一、選擇題
1．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是( )
A.零向量沒(méi)有方向
B.兩個(gè)單位向量是相等向量
C.共線的兩個(gè)向量方向相同
D.若兩個(gè)非零向量的和為零向量，則它們互為相反向量
2．已知集合,，則( )
A.B.C.D.
3．若冪函數(shù)是偶函數(shù)，則( )
A.B.3C.1D.1或3
4．某學(xué)校高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為1600，1200，2000，現(xiàn)按年級(jí)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中選取120人，若按照樣本比例分配，則高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為( )
A.50B.40C.30D.20
5．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為( )
A.2B.C.D.
6．已知，且，則“”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
7．已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn)，則( )
A.B.
C.D.
8．先后投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“第一次投擲的骰子朝上的數(shù)字為2”，表示事件“第二次投擲的骰子朝上的數(shù)字為6”，表示事件“兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字之差的絕對(duì)值小于3”，表示事件“兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字均為偶數(shù)”，則( )
A.與相互獨(dú)立B.與相互獨(dú)立
C.與相互獨(dú)立D.與相互獨(dú)立
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知點(diǎn),,,，則( )
A.B.
C.D.
10．?dāng)?shù)據(jù),,,,的平均數(shù)、中位數(shù)都是,則( ).
A.數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,的平均數(shù)相等
B.數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,的方差相等
C.數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,的極差相等
D.數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,的中位數(shù)相等
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，，則( )
A.B.C.D.是增函數(shù)
三、填空題
12．已知事件A與B互斥，且,，則____.
13．____.
14．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若,，則a的取值范圍為_(kāi)___.
四、解答題
15．某地發(fā)起“低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，從參賽選手的答卷中隨機(jī)抽取了n份，將得分（滿分100分）進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖，且競(jìng)賽成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為20.
(1)求m，n的值；
(2)若該地計(jì)劃按得分從高到低選取的參賽選手為低碳生活知識(shí)宣傳員，估計(jì)當(dāng)選宣傳員的選手的最低分.
16．已知函數(shù).
(1)證明：是奇函數(shù).
(2)求的值.
17．如圖，在等腰梯形ABCD中，,,,，AC與EF交于點(diǎn)G，記,.
(1)試用基底表示,；
(2)記的面積為，的面積為，求的值.
18．學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，題庫(kù)中的試題分為A，B兩種類型，每個(gè)學(xué)生選擇兩題作答，第一題從A，B兩種試題中隨機(jī)選擇一題作答，學(xué)生若答對(duì)第一題，則第二題選擇同一種試題作答的概率為，若答錯(cuò)第一題，則第二題選擇同一種試題作答的概率為，已知學(xué)生甲答對(duì)A種試題的概率均為，答對(duì)B種試題的概率均為，且每道試題答對(duì)與否互相獨(dú)立.
(1)求學(xué)生甲兩題選擇A，B兩種試題作答的概率；
(2)求學(xué)生甲兩題均答對(duì)的概率.
19．已知函數(shù)，且.
(1)求的值；
(2)若函數(shù)存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；
(3)若，證明：,.
參考答案
1．答案：D
解析：向量既有大小又有方向，A不正確.
兩個(gè)單位向量的方向不一定相同，則它們不一定是相等向量，B不正確.
共線的兩個(gè)向量方向相同或相反，C不正確.
若兩個(gè)非零向量的和為零向量，則它們互為相反向量，D正確
故選：D
2．答案：B
解析：因?yàn)椋?br>，
所以.
故選：B
3．答案：C
解析：因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或.
當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，不符合題意.
故選：C.
4．答案：C
解析：設(shè)高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為x，
則.
故選：C.
5．答案：D
解析：因?yàn)?，所?
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D
6．答案：A
解析：由在R上單調(diào)遞增，得，解得，
故“”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A.
7．答案：C
解析：由題意不妨設(shè)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，
所以，即.
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，則，
即，故C正確，D錯(cuò)誤.
取,，則,,，故A錯(cuò)誤，
取,，則,,，
故B錯(cuò)誤.
故選：C
8．答案：A
解析：由題可知，，
先后投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的所有結(jié)果有：
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,，
共36種.
兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字之差的絕對(duì)值小于3的結(jié)果有：
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,，
共24種.
兩次投擲的骰子朝上的數(shù)字均為偶數(shù)的結(jié)果有：
,,,,,,,,，共9種.
所以，.
事件包含的結(jié)果有：,,,共4種.
事件包含的結(jié)果有：,,，共3種.
事件包含的結(jié)果有：,,，共3種.
事件包含的結(jié)果有：,,，共3種.
所以，，
，，
因?yàn)?，?br>，.
所以與相互獨(dú)立，A正確，BCD錯(cuò)誤.
故選：A.
9．答案：BC
解析：因?yàn)?,,，
所以,，則，故A不正確；
因?yàn)?，故B正確；
因?yàn)?，故C正確；
因?yàn)?,，故D不正確.
故選：BC.
10．答案：AC
解析：設(shè)數(shù)據(jù),,,,的平均數(shù)為,則,數(shù)據(jù),,,的平均數(shù)為,A正確.
數(shù)據(jù),,,,的方差,
數(shù)據(jù),,,的方差,
所以數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,的方差不一定相等,B錯(cuò)誤.
數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,的極差相等,C正確.
數(shù)據(jù),,,,與數(shù)據(jù),,,的中位數(shù)不一定相等,如數(shù)據(jù)2,2,5,7,9的平均數(shù)、中位數(shù)都是5,但數(shù)據(jù)2,2,7,9的中位數(shù)不是5,D錯(cuò)誤.
11．答案：ABD
解析：對(duì)A，令，得，A正確.
對(duì)B，令，得，
所以,，
據(jù)此類推可得，所以，B正確.
對(duì)C，令，則，
且定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，C錯(cuò)誤.
對(duì)D，令,,，則.
當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
即，，所以是增函數(shù)，D正確.
故選：ABD
12．答案：0.6
解析：因?yàn)槭录嗀與B互斥，且,，
所以，則.
故答案為：0.6
13．答案：1
解析：
故答案為：1.
14．答案：
解析：當(dāng)時(shí)，顯然恒成立.
當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖像始終在的圖像的下方（或重合）.
當(dāng)時(shí)，由的圖像可知，，解得；
當(dāng)時(shí)，的圖像始終在的圖像的下方.
故a的取值范圍為.
故答案為：
15．答案：(1)，
(2)87.5
解析：(1)由，得.
因?yàn)楦?jìng)賽成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為20，所以，
則.
(2)估計(jì)當(dāng)選宣傳員的選手的最低分為x，
因?yàn)楦?jìng)賽成績(jī)落在內(nèi)的頻率為0.1，競(jìng)賽成績(jī)落在內(nèi)的頻率為0.2，
，所以x在內(nèi)，
且，
解得，即當(dāng)選宣傳員的選手的最低分為87.5
16．答案：(1)證明見(jiàn)解析;
(2)4.
解析：(1)證明：由，得.
的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
因?yàn)椋?br>所以是奇函數(shù).
(2)由(1)可得，
即.
因?yàn)?，
所以,，
從而.
17．答案：(1),;
(2)18.
解析：(1)由圖可知，
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以
(2)由AC與EF交于點(diǎn)G，可設(shè),.
，
，
則解得
設(shè)邊AB上的高為，邊CE上的高為，
則，則.
18．答案：(1);
(2).
解析：(1)若學(xué)生甲第一題選擇A種試題作答，
則第二題選擇B種試題作答的概率，
若學(xué)生甲第一題選擇B種試題作答，
則第二題選擇A種試題作答的概率，
故學(xué)生甲兩題選擇A，B兩種試題作答的概率.
(2)若學(xué)生甲兩題都選擇A種試題作答，
則兩道試題均答對(duì)的概率，
若學(xué)生甲兩題都選擇B種試題作答，
則兩道試題均答對(duì)的概率，
若學(xué)生甲第一題選擇A種試題作答，第二題選擇B種試題作答，
則兩道試題均答對(duì)的概率，
若學(xué)生甲第一題選擇B種試題作答，第二題選擇A種試題作答，
則兩道試題均答對(duì)的概率，
故學(xué)生甲兩題均答對(duì)的概率.
19．答案：(1)1;
(2);
(3)證明見(jiàn)解析.
解析：(1)因?yàn)椋?br>，
則，即.
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
結(jié)合的定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)，故.
(2)由(1)可知，則.
由，得，則，其中.
若，則,，不可能成立.
若,.
由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則，
故a的取值范圍為.
(3)證明：因?yàn)?，所?
任取，
令,.
因?yàn)椋?，從而，即?br>故在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，則，
則當(dāng)時(shí)，，則，
由在上單調(diào)遞增，得，
則.

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