一、解答題
1．（2024新高考Ⅰ卷·17）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值為，求．
2．（2024新高考Ⅱ卷·17）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF對折至，使得．
(1)證明：；
(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．
一、解答題
1．（2022新高考Ⅰ卷·19）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
2．（2023新高考Ⅰ卷·18）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
3．（2022新高考Ⅱ卷·20）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
4．（2023新高考Ⅱ卷·20）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
一、直線的方向向量
1、直線的方向向量
如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時，，此式叫做線段的中點(diǎn)公式．
2、共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
3、共面向量定理
如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．
推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．
②已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．
二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
1、兩向量夾角
已知兩個非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
2、數(shù)量積定義
已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．
3、空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）．
三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
1、設(shè)，，則；
；
；
；
；
．
2、設(shè)，，則．
這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
3、兩個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．
4、向量在向量上的投影為．
四、法向量的求解與簡單應(yīng)用
1、平面的法向量：
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點(diǎn)注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一個平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．
第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿足．
2、判定直線、平面間的位置關(guān)系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．
若∥，即，則；
若，即，則．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則；
若，即，則．
3、平面與平面的位置關(guān)系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
五、空間角公式
1、異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．
2、線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
3、二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．
六、空間中的距離
求解空間中的距離
1、異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．
如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
2、點(diǎn)到平面的距離
為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．
一、解答題
1．（2024·江西九江·三模）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，為等邊三角形.
(1)證明：；
(2)若二面角的大小為，求二面角的正弦值.
2．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，三棱錐中，平面平面，平面平面，平面平面，
(1)求證：兩兩垂直；
(2)若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．
3．（2024·四川成都·三模）如圖，三棱柱所有棱長都為2，，D為與交點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
4．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.
(1)求證：，，，四點(diǎn)共面：
(2)求平面與平面所成角的余弦值.
5．（2024·北京順義·三模）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，，，，.
(1)判斷AD是否平行于平面CEF，并證明；
(2)若面面；求：
（?。┢矫媾c平面CEF所成角的大??；
（ⅱ）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.
6．（2024·安徽合肥·三模）如圖一：等腰直角中且，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形使得，沿三邊折疊，使得，重合于，如圖二
(1)求證：．
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
7．（2024·河北秦皇島·三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，.
(1)證明：.
(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.
8．（2024·河南·三模）如圖，在直三棱柱中，是棱BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)不重合），且，過作平面的垂線．
(1)證明：；
(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求AC與平面所成角的正弦值．
9．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，為半個圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)若是線段上一個動點(diǎn)，當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
10．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).
(1)證明：直線平面；
(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.
11．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)．
(1)求；
(2)求二面角的平面角的正切值．
12．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱臺中，，
，.
(1)證明：平面平面；
(2)若，四棱臺的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.
13．（2024·山東煙臺·三模）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點(diǎn)，且．
(1)證明：；
(2)若D為棱上的動點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時，求二面角的余弦值.
14．（2024·四川成都·三模）中國是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”.如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐，其中，，交于點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)若，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.
15．（2024·山東青島·三模）如圖所示，多面體，底面是正方形，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，側(cè)面與是全等的等腰梯形，，其余棱長均為2.
(1)證明:平面；
(2)若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.
16．（2024·新疆喀什·三模）如圖，在正四棱臺中，，，是的中點(diǎn)．
(1)求證：直線平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值
17．（2024·浙江·三模）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，平面底面，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，P是線段上的動點(diǎn)．
(1)當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P到平面的距離；
(2)當(dāng)平面與平面的夾角的余弦值為時，求．
18．（2024·湖南邵陽·三模）如圖所示，四棱錐中，平面，，，，為棱上的動點(diǎn).
(1)求證：；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
19．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；
(2)若，，線段上的點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實數(shù)的值.
20．（2024·貴州六盤水·三模）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，平面平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
21．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.
(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
22．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
(1)求證：為三棱錐外接球的球心；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)專題11 概率專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)專題11 概率專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版），文件包含專題11概率教師版docx、專題11概率學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共74頁， 歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)專題10 統(tǒng)計專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)專題10 統(tǒng)計專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版），文件包含專題10統(tǒng)計教師版docx、專題10統(tǒng)計學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共52頁， 歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)專題19 導(dǎo)數(shù)綜合專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)專題19 導(dǎo)數(shù)綜合專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版），文件包含專題19導(dǎo)數(shù)綜合教師版docx、專題19導(dǎo)數(shù)綜合學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共64頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)專題16 雙曲線專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)專題16 雙曲線專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版）
高考數(shù)學(xué)專題02 復(fù)數(shù) 專項練習(xí) 教師版+學(xué)生版

高考數(shù)學(xué)專題02 復(fù)數(shù) 專項練習(xí) 教師版+學(xué)生版
高考數(shù)學(xué)專題07 直線與圓專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)專題07 直線與圓專項練習(xí)（教師版+學(xué)生版）
2024高考數(shù)學(xué)專題分類之立體幾何學(xué)生及教師版

2024高考數(shù)學(xué)專題分類之立體幾何學(xué)生及教師版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部