TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc154957875" 題型01 用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系
\l "_Tc154957876" 題型02 判斷反比例函數(shù)
\l "_Tc154957877" 題型03 根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值
\l "_Tc154957878" 題型04 判斷反比例函數(shù)圖象
\l "_Tc154957879" 題型05 反比例函數(shù)點的坐標特征
\l "_Tc154957880" 題型06 已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式
\l "_Tc154957881" 題型07 由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)
\l "_Tc154957882" 題型08 由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值
\l "_Tc154957883" 題型09 判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限
\l "_Tc154957884" 題型10 已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取值范圍
\l "_Tc154957885" 題型11 已知反比例函數(shù)增減性，求k值
\l "_Tc154957886" 題型12 由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小
\l "_Tc154957887" 題型13 求反比例函數(shù)解析式
\l "_Tc154957888" 題型14 與反比例函數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究問題
\l "_Tc154957889" 題型15 已知比例系數(shù)求特殊圖形面積
\l "_Tc154957890" 題型16 已知圖形面積求比例系數(shù)
\l "_Tc154957891" 題型17 一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象綜合
\l "_Tc154957892" 題型18 一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題
\l "_Tc154957893" 題型19 一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應用
\l "_Tc154957894" 題型20 反比例函數(shù)的實際應用
\l "_Tc154957895" 題型21 反比例函數(shù)與幾何綜合
題型01 用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系
1．（2022·北京昌平·統(tǒng)考二模）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（單位：千帕）隨氣球內(nèi)氣體的體積V（單位：立方米）的變化而變化，P隨V的變化情況如下表所示，那么在這個溫度下，氣球內(nèi)氣體的氣壓P與氣球內(nèi)氣體的體積V的函數(shù)關(guān)系最可能是
A．正比例函數(shù)B．一次函數(shù)C．二次函數(shù)D．反比例函數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)PV=96結(jié)合反比例函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】由表格數(shù)據(jù)可得PV=96，即P=96V，
∴氣球內(nèi)氣體的氣壓P與氣球內(nèi)氣體的體積V的函數(shù)關(guān)系最可能是反比例函數(shù)，
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）下面的三個問題中都有兩個變量：
①京滬鐵路全程為1463km，某次列車的平均速度y(單位：km/h)與此次列車的全程運行時間x(單位：h)；
②已知北京市的總面積為1.68×104km2，人均占有面積y(單位：km2/人)與全市總?cè)丝趚(單位：人)；
③某油箱容量是50L的汽車，加滿汽油后開了200km時，油箱中汽油大約消耗了14．油箱中的剩油量yL與加滿汽油后汽車行駛的路程xkm．
其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是( )

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】分別求出三個問題中變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．
【詳解】解：①由平均速度等于路程除以時間得：y=1463x，符合題意；
②由人均面積等于總面積除以總?cè)丝诘茫簓=1.68×104x，即y=16800x，符合題意；
③由加滿汽油后開了200km時，油箱中汽油大約消耗了14，可知每公里油耗為：14×50÷200=116L，再由油箱中的剩油量等于油箱容量減去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加滿汽油后汽車行駛的路程得：y=50-116x，不符合題意；
綜上分析可知，變量 y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用該圖象表示的是①②．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，反比例函數(shù)的識別，正確列出三個問題中的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
題型02 判斷反比例函數(shù)
1．（2020·浙江杭州·模擬預測）下列函數(shù)y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y=3xB．y=axC．y=1x2D．y=13x
【答案】D
【分析】利用反比例函數(shù)定義對四個選項分析解答即可．
【詳解】解：A．由y=3x得y是x的正比例函數(shù)，那么A不符合題意．
B．由y=ax(a≠0)得y是x的反比例函數(shù)，那么B不符合題意．
C．由y=1x2得y是x2的反比例函數(shù)，那么C不符合題意．
D．由y=13x得y是x的反比例函數(shù)，那么D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)定義，關(guān)鍵在于掌握形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．
2．（2022·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）在下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y=2x+1B．y=x2C．y=-5xD．yx=2
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的意義分別進行分析即可，形如：y＝kx(k≠0)或y=kx－1或xy=k的函數(shù)是反比例函數(shù)．
【詳解】A. y=2x+1，不是反比例函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；
B. y=x2，不是反比例函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；
C. y=-5x，是反比例函數(shù)，故該選項正確，符合題意；
D. yx=2，不是反比例數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；
故選C
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的幾種形式是解題的關(guān)鍵．y＝kx(k≠0)或y=kx－1或xy=k的函數(shù)是反比例函數(shù)
題型03 根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值
1．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）已知反比例函數(shù)y=-2x的圖象過點Pa,b，則代數(shù)式ab的值為（ ）
A．-2B．2C．-12D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即圖象經(jīng)過的點的坐標滿足函數(shù)表達式，進行求解即可．
【詳解】解：∵函數(shù)y=-2x的圖象過點Pa,b，
∴ab=-2．
故選：A．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握圖象經(jīng)過的點的坐標滿足函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考二模）若點A2,6,B-3,m在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則m的值為（ ）
A．1B．-1C．4D．-4
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的特征，列式計算即可．
【詳解】解：∵點A2,6,B-3,m在同一個反比例函數(shù)的圖象上，
∴2×6=-3m，
∴m=-4；
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的特征．熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的橫縱坐標之積等于k，是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）若反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點2,k-n2-2，則k的取值范圍為（ ）．
A．k≤-2B．k≤-4C．k≥2D．k≥4
【答案】D
【分析】將點2,k-n2-2代入y=kxk≠0，求出k的值，再根據(jù)2n2≥0，即可求出k的取值范圍．
【詳解】∵反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點2,k-n2-2，
∴ 2k-n2-2=k
∴k=2n2+4
∵2n2≥0
∴k≥4
故選D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟知將點坐標代入解析式左右相等是解題的關(guān)鍵．
4．（2022下·湖北武漢·九年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過a，m+33，b，m兩點，則代數(shù)式2ab2a-2b+7ab的值是（ ）
A．23B．-23C．2D．-2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到3a=m+33，3b=m，從而得到1a-1b=3，進一步得到a-b=-3ab，代入變形后的代數(shù)式即可求得．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過a，m+33，b，m兩點，
∴3a=m+33，3b=m，
∴3a-3b=33，
∴1a-1b=3，
∴b-aab=3，
∴a-b=-3ab，
∴2ab2a-2b+7ab=2ab-6ab+7ab=2，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標適合解析式是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·云南昭通·統(tǒng)考一模）若函數(shù)y=a+3x是關(guān)于x的反比例函數(shù)，則a滿足的條件是 ．
【答案】a≠-3
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)定義，a+3≠0，求解即可．
【詳解】解：∵y=a+3x是關(guān)于x的反比例函數(shù)
∴a+3≠0
所以a≠-3
故答案為：a≠?3
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的定義，根據(jù)定義去解題是常考內(nèi)容，也是解題的切入點．
6．（2021·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的反比例函數(shù)y=2axa經(jīng)過點(1,b)，則b= ．
【答案】2
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可求出a的值，即得出該反比例函數(shù)的解析式．再將點(1，b)代入該反比例函數(shù)的解析式即可求出b的值．
【詳解】∵y=2axa是關(guān)于x的反比例函數(shù)，
∴a=1，
∴y=2x，
∵該反比例函數(shù)經(jīng)過點(1，b)，
∴b=21=2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的定義與反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．根據(jù)反比例函數(shù)的定義求出a的值是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2019·湖南益陽·統(tǒng)考一模）若函數(shù)y=(k-1)x|k|-2是反比例函數(shù)，則k= ．
【答案】-1
【分析】由題意根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出關(guān)于k的方程，然后解方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得
k-2=-1，且k-1≠0，
解得，k=-1．
故答案是：-1．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的定義，注意掌握重點是將一般式y(tǒng)=kxk≠0轉(zhuǎn)化為y=kx-1k≠0的形式
題型04 判斷反比例函數(shù)圖象
1．（2022·河北保定·?？家荒＃┖瘮?shù)y=-1x的圖象所在的象限是（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第二象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件可得x>0，進而可得y0，
∴y的取值范圍是y0和函數(shù)y=-3xx0，-30的圖象在第一象限，y=-3xx-3，
∴函數(shù)y=-3xx0-abb0)-3x(x0時，反比例函數(shù)y=3x在第一象限，
當xy1,y'30的圖象上可得k=6a2，根據(jù)陰影部分為矩形，且長為k4a，寬為a，面積為6，從而可得12×4ak×a=6，即可求解．
【詳解】解：設OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B6a,0，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q為BE的中點，
∴BQ=12AB=a，
∴Q6a,a，
∵Q在反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象上，
∴k=6a×a=6a2，
∵四邊形OACD是正方形，
∴C6a,6a，
∵P在CD上，
∴P點縱坐標為4a，
∵P點在反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象上，
∴P點橫坐標為x=k4a，
∴Pk4a,4a，
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四邊形OMHN是矩形，
∴NH=k4a，MH=a，
∴S?OMHN=NH×MH=k4a×a=6，
∴k=24，
故答案為：24．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)及矩形的面積公式，讀懂題意，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，點Aa,5a和Bb,5b在反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象上，其中a>b>0．過點A作AC⊥x軸于點C，則△AOC的面積為 ；若△AOB的面積為154，則ab= ．

【答案】 52 2
【分析】根據(jù)Aa,5a，得出OC=a,AC=5a，根據(jù)三角形面積公式，即可求出△AOC的面積；過點B作BD⊥x軸于點D，BD交OA于點E，根據(jù)S△OBD=S△ODE+S△OBE=52，S△AOC=S△ODE+S四邊形DCAE=52，得出S△OBE=S四邊形DCAE，進而得出S△AOB=S梯形BDCA，根據(jù)梯形面積公式，列出方程，化簡得ab-ba=32，令x=ab，則x-1x=32，求出x的值，根據(jù)a>b>0，得出ab>1，即x>1，即可解答．
【詳解】解：∵Aa,5a，
∴OC=a,AC=5a，
∴S△AOC=12OC?AC=12?a?5a=52，
過點B作BD⊥x軸于點D，BD交OA于點E，
∵Bb,5b，
∴OD=b,BD=5b，
∴S△OBD=12OD?BD=12?5b?b=52，
∵S△OBD=S△ODE+S△OBE=52，S△AOC=S△ODE+S四邊形DCAE=52，
∴S△OBE=S四邊形DCAE，
∴S△AOB=S△OBE+S△ABE=S四邊形DCAE+S△ABE=S梯形BDCA，
∴S梯形BDCA=12CDAC+BD=12×a-b5a+5b=154，
整理得：ab-ba=32，
令x=ab，
則x-1x=32，
解得：x1=-12（舍），x2=2，
∵a>b>0，
∴ab>1，即x>1，
∴ab=2，
故答案為：52，2．

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是是掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，靈活運用面積關(guān)系建立方程．
20．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)的函數(shù)表達式為I=48R，當R=12Ω時，I的值為 A．
【答案】4
【分析】將R=12Ω代入I=48R中計算即可；
【詳解】解：∵R=12Ω，
∴I=48R=4812=4 A
故答案為：4．
【點睛】本題考查已知自變量的值求函數(shù)值，掌握代入求值的方法是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在反比例函數(shù)y=8x(x>0)的圖象上有P1,P2,P3,?P2024等點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1,S2,S3,?,S2023，則S1+S2+S3+?+S2023= ．

【答案】2023253
【分析】求出P1,P2,P3,P4…的縱坐標，從而可計算出S1,S2,S3,S4…的高，進而求出S1,S2,S3,S4…，從而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．
【詳解】當x=1時，P1的縱坐標為8，
當x=2時，P2的縱坐標為4，
當x=3時，P3的縱坐標為83，
當x=4時，P4的縱坐標為2，
當x=5時，P5的縱坐標為85，
…
則S1=1×(8-4)=8-4；
S2=1×(4-83)=4-83；
S3=1×(83-2)=83-2；
S4=1×(2-85)=2-85；
…
Sn=8n-8n+1；
S1+S2+S3+…+Sn=8-4+4-83+83-2+2-85+?+8n-8n+1=8-8n+1=8nn+1，
∴S1+S2+S3+…+S2023=8×20232024=2023253．
故答案為：2023253．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合應用，解題的關(guān)鍵是求出Sn=8n-8n+1．
22．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的函數(shù)y，當t-12≤x≤t+12時，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)h=M-N2，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．
(1)①若函數(shù)y=4044x，當t=1時，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；
②若函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；
(2)若函數(shù)y=2x （x≥1），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；
(3)若函數(shù)y=-x2+4x+k，是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)①2022；②k>0時，h=k2，k0，y隨x的增大而增大，
∴h=M-N2=4044×32-4044×122=2022，
②若函數(shù)y=kx+b，當k>0時，t-12≤x≤t+12，
∴ M=kt+12+b,N=kt-12+b，
∴h=M-N2=k2，
當k0時，h=k2，k0，x≥1，函數(shù)在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，
∴t-12≥1，
解得t≥32，
當t-12≤x≤t+12時，
∴ M=2t-12=42t-1,N=2t+12=42t+1，
∴h=M-N2=1242t-1-42t+1=22t+1-22t-12t-12t+1=42t-12t+1=44t2-1，
∵當t≥32時，4t2-1隨t的增大而增大，
∴當t=32時，4t2-1取得最小值，此時h取得最大值，
最大值為h=42t-12t+1=42×4=12；
（3）對于函數(shù)y=-x2+4x+k =-x-22+4+k，
a=-10，拋物線開口向上，在32≤t≤2上，
當t=2時，h有最小值18，
∴18=4+k
解得k=-318
ii)當 2-t-121x，
∴x4，
故答案為：x4．

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的平移，平移的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)y=6|x|-|x|的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．
(1)繪制函數(shù)圖象
①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中a＝ ．
②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；
③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；
(2)探究函數(shù)性質(zhì)，請寫出函數(shù)y＝6|x|-|x|的一條性質(zhì)： ；
(3)運用函數(shù)圖象及性質(zhì)
①寫出方程6|x|-|x|＝5的解 ；
②寫出不等式6|x|-|x|≤1的解集 ．
【答案】(1)①1；②見解析，③見解析
(2)y=6|x|-|x|的圖象關(guān)于y軸對稱軸（答案不唯一）
(3)①x=1或x=-1；②x≤-2或x≥2
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描點，連線即可；
（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；
（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案．
【詳解】（1）①列表：當x=2時，a=6|2|-|2|=1，
故答案為：1；
②描點，③連線如下：
（2）觀察函數(shù)圖象可得：y=6|x|-|x|的圖象關(guān)于y軸對稱，
故答案為：y=6|x|-|x|的圖象關(guān)于y軸對稱；
（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當y=5時，x=1或x=-1，
6|x|-|x|=5的解是x=1或x=-1，
故答案為：x=1或x=-1，
②觀察函數(shù)圖象可得，當x≤-2或x≥2時，y≤1，
∴6|x|-|x|≤1的解集是x≤-2或x≥2，
故答案為：x≤-2或x≥2．
【點睛】本題考查了列表描點畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）【背景】在一次物理實驗中，小冉同學用一固定電壓為12V的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡L（燈絲的阻值RL=2Ω）亮度的實驗（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻R、RL之間關(guān)系為I=UR+RL，通過實驗得出如下數(shù)據(jù)：
(1)a=_______，b=_______；
(2)【探究】根據(jù)以上實驗，構(gòu)建出函數(shù)y=12x+2x≥0，結(jié)合表格信息，探究函數(shù)y=12x+2x≥0的圖象與性質(zhì)．
①在平面直角坐標系中畫出對應函數(shù)y=12x+2x≥0的圖象；

②隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)值y的變化趨勢是_________．
(3)【拓展】結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，當x≥0時，12x+2≥-32x+6的解集為________．
【答案】(1)2，1.5
(2)①見解析；②函數(shù)值y逐漸減小
(3)x≥2或x=0
【分析】（1）根據(jù)解析式求解即可；
（2）①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點連線畫出函數(shù)圖象；②根據(jù)圖象可得出結(jié)論；
（3）求出第一象限的交點坐標，結(jié)合圖象可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：由題意，I=12R+2，
當I=3時，由3=12a+2得a=2，
當R=6時，b=126+2=1.5，
故答案為：2，1.5；
（2）解：①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點、連線得到函數(shù)y=12x+2x≥0的圖象如圖：

②由圖象可知，隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)值y逐漸減小，
故答案為：函數(shù)值y逐漸減??；
（3）解：當x=2時，y=-32×2+6=3，當x=0時，y=6，
∴函數(shù)y=12x+2x≥0與函數(shù)y=-32x+6的圖象交點坐標為2,3，0,6，
在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=-32x+6的圖象，如圖，

由圖知，當x≥2或x=0時，12x+2≥-32x+6，
即當x≥0時，12x+2≥-32x+6的解集為x≥2或x=0，
故答案為：x≥2或x=0．
【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、描點法畫函數(shù)圖象、兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)表格畫出函數(shù)的圖象，并利用數(shù)形結(jié)合思想探究函數(shù)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
26．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）已知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象的一支如圖所示，它經(jīng)過點(3,-2)．
(1)求這個反比例函數(shù)的表達式，并補畫該函數(shù)圖象的另一支．
(2)求當y≤5，且y≠0時自變量x的取值范圍．
【答案】(1)y=-6x，見解析
(2)x≤-65或x>0
【分析】（1）將圖中給出的點(3,-2)代入反比例函數(shù)表達式，即可求出解析式，并畫出圖象；
（2）當y=5時，5=-6x，解得x=-65，結(jié)合圖象即可得出x的取值范圍．
【詳解】（1）解：（1）把點(3,-2)代入表達式y(tǒng)=kx(k≠0)，
得-2=k3，
∴k=-6，
∴反比例函數(shù)的表達式是y=-6x．
反比例函數(shù)圖象的另一支如圖所示．
（2）當y=5時，5=-6x，解得x=-65．
由圖象可知，當y≤5，且y≠0時，
自變量x的取值范圍是x≤-65或x>0．
【點睛】本題主要考查的是反比例函數(shù)的應用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點D4,1和點E，且點D為AB的中點．

(1)求反比例函數(shù)的表達式和點E的坐標；
(2)若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點M，當點M在反比例函數(shù)圖象上D,E之間的部分時（點M可與點D,E重合），直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為y=4x，E2，2
(2)-3≤m≤0
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D4,1是AB的中點得到B4，2，從而得到點E的縱坐標為2，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進而求出點E的坐標即可；
（2）求出直線y=x+m恰好經(jīng)過D和恰好經(jīng)過E時m的值，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA，AB⊥OA，
∵D4,1是AB的中點，
∴B4，2，
∴點E的縱坐標為2，
∵反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點D4,1和點E，
∴1=k4，
∴k=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=4x，
在y=4x中，當y=4x=2時，x=2，
∴E2，2；
（2）解：當直線 y=x+m經(jīng)過點E2，2時，則2+m=2，解得m=0；
當直線 y=x+m經(jīng)過點D4，1時，則4+m=1，解得m=-3；
∵一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點M，當點M在反比例函數(shù)圖象上D,E之間的部分時（點M可與點D,E重合），
∴-3≤m≤0．
【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，矩形的性質(zhì)等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y=x+b與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點A(2,3)，與y軸交于點B，過點B作x軸的平行線交反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象于點C．

(1)求直線AB和反比例函數(shù)圖象的表達式；
(2)求△ABC的面積．
【答案】(1)直線AB的表達式為y=x+1，反比例函數(shù)的表達式為y=6x
(2)6
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）由一次函數(shù)解析式求得點B的坐標，再根據(jù)BC∥x軸，可得點C的縱坐標為1，再利用反比例函數(shù)表達式求得點C坐標，即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵直線y=x+b與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點A(2,3)，
∴k=2×3=6，2+b=3，即b=1，
∴直線AB的表達式為y=x+1，反比例函數(shù)的表達式為y=6x．
（2）解：∵直線y=x+1的圖象與y軸交于點B，
∴當x=0時，y=1，
∴B0,1，
∵BC∥x軸，直線BC與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點C，
∴點C的縱坐標為1，
∴6x=1，即x=6，
∴C6,1，
∴BC=6，
∴S△ABC=12×2×6=6．
【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、一次函數(shù)與y軸的交點，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度ρ（單位：gcm3）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為1g/cm3的水中時，h=20cm．

(1)求h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式．
(2)當密度計懸浮在另一種液體中時，h=25cm，求該液體的密度ρ．
【答案】(1)h=20ρ．
(2)該液體的密度ρ為0.8g/cm3．
【分析】（1）由題意可得，設h=kρ，把ρ=1，h=20代入解析式，求解即可；
（2）把h=25cm代入（1）中的解析式，求解即可．
【詳解】（1）解：設h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為h=kρ，
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20．
∴h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為h=20ρ．
（2）解：把h=25代入h=20ρ，得25=20ρ．
解得：ρ=0.8．
答：該液體的密度ρ為0.8g/cm3．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活利用反比例函數(shù)的性質(zhì)進行求解．
30．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點A-1，6，B3a,a-3，與x軸交于點C，與y軸交于點D．
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
(2)點M在x軸上，若S△OAM=S△OAB，求點M的坐標．
【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為y=-6x，一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4
(2)M點的坐標為-83,0或83,0
【分析】（1）設反比例函數(shù)解析式為y=k1x，將A-1，6代入y=k1x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)解析式，將B3a,a-3代入求得的反比例函數(shù)，解得a的值，得到B點坐標，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）求出點C的坐標，根據(jù)S△OAB=S△OAC+S△OBC求出S△OAB，分兩種情況：M在O點左側(cè)；M點在O點右側(cè)，根據(jù)三角形面積公式即可解答．
【詳解】（1）解：設反比例函數(shù)解析式為y=k1x，
將A-1，6代入y=k1x，可得6=k1-1，解得k1=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-6x，
把B3a,a-3代入y=-6x，可得3a-3a=-6，
解得a=1，
經(jīng)檢驗，a=1是方程的解，
∴B3,-2，
設一次函數(shù)的解析式為y=k2x+b，
將A-1，6，B3,-2代入y=k2x+b，
可得6=-x+b-2=3x+b，
解得k2=-2b=4，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4；
（2）解：當y=0時，可得0=-2x+4，
解得x=2，
∴C2,0，
∴OC=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=12×2×6+12×2×2=8，
∵S△OAM=S△OAB，
∴S△OAM=8=12×6×OM，
∴OM=83，
M在O點左側(cè)時，M-83,0；
M點在O點右側(cè)時，M83,0，
綜上，M點的坐標為-83,0或83,0．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)，一次函數(shù)與三角形面積問題，熟練求出S△OAB是解題的關(guān)鍵．
31．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第一象限內(nèi)交于Aa,4和B4,2兩點，直線AB與x軸相交于點C，連接OA．

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
(2)當x>0時，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式mx+n≥kx的解集；
(3)過點B作BD平行于x軸，交OA于點D，求梯形OCBD的面積．
【答案】(1)反比例函數(shù)為：y=8x，一次函數(shù)為y=-x+6．
(2)2≤x≤4
(3)9
【分析】（1）利用B4,2可得反比例函數(shù)為y=8x，再求解A2,4，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；
（2）由一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，結(jié)合x>0可得答案；
（3）求解OA的解析式為：y=2x，結(jié)合過點B作BD平行于x軸，交OA于點D，B4,2，可得D1,2，BD=4-1=3，由AB為y=-x+6，可得C6,0，OC=6，再利用梯形的面積公式進行計算即可．
【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)y=kx過B4,2，
∴k=8，
∴反比例函數(shù)為：y=8x，
把Aa,4代入y=8x可得：a=84=2，
∴A2,4，
∴2m+n=44m+n=2，解得：m=-1n=6，
∴一次函數(shù)為y=-x+6．
（2）由一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，結(jié)合x>0可得
不等式mx+n≥kx的解集為：2≤x≤4．
（3）∵A2,4，同理可得OA的解析式為：y=2x，
∵過點B作BD平行于x軸，交OA于點D，B4,2，
∴yD=2，
∴xD=1，即D1,2，
∴BD=4-1=3，
∵AB為y=-x+6，
當y=0，則x=6，即C6,0，
∴OC=6，
∴梯形OCBD的面積為：123+6×2=9．
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，利用圖象解不等式，坐標與圖形面積，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
32．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為8m2的矩形地塊ABCD種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為am．
【問題提出】
小組同學提出這樣一個問題：若a=10，能否圍出矩形地塊？
【問題探究】
小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：
設AB為xm，BC為ym．由矩形地塊面積為8m2，得到xy=8，滿足條件的x,y可看成是反比例函數(shù)y=8x的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標；木欄總長為10m，得到2x+y=10，滿足條件的x,y可看成一次函數(shù)y=-2x+10的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標，同時滿足這兩個條件的x,y就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐標．
如圖2，反比例函數(shù)y=8xx>0的圖象與直線l1：y=-2x+10的交點坐標為1,8和_________，因此，木欄總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=__________m．
（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．
【類比探究】
（2）若a=6，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．
【問題延伸】
當木欄總長為am時，小穎建立了一次函數(shù)y=-2x+a．發(fā)現(xiàn)直線y=-2x+a可以看成是直線y=-2x通過平移得到的，在平移過程中，當過點2,4時，直線y=-2x+a與反比例函數(shù)y=8xx>0的圖象有唯一交點．
（3）請在圖2中畫出直線y=-2x+a過點2,4時的圖象，并求出a的值．
【拓展應用】
小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“y=-2x+a與y=8x圖象在第一象限內(nèi)交點的存在問題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且AB和BC的長均不小于1m，請直接寫出a的取值范圍．
【答案】（1）4,2；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達式，求出交點坐標，即可解答；
（2）根據(jù)a=6得出，y=-2x+6，在圖中畫出y=-2x+6的圖象，觀察是否與反比例函數(shù)圖像有交點，若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；
（3）過點2,4作l1的平行線，即可作出直線y=-2x+a的圖象，將點2,4代入y=-2x+a，即可求出a的值；
（4）根據(jù)存在交點，得出方程-2x+a=8xa>0有實數(shù)根，根據(jù)根的判別式得出a≥8，再得出反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點1,8，8,1，則當y=-2x+a與y=8x圖象在點1,8左邊，點8,1右邊存在交點時，滿足題意；根據(jù)圖象，即可寫出取值范圍．
【詳解】解：（1）∵反比例函數(shù)y=8xx>0，直線l1：y=-2x+10，
∴聯(lián)立得：y=8xy=-2x+10，
解得：x1=1y1=8，x2=4y2=2，
∴反比例函與直線l1：y=-2x+10的交點坐標為1,8和4,2，
當木欄總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案為：4,24；2．
（2）不能圍出．
∵木欄總長為6m，
∴2x+y=6，則y=-2x+6，
畫出直線y=-2x+6的圖象，如圖中l(wèi)2所示：
∵l2與函數(shù)y=8x圖象沒有交點，
∴不能圍出面積為8m2的矩形；
（3）如圖中直線l3所示，l3即為y=-2x+a圖象，
將點2,4代入y=-2x+a，得：4=-2×2+a，
解得a=8；

（4）根據(jù)題意可得∶ 若要圍出滿足條件的矩形地塊， y=-2x+a與y=8x圖象在第一象限內(nèi)交點的存在問題，
即方程-2x+a=8xa>0有實數(shù)根，
整理得：2x2-ax+8=0，
∴Δ=-a2-4×2×8≥0，
解得：a≥8，
把x=1代入y=8x得：y=81=8，
∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點1,8，
把y=1代入y=8x得：1=8x，解得：x=8，
∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點8,1，
令A1,8，B8,1，過點A1,8，B8,1分別作直線l3的平行線，
由圖可知，當y=-2x+a與y=8x圖象在點A左邊，點B右邊存在交點時，滿足題意；

把8,1代入y=-2x+a得：1=-16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意得出等量關(guān)系，掌握待定系數(shù)法，會根據(jù)函數(shù)圖形獲取數(shù)據(jù)．
33．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l:y=kx+2與x，y軸分別相交于點A，B，與反比例函數(shù)y=mxx>0的圖象相交于點C，已知OA=1，點C的橫坐標為2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y軸的動直線與l和反比例函數(shù)的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．
【答案】(1)k=2，m=12；
(2)點D的坐標為6，26+2或7-1，27
【分析】（1）求得A-1，0，利用待定系數(shù)法即可求得直線的式，再求得C2，6，據(jù)此即可求解；
（2）設點Da，2a+2，則點Ea，12a，利用平行四邊形的性質(zhì)得到2a+2-12a=2，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵OA=1，
∴A-1，0，
∵直線y=kx+2經(jīng)過點A-1，0，
∴0=-k+2，解得，k=2，
∴直線的解析式為y=2x+2，
∵點C的橫坐標為2，
∴y=2×2+2=6，
∴C2，6，
∵反比例函數(shù)y=mxx>0的圖象經(jīng)過點C，
∴m=2×6=12；
（2）解：由（1）得反比例函數(shù)的解析式為y=12x，
令x=0，則y=2×0+2=2，
∴點B0，2，
設點Da，2a+2，則點Ea，12a，
∵以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴DE=OB=2，
∴2a+2-12a=2，整理得2a+2-12a=2或2a+2-12a=-2，
由2a+2-12a=2得2a2+2a-12=2a，
整理得a2=6，
解得a=±6，
∵a>0，
∴a=6，
∴點D6，26+2；
由2a+2-12a=-2得2a2+2a-12=-2a，
整理得a2+2a-6=0，
解得a=±7-1，
∵a>0，
∴a=7-1，
∴點D7-1，27；
綜上，點D的坐標為6，26+2或7-1，27．
【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
34．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點C3，0，頂點A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線AB所對應的一次函數(shù)的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使△ABP周長的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=6x，y=-12x+4
(2)在x軸上存在一點P5,0，使△ABP周長的值最小,最小值是25+42．
【分析】（1）過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BD⊥x軸于點D，證明△ACE≌△CBDAAS，則CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3-m得到點A的坐標是3-m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上得到33-m=6m，解得m=1，得到點A的坐標是2,3，點B的坐標是6,1，進一步用待定系數(shù)法即可得到答案；
（2）延長AE至點A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點P，連接AP，利用軸對稱的性質(zhì)得到AP=A'P，A'2,-3，則AP+PB=A'B，由AB=25知AB是定值，此時△ABP的周長為AP+PB+AB=AB+A'B最小，利用待定系數(shù)法求出直線A'B的解析式，求出點P的坐標，再求出周長最小值即可．
【詳解】（1）解：過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BD⊥x軸于點D，
則∠AEC=∠CDB=90°，

∵點C3，0，B6，m，
∴OC=3,OD=6, BD=m，
∴CD=OD-OC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°,AC=BC，
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBDAAS，
∴CD=AE=3,BD=EC=m，
∴OE=OC-EC=3-m，
∴點A的坐標是3-m,3，
∵A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上．
∴33-m=6m，
解得m=1，
∴點A的坐標是2,3，點B的坐標是6,1，
∴k=6m=6，
∴反比例函數(shù)的解析式是y=6x，
設直線AB所對應的一次函數(shù)的表達式為y=px+q，把點A和點B的坐標代入得，
2p+q=36p+q=1，解得p=-12q=4,
∴直線AB所對應的一次函數(shù)的表達式為y=-12x+4，
（2）延長AE至點A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點P，連接AP，

∴點A與點A'關(guān)于x軸對稱，
∴AP=A'P，A'2,-3，
∵AP+PB=A'P+PB=A'B，
∴AP+PB的最小值是A'B的長度，
∵AB=2-62+3-12=25，即AB是定值，
∴此時△ABP的周長為AP+PB+AB=AB+A'B最小，
設直線A'B的解析式是y=nx+t，
則2n+t=-36n+t=1，
解得n=1t=-5，
∴直線A'B的解析式是y=x-5，
當y=0時，0=x-5，解得x=5，
即點P的坐標是5,0，
此時AP+PB+AB=AB+A'B=25+2-62+-3-12=25+42，
綜上可知，在x軸上存在一點P5,0，使△ABP周長的值最小，最小值是25+42．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）笑笑同學通過學習數(shù)學和物理知識，知道了電磁波的波長λ（單位：m）會隨著電磁波的頻率f（單位：MHz）的變化而變化．已知波長λ與頻率f是反比例函數(shù)關(guān)系，下面是它們的部分對應值：
(1)求波長λ關(guān)于頻率f的函數(shù)解析式．
(2)當f=75MHz時，求此電磁波的波長λ．
【答案】(1)λ=300f；
(2)4m
【分析】（1）設解析式為λ=kf k≠0，用待定系數(shù)法求解即可；
（2）把f=75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此電磁波的波長λ．
【詳解】（1）解：設波長λ關(guān)于頻率f的函數(shù)解析式為λ=kf k≠0，
把點10,30代入上式中得：k10=30，
解得：k=300，
∴λ=300f；
（2）解：當f=75MHz時，λ=30075=4，
答：當f=75MHz時，此電磁波的波長λ為4m．
【點睛】本題是反比例函數(shù)的應用問題，考查了求反比例函數(shù)的解析式及求反比例函數(shù)的函數(shù)值等知識，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
36．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當x=6時，y=2．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)若火焰的像高為3cm，求小孔到蠟燭的距離．
【答案】(1)y=12x
(2)4cm
【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）把y=3代入反比例函數(shù)解析式，求出y的值即可．
【詳解】（1）由題意設y=kx，
把x=6，y=2代入，得k=6×2=12．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=12x．
（2）把y=3代入y=12x，得x=4．
∴小孔到蠟燭的距離為4cm．
【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式以及求函數(shù)值，能正確掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵．
37．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）小軍借助反比例函數(shù)圖象設計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數(shù)y=kx圖象上的點A3,1和點B為頂點，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點D，E在x軸上，以點O為圓心，OA長為半徑作AC，連接BF．
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；
(3)請直接寫出圖中陰影部分面積之和．
【答案】(1)3
(2)半徑為2，圓心角為60°
(3)33-23π
【分析】（1）將A3,1代入y=kx中即可求解；
（2）利用勾股定理求解邊長，再利用三角函數(shù)求出∠AOD的度數(shù)，最后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解；
（3）先計算出S菱形AOCD=23，再計算出扇形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)及結(jié)合k的幾何意義可求出S△FBO=3，從而問題即可解答．
【詳解】（1）解：將A3,1代入y=kx中，
得1=k3，
解得：k=3；
（2）解：∵過點A作OD的垂線，垂足為G，如下圖：

∵A3,1，
∴AG=1,OG=3，
∴OA=(3)2+12=2，
∴半徑為2；
∵AG=12OA，
∴sin∠AOG=AGOG=12，
∴∠AOG=30°，
由菱形的性質(zhì)知：∠AOG=∠COG=30°，
∴∠AOC=60°，
∴扇形AOC的圓心角的度數(shù)：60°；
（3）解：∵OD=2OG=23，
∴S菱形AOCD=AG×OD=1×23=23，
∵S扇形AOC=16×πr2=16×π×22=23π，
如下圖：由菱形OBEF知，S△FHO=S△BHO，

∵S△BHO=k2=32，
∴S△FBO=2×32=3，
∴S陰影部分面積=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=3+23-23π=33-23π．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)及k的幾何意義，菱形的性質(zhì)、勾股定理、圓心角，解題的關(guān)鍵是掌握k的幾何意義．
38．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+5與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y=kx的圖象的一個交點為B(a,4)，過點B作AB的垂線l．

(1)求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式；
(2)若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標；
(3)P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點P的坐標及m的值．
【答案】(1)點A的坐標為(0,5)，反比例函數(shù)的表達式為y=4x；
(2)點C的坐標為(6,9)或(-4,-1)
(3)點P的坐標為-14,114；m的值為3
【分析】（1）利用直線y=-x+5解析式可的點C的坐標，將點B(a,4)代入y=-x+5可得a的值，再將點B代入反比例函數(shù)解析式可得k的值，從而得解；
（2）設直線l于y軸交于點M，由點B的坐標和直線l是AB的垂線先求出點M的坐標，再用待定系數(shù)法求直線l的解析式y(tǒng)=x+3，C點坐標為t，t+3，根據(jù)S△ABC=12AM?xB-xC=5(xB,xC分別代表點B與點C的橫坐標)可得點C的橫坐標，從而得解；
（3） 位似圖形的對應點與位似中心三點共線可知點B的對應點也在直線l上，不妨設為點E，則點A的對應點是點D，直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組得到E-4,-1，由△PAB∽△PDE得到AB∥DE，繼而得到直線AB與直線DE的解析式中的一次項系數(shù)相等，設直線DE的解析式是：y=-x+b2，將E-4,-1代入y=-x+b2求得DE的解析式是：y=-x-5，再將直線DE與雙曲線的解析式聯(lián)立求得D-1,-4，再用待定系數(shù)法求出AD的解析式是y=9x+5，利用直線AD的解析式與直線l的解析式聯(lián)立求得點P的坐標為-14,114，再用兩點間的距離公式得到BP=542，EP=1542從而求得m=EPBP=3．
【詳解】（1）解：令x=0，則y=-x+5=5
∴點A的坐標為(0,5)，
將點B(a,4)代入y=-x+5得：4=-a+5
解得：a=1
∴B(1,4)
將點B(1,4)代入y=kx得：4=k1
解得：k=4
∴反比例函數(shù)的表達式為y=4x；
（2）解：設直線l于y軸交于點M，直線y=-x+5與x軸得交點為N，

令y=-x+5=0解得：x=5
∴N(5,0)，
∴OA=ON=5，
又∵∠AON=90°，
∴∠OAN=45°
∵A(0,5)，B(1,4)
∴AB=1-02+4-52=2
又∵直線l是AB的垂線即∠ABM=90°，∠OAN=45°，
∴AB=BM=2，AM=AB2+BM2=2
∴M0,3
設直線l的解析式是：y=k1x+b1，
將點M0,3，點B(1,4)代入y=k1x+b1得：k1+b1=4b1=3
解得：k1=1b1=3
∴直線l的解析式是：y=x+3，
設點C的坐標是t，t+3
∵S△ABC=12AM?xB-xC=12×2×1-t=5，(xB,xC分別代表點B與點C的橫坐標)
解得： t=-4或6，
當t=-4時，t+3=-1；
當t=6時，t+3=9，
∴點C的坐標為(6,9)或(-4,-1)
（3）∵位似圖形的對應點與位似中心三點共線，
∴點B的對應點也在直線l上，不妨設為點E，則點A的對應點是點D，
∴點E是直線l與雙曲線y=4x的另一個交點，
將直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立得：y=4xy=x+3
解得：x=1y=4或x=-4y=-1
∴E-4,-1
畫出圖形如下：

又∵△PAB∽△PDE
∴∠PAB=∠PDE
∴AB∥DE
∴直線AB與直線DE的解析式中的一次項系數(shù)相等，
設直線DE的解析式是：y=-x+b2
將點E-4,-1代入y=-x+b2得：-1=--4+b2
解得：b2=-5
∴直線DE的解析式是：y=-x-5
∵點D也在雙曲線y=4x上，
∴點D是直線DE與雙曲線y=4x的另一個交點，
將直線DE與雙曲線的解析式聯(lián)立得：y=4xy=-x-5
解得：x=-1y=-4或x=-4y=-1
∴D-1,-4
設直線AD的解析式是：y=k3x+b3
將點A(0,5)，D-1,-4代入y=k3x+b3得：-k3+b3=-4b3=5
解得：k1=9b1=5
∴直線AD的解析式是：y=9x+5，
又將直線AD的解析式與直線l的解析式聯(lián)立得：y=9x+5y=x+3
解得：x=-14y=114
∴點P的坐標為-14,114
∴BP=-14-12+114-42=542
EP=-14--42+114--12=1542
∴m=EPBP=3
【點睛】本題考查直線與坐標軸的交點，求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)綜合-幾何問題，三角形的面積公式，位似的性質(zhì)等知識，綜合性大，利用聯(lián)立方程組求交點和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
39．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知點Pm,n在函數(shù)y=-2xx0)的圖象交于點A，
∴設Aa,3a-9，
∵AM⊥x，OA=5，
∴在Rt△AOM中，OM2+AM2=AO2，
∴a2+3a-92=52，
∴解得a1=4，a2=75，
∵點A的橫坐標要大于點B的橫坐標，
∴a2=75應舍去，
∴a=4，
∴A4,3，
∴將A4,3代入y=mx(x>0)，解得m=12；
∴反比例函數(shù)的解析式為y=12x(x>0)；
（2）∵A4,3，B3,0，
∴MO=4，BO=3，
∴MB=1，AM=3，
∵AM⊥x，
∴tan∠BAM=BMAM=13，
∵AN⊥y，∠NOM=90°，
∴四邊形NOMA是矩形，
∴∠NAM=90°，
∵將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點E，
∴∠BAE=45°，
∴∠BAM+∠NAE=45°，
∵tan∠BAM=13，
∴tan∠NAE=12；
（3）∵四邊形NOMA是矩形，
∴AN=OM=4，NO=AM=3，
∵AN⊥y，tan∠NAE=12，
∴NEAN=12，即NE4=12，
∴解得NE=2，
∴OE=ON-NE=1，
∴E0,1，
∴設直線AE的解析式為y=kx+b，
∴將E0,1和A4,3代入得，b=14k+b=3，
∴解得b=1k=12，
∴直線AE的解析式為y=12x+1．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和幾何綜合題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確理解材料的內(nèi)容．
V（單位：立方米）
64
48
38.4
32
24
…
P（單位：千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
y
…
-103
-52
-2
2
52
103
…
S/m2
1
2
3
P/Pa
P1
300
P2
RΩ
100
200
220
400
IA
2.2
1.1
1
0.55
IA
5
…
a
…
…
…
b
…
1
RΩ
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
RΩ
…
1
a
3
4
6
…
IA
…
4
3
2.4
2
b
…
頻率f（MHz）
10
15
50
波長λ（m）
30
20
6

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