然單調(diào)遞減,所以,
則,所以,即M,N兩點間的最大距離為6.
故選:B.
11．答案：或1
解析：,則根據(jù)直線垂直的充要條件列式得到,
解得或1.
故答案為:或1.
12．答案：/0.5
解析：因為經(jīng)過、的方向向量為,則直線的斜率為k,
則.
故答案為:.
13．答案：9
解析：由可知,由雙曲線定義可知,
,.
故答案為:9.
14．答案：518
解析：數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,
又,
.
所以
故答案為:518.
15．答案：①③
解析：對于①,當時,,解得,
當時,由可得,
上述兩個等式作差可得,即,
所以,數(shù)列為等比數(shù)列,且其首項和公比均為2,則,①對;
對于②,拋物線上兩點、且（O為原點）,
則,
由題意可知,,故,②錯;
對于③,設點,其中,則,可得,
易知點、,所以,,③對;
對于④,圓的圓心為原點O,半徑為,
圓的標準方程為,圓心為,半徑為,
圓心距為,這兩圓外離,
設與圓O、圓E都外切的圓為圓P,設圓P的半徑為r,
則,,所以,,
所以,與兩圓和都外切的圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支,④錯.
故答案為:①③.
16．答案：;
解析：易知兩圓相交,將兩圓方程相減可得,即;
所以兩圓公共弦所在直線的方程為;
易知圓的圓心為,半徑為;
圓心到直線的距離為,
所以公共弦長為.
故答案為:;
17．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）圓C的方程為:,則圓C的圓心為,半徑為2,
直線與圓C相交于A,B兩點,且,
圓心到直線得距離,
,,解得或.
（2）由已知得,點M在圓外,
切線的斜率不存在時,直線,與圓C相切;
切線的斜率存在時,可設切線為,即,
由切線的定義可知,,解得,
故切線方程為;
綜上所述,切線方程為或.
18．答案：（1）證明見解析
（2）
（3）
解析：（1）連接,交于點O,
由P,O分別為和的中點,得,
而平面,平面,
所以平面.
（2）由直線平面,,以所在的直線為x軸,
以所在的直線為y軸,以所在的直線為z軸,建立如圖所示的直角坐標系.
則,,,,,,
,,
設平面的法向量,
則令,得,
設直線與平面所成角的正弦值,則
.
（3）,,
設平面的法向量為,
則,令,得,
所以點F到平面的距離
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）設等比數(shù)列的公比為q.得,
①②:,
解得:或因為公比大于1,所以,
代入②得:,.
設等差數(shù)列公差為d,,解得:,
所以的通項公式為;的通項公式為.
（2）由（1）知
記①
則
①-②得,
所以
20．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由題意得圓方程為:圓心為,
即,.
又橢圓上的點到點F的距離的最小值為,,解得:,
,則.
橢圓方程為.
（2）,
設,,
則直線的方程為.
令,得點E的橫坐標.所以點
同理,點.
由得.
則,.
所以
又,所以.
解得,此時,
所以直線l經(jīng)過定點.

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