一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)直線的傾斜角為，，，可得，解得．
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，．
，解得．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】根據(jù)雙曲線的方程寫(xiě)出漸近線方程，對(duì)照條件可求答案．
【解答】解：因?yàn)殡p曲線為，
所以它的漸近線方程為，
因?yàn)橛幸粭l漸近線方程為，所以．
故選：．
3. 用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示：
按照上面的規(guī)律，第個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圖形間的關(guān)系可以看出，每多出一個(gè)小金魚(yú)，則要多出6根火柴棒，則火柴棒的個(gè)數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)是8，公差是6的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)，求出第n項(xiàng)的火柴根數(shù)即可．
詳解】由圖形間的關(guān)系可以看出，每多出一個(gè)小金魚(yú)，則要多出6根火柴棒，第一個(gè)圖中有8根火柴棒組成，第二個(gè)圖中有8+6個(gè)火柴棒組成，第三個(gè)圖中有8+2×6個(gè)火柴組成，以此類推：組成n個(gè)系列正方形形的火柴棒的根數(shù)是8+6（n﹣1）∴第n個(gè)圖中的火柴棒有6n+2．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是看清隨著小金魚(yú)的增加，火柴的根數(shù)的變化趨勢(shì)，屬于基礎(chǔ)題．
4. “圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運(yùn)用，最具代表性的便是園林中的門(mén)洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動(dòng)高為2.5m，底面寬為1m，則該門(mén)洞的半徑為（）
A. 1.2mB. 1.3 mC. 1.4 mD. 1.5 m
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.
【詳解】設(shè)半徑R，,解得,化簡(jiǎn)得.
故選：B.
5. 已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A. 30B. 15C. 5D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.
【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以
∴.
故選：B
6. 已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.
【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因?yàn)?由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.
7. 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵中，，，，若直線與直線所成角為，則()
A. ?B. 2C. ?D. ?
【答案】B
【解析】
【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求出和夾角余弦值即可求出豎坐標(biāo)，從而得到答案．
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，
則，，
，
解得，故．
故選：B．
8. 如圖，已知拋物線：和圓：，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與上述兩曲線自左而右依次交于點(diǎn)，，，，則的最小值為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題可設(shè)直線的方程為，設(shè)，利用韋達(dá)定理可得，再結(jié)合拋物線的定義可得，然后利用基本不等式即得.
【詳解】由拋物線：可知焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線方程為，代入拋物線方程解得，
代入圓的方程得，
所以；
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由，得，
設(shè)，則，
由拋物線的定義可知
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故選：D.
二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 已知直線，直線，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)是B. 直線與都恒過(guò)
C. 若，則D. ，使得平行于
【答案】ABC
【解析】
【分析】將代入，聯(lián)立兩直線方程即可求得交點(diǎn)，則A可解；由直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可求B；由兩直線垂直時(shí)的斜率之積為可解C，注意討論斜率為0和斜率不存在的情況；由兩直線平行得到關(guān)于a的方程，解方程可得a值，再代入驗(yàn)證兩直線是否重合即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，
，解得，故交點(diǎn)為，即A正確；
對(duì)于B，，恒過(guò)定點(diǎn)，，
，解得，，也過(guò)定點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，與不垂直，
當(dāng)時(shí)，由可得，解得，故C正確；
對(duì)于D，由可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不符合題意，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
10. 已知圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）.
A. 兩圓的圓心距
B. 直線AB的方程為
C. 圓上存在兩點(diǎn)P和Q使得
D. 圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為
【答案】BD
【解析】
【分析】由圓的一般方程，采用配方法，整理標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，公共弦求解方法（一般方程作差），圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，逐一驗(yàn)證，可得答案.
詳解】由圓和圓，
可得圓和圓，
則圓圓心坐標(biāo)為和半徑為，圓的圓心坐標(biāo)和半徑，
對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以兩圓的圓心距，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦AB的方程為，故B正確；
對(duì)于C，直線AB經(jīng)過(guò)圓的圓心坐標(biāo)，所以線段AB是圓的直徑，故圓中不存在比AB長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線AB：的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為，故D正確．
故選：BD
11. “奔跑吧少年”青少年陽(yáng)光體育系列賽事活動(dòng)于近日開(kāi)賽，本次比賽的總冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤(pán)組成，如圖①，已知球的體積，托盤(pán)由邊長(zhǎng)為4的正三角形鋼片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線與平面所成的角為
B. 直線平面
C. 異面直線與所成的角的余弦值為
D. 球上的點(diǎn)離球托底面的最大距離為
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由題意得到平面⊥平面，得到為直線與平面所成的角，大小為；B選項(xiàng)，作出輔助線，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值；D選項(xiàng)，求出球的半徑，得到四面體為正四面體，棱長(zhǎng)為1，求出到平面的距離，從而得到球上的點(diǎn)離球托底面的最大距離.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)橥斜P(pán)由邊長(zhǎng)為4的正三角形鋼片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，
所以平面⊥平面，
過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以⊥平面?br>故即為直線與平面所成的角，大小為，A正確；
B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)C作⊥于點(diǎn)，同A選項(xiàng)，可證明⊥平面，
所以，
由三線合一可得分別為的中點(diǎn)，故，
連接，則四邊形為平行四邊形，故，
同理可得，
連接，則⊥，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
平面的法向量設(shè)為，
則，
令得，，故，
又，
故直線與不垂直，故直線與平面不平行，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，
故異面直線與所成的角的余弦值為，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，設(shè)為球心，球半徑為，
由，解得，則為正四面體，棱長(zhǎng)為1，
設(shè)為的中心，則⊥平面，又平面，
所以⊥，，則，
又，所以球離球托底面的最大距離為，D正確.
故選：AD
12. 已知點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，為其左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P向雙曲線兩漸近線作垂線，設(shè)垂足分別為M、N，則下列所述正確的是（）
A. 為定值B. O、P、M、N四點(diǎn)一定共圓
C. 的最小值為D. 存在點(diǎn)P滿足P、M、三點(diǎn)共線時(shí)，P、N、三點(diǎn)也共線
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離計(jì)算可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)判斷四點(diǎn)共圓判斷B選項(xiàng)，應(yīng)用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合雙曲線的性質(zhì)判斷C選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性判斷D選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，點(diǎn)到漸近線的距離為，
同理，則，
，即，
（定值），故A正確；
當(dāng)M、N均不與O重合時(shí)，由，和均為直角三角形，
故M，N兩點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上；
當(dāng)M、N有與O重合時(shí)，也滿足O、P、M、N四點(diǎn)共圓．故B正確；
由雙曲線的對(duì)稱性可知，
其中，
，成立，故C正確；
如圖，
利用雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線垂直一條漸近線，垂足為M；
直線垂直另一條漸近線且交雙曲線于點(diǎn)P，易知直線與直線的交點(diǎn)始終落在y軸上，故D不正確．
故選：ABC．
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】方向向量與平行，由此可得．
【詳解】由已知，是直線的方向向量，則，
故答案為：2.
14. 已知數(shù)列，，，，，，，，，，，，則該數(shù)列的第項(xiàng)為_(kāi)____________.
【答案】
【解析】
【分析】通過(guò)已知數(shù)列，利用等差數(shù)列求和，求解數(shù)列數(shù)字個(gè)數(shù)的和，再判斷所在的位置即可．
【詳解】解：按規(guī)律排列的數(shù)列，，，，，，，，，，，，
可知是個(gè)；是個(gè)，是個(gè)，是個(gè)，是個(gè)，是個(gè)，是個(gè)，
因?yàn)?，?br>所以該數(shù)列的第項(xiàng)為：．
故答案為：．
15. 過(guò)點(diǎn)P作圓切線，記切點(diǎn)分別為A，B，則__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，再利用二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】圓的方程化為，設(shè)圓心為C，則，
因?yàn)?，故P點(diǎn)在圓外，
則，
在直角三角形ACP中，，
所以，
故答案為：.
16. 斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即，，，，，，，，，，，，，，在實(shí)際生活中，很多花朵如梅花、飛燕草、萬(wàn)壽菊等的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：（），則___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用遞推關(guān)系，將所求關(guān)系式中的“”換為，再利用即可求得答案．
【詳解】依題意，得
，
即.
故答案為：．
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知等差數(shù)列，，其中，，仍成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出公差，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得；
（2）由與的關(guān)系，構(gòu)造出計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，是與的等差中項(xiàng)，
得，解得，，
故；
【小問(wèn)2詳解】
由，故，
當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，不符合上式，
故.
18. 已知圓C的圓心為C，且過(guò)點(diǎn)，．
（1）當(dāng)AB為直徑時(shí)，圓C的面積取得最小值，求此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓C的面積；
（2）對(duì)于（1）中的圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓C所截得弦長(zhǎng)為2，求直線的方程．
【答案】（1），；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出線段中點(diǎn)，圓C的半徑即可得解.
（2）根據(jù)給定條件，求出圓心到直線的距離，再按斜率存在與否求解即得.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)為直徑時(shí)，AB中點(diǎn)為圓心，半徑，
所以圓C的方程為：，圓C的面積.
【小問(wèn)2詳解】
由被截得弦長(zhǎng)為，圓的半徑為，得圓心到直線的距離為，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，
則圓心到直線的距離，解得，直線的方程為，
又直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到直線的距離為2，
所以直線的方程為或.
19. 如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且分別為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】19. 證明見(jiàn)解析
20.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直推出另一個(gè)線面垂直，再結(jié)合一個(gè)線線垂直條件即可得證.
（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)平行于的直線為軸，以，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出和所對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，由兩向量的數(shù)量積等于可證明；求出平面的一個(gè)法向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，和連接后得到一個(gè)向量，直接運(yùn)用向量求點(diǎn)到平面的距離公式求距離即可．
【小問(wèn)1詳解】
在中，易知且是的中點(diǎn)，
故，且在正方形中，，面面，
面面，面面，故面，
易知面，故，又，，
綜上
【小問(wèn)2詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)平行于的直線為軸，以，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，，，，
．
設(shè)平面的法向量為，
由，得，取，得，．
所以，
又，
所以點(diǎn)到平面的距離
20. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)A滿足AF垂直于x軸，且．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是該拋物線上的兩點(diǎn)，，求線段的中點(diǎn)到軸的距離；
（3）已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)與拋物線交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)均與點(diǎn)H不重合，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由題意代入坐標(biāo)可得的值，從而得到拋物線方程
（2）然后再依據(jù)定義求得線段的中點(diǎn)到軸的距離．
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，代入利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，化簡(jiǎn)，即可求的值．
【小問(wèn)1詳解】
由題知，又，所以，解得.
所以拋物線的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
．
線段的中點(diǎn)到軸的距離為．
【小問(wèn)3詳解】
證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，
即，代入，得，
設(shè)，，
則，，
所以，
，
所以定值．
21. 如圖，在正三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)，，．
（1）證明：平面．
（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，給合三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以．
在正三棱柱中，
所以．
又平面，平面，所以平面．
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，．
設(shè)平面的法向量為，
則
取，則
易知是平面的一個(gè)法向量，
所以．
故平面與平面夾角的余弦值為．
22. 已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．
①試討論直線AD是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②求面積的最大值．
【答案】（1）；
（2）①恒過(guò)定點(diǎn)；②.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數(shù)即可得方程；
（2）①設(shè)直線AD為且，，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合A，B，共線有，整理化簡(jiǎn)求參數(shù)m，即可確定定點(diǎn)；②由直線AD所過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合并將韋達(dá)公式代入化簡(jiǎn)，應(yīng)用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.
【小問(wèn)1詳解】
由題的周長(zhǎng)，可得，
又，則，，故橢圓的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
①由題，設(shè)直線AD為且，，，，
聯(lián)立方程可得：，化簡(jiǎn)可得：
，
所以，，
因?yàn)锳，B，共線，則有，化簡(jiǎn)可得，
即，化簡(jiǎn)可得恒成立．
∴，即直線AD的方程為恒過(guò)定點(diǎn)．
②設(shè)直線AD恒過(guò)定點(diǎn)記為，
由上，可得，
所以，·
，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．
∴面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)直線AD為且，利用橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及已知條件求出參數(shù)m為關(guān)鍵.

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重慶市2023_2024學(xué)年高三地理上學(xué)期12月月考試題：

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重慶市2023_2024學(xué)年高三地理上學(xué)期12月月考試題含解析：

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