一、單選題（3*8=24）
1. 傳統(tǒng)文化斗拱是中國(guó)古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】斗形構(gòu)件“三才升”，從左面看到的形狀是：
故選：C．
2. 若關(guān)于x的一元二次方程配方后得到，則c的值為（ ）
A. 0B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
3. 小鄂在數(shù)學(xué)書(shū)中看到了斐波那契曲線，于是將曲線畫(huà)在了紙上小明看到后想計(jì)算陰影部分面積于是他們決定在紙上隨機(jī)戳點(diǎn)，并記錄數(shù)據(jù)于下表
若正方形的邊長(zhǎng)為4，則陰影部分面積約為（ ）
A. 4.7B. 7.52C. 7.98D. 8
【答案】B
【解析】由表格數(shù)據(jù)可知：點(diǎn)落在陰影部分的概率為，
∵正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴正方形的面積為，
∴陰影部分的面積為：；
故選：B．
4. 如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，則以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A. AB∥A′B′B. △ABC ∽ △A′B′C′
C. AO：AA′＝1：2D. 點(diǎn)C、O、C′三點(diǎn)在同一直線上
【答案】C
【解析】A. AB∥A′B．位似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行，正確，不能選；
B. △ABC ∽ △A′B′C′．位似圖形相似，正確，不能選；
C. AO：AA′＝1：2．對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心距離的比等于位似比，不正確，能選；
D. 點(diǎn)C、O、C′三點(diǎn)在同一直線上．對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線經(jīng)過(guò)位似中心，正確，不能選．
故選C
5. 將兩個(gè)完全相同的矩形和矩形按如圖所示的位置擺放，使點(diǎn)，，在同一條直線上，點(diǎn)在邊上，連結(jié)，，．若，，則的面積為（ ）
A. 13B. 26C. D.
【答案】D
【解析】∵將兩個(gè)完全相同的矩形和矩形按如圖所示的位置擺放，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴的面積為．
故選：D．
6. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長(zhǎng)少12步．如果設(shè)長(zhǎng)為步，則可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)長(zhǎng)為x步，則長(zhǎng)為步，
由題意得，，
故選：C．
7. 如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)E，連接，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四邊形是菱形，
∴．
在中，是斜邊上的中線，
∴，
∴．
在中，．
∴，
即，
解得．
故選：D．
8. 在矩形中，對(duì)角線，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)H．設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】矩形中，
，
，
的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)H，
，
，，即，，
故選A．
二、填空題（3*5=15）
9. 方程的兩個(gè)根分別為，，則的值為_(kāi)_______．
【答案】5
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得．
故答案為：5．
10. 愛(ài)好收藏的張同學(xué)將收集到的500張關(guān)于山西十大景點(diǎn)的卡片（它們分別是五臺(tái)山、平遙古城、云岡石窟、晉祠、洪洞大槐樹(shù)、壺口瀑布、雁門(mén)關(guān)、懸空寺、綿山、皇城相府）放到一個(gè)不透明的盒子里反復(fù)抽取多次（抽取后放回并搖勻），發(fā)現(xiàn)抽到“云岡石窟”卡片的頻率穩(wěn)定在左右，則估計(jì)收集到的“云岡石窟”卡片張數(shù)是________．
【答案】75
【解析】∵發(fā)現(xiàn)抽到“云岡石窟”卡片的頻率穩(wěn)定在0.15左右，
∴抽到“云岡石窟”卡片的概率為，
∴估計(jì)收集到的“云岡石窟”卡片張數(shù)是
故答案為：75．
11. 天壇是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老師希望同學(xué)們利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量祈年段的高度，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的測(cè)量圖形，并測(cè)出竹竿長(zhǎng)2米，在太陽(yáng)光下，它的影長(zhǎng)為1.5米，同一時(shí)刻，祈年殿的影長(zhǎng)約為28.5米．請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出祈年殿的高度約為_(kāi)_________米．
【答案】38
【解析】根據(jù)相同時(shí)刻的物高與影長(zhǎng)成比例，
設(shè)祈年殿的高度為米，
則可列比例為，
解得．
所以祈年殿的高度為38米．
故答案為：38．
12. 如圖，等腰直角三角形中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，直角頂點(diǎn)C落在反比例函的圖象上，的中點(diǎn)D落在y軸上，若，則______．
【答案】4
【解析】過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于，于，
則，，
∵是的等腰直角三角形，
∴，，則，
∴，∴，∴，
則，可設(shè)，則，
∵的中點(diǎn)落在軸上，則，∴，即，
∴，，，
由得，，解得：，即
∴，
故答案為：4．
13. 如圖，在正方形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，將沿著翻折，得到，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則＝________．

【答案】
【解析】∵四邊形是正方形，，
∴，
∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，
∴，
在中，，
∵將沿著翻折，得到，
∴
，
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)D′作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，

則，
∴
，
∴，
∴等腰直角三角形，，
∵，
∴ ,
∴，
在中，，
∴，
故答案為：．
三、解答題（共61分）
14. 解方程： x2﹣2x﹣3＝0．
解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1=0或x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝3．
15. 2024年夏季奧運(yùn)會(huì)在法國(guó)巴黎舉行，某4檔電視臺(tái)A、B、C、D在同一時(shí)間進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)直播，直播節(jié)目表如下表所示．小夏和小王都是體育迷，他們?cè)诟髯约依锿粫r(shí)間觀看了直播節(jié)目．
（1）小夏收看了乒乓球直播的概率為_(kāi)_______；
（2）請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求小夏和小王收看同一個(gè)直播節(jié)目的概率．
解：（1）小夏收看了乒乓球直播的概率為，
故答案為：；
（2）列表如下：
∴共有16種等可能的結(jié)果，其中能同時(shí)看同一個(gè)直播節(jié)目的有4種，
∴P（兩人同時(shí)看同一個(gè)直播節(jié)目）．
16. 如果方格中，三角形的頂點(diǎn)和的位置用數(shù)對(duì)表示分別為、．

（1）在方格中過(guò)點(diǎn)畫(huà)出邊的平行線．
（2）畫(huà)出三角形繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后的圖形，并涂上陰影．
（3）用數(shù)對(duì)分別表示新三角形中的位置分別是：（_____，_____）、（_____，_____）
（4）①以點(diǎn)為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫(huà)出的位似圖形，使它與的位似比為，并涂上陰影．
②縮小后面積是原來(lái)面積的___________．
解：（1）如圖所示，直線即為所求；

（2）如圖所示，即為所求；
（3）、，
故答案為：13，8；9，8；
（4）①如圖所示；
②縮小后的面積是原來(lái)面積的．
17. 根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
解：探究一
∵當(dāng)賣(mài)出10杯時(shí)，每杯奶茶可盈利3元．若每多賣(mài)出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元．
∴多賣(mài)出杯奶茶，當(dāng)天每杯奶茶可盈利元；
故答案為：；
探究二設(shè)當(dāng)日多賣(mài)出杯奶茶，
依題意得，，
化簡(jiǎn)得，，
解得，，（不合，舍去），
∴，
∴．
故當(dāng)日賣(mài)出了70杯奶茶．
18. 【背景】喜歡思考的小明在學(xué)習(xí)等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)時(shí)注意到：等邊頂角的平分線與底邊上的中線、底邊上的高線互相重合，則可得到直角三角形，在中，，，．由此，小明得出關(guān)于直角三角形的一個(gè)結(jié)論：在直角三角形中，角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半．
【類(lèi)比】由矩形對(duì)角線的性質(zhì)，你可以得到直角三角形的一條性質(zhì)：__________即在中，線段和線段之間的數(shù)量關(guān)系是______．
【應(yīng)用】請(qǐng)利用以上結(jié)論解決下面兩個(gè)問(wèn)題
在中，對(duì)角線垂直于，，，點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)．
（1）判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）求四邊形的面積．
解：類(lèi)比：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
；
應(yīng)用：
（1）菱形．理由如下：
，
，
點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
，
，，
，，
點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
，
又∵四邊形為平行四邊形，
，，
即，
∴四邊形為菱形；
（2），，，
，即，
，
，
和是等底同高，
，
同理可得，
又∵在中，
，
．
19. 【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】探索凸透鏡成像的奧秘
【項(xiàng)目背景】某學(xué)?？茖W(xué)小組的同學(xué)們嘗試用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法來(lái)研究凸透鏡成像規(guī)律．
【項(xiàng)目素材】
素材一：透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過(guò)透鏡中心的光線不發(fā)生改變；平行于主光軸的光線經(jīng)過(guò)折射后光線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)．
素材二：設(shè)物距為u、像距為v和焦距為f，小明在研究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了物距u、像距v和焦距f之間在成實(shí)像時(shí)存在著關(guān)系：．
【項(xiàng)目任務(wù)】根據(jù)項(xiàng)目素材解決問(wèn)題：
（1）小明先取物距，然后畫(huà)出光路圖（如圖①），其中為物體，O為凸透鏡的光心，入射光線光軸，折射光線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，為所成的像．根據(jù)光路圖①可知，當(dāng)時(shí)，物體經(jīng)凸透鏡折射后成________（填“放大”或“縮小”或“等大”）的倒立實(shí)像；
（2）小明又取物距．
①當(dāng)時(shí)，________（用含有f的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)時(shí)，物體經(jīng)凸透鏡折射后成________（填“放大”或“縮小”或“等大”）的倒立實(shí)像，請(qǐng)仿照?qǐng)D①的方法，在圖②中畫(huà)光路圖，并用三角形全等的知識(shí)解釋?zhuān)?br>（3）實(shí)際生活中，一個(gè)固定的凸透鏡焦距f為定值．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
①請(qǐng)直接寫(xiě)出y與u之間的函數(shù)表達(dá)式，并在圖③中畫(huà)出函數(shù)v的圖像；
②試說(shuō)明：．
解：（1）∵，
把代入
∴
得出
∴
∴物體經(jīng)凸透鏡折射后成放大的倒立實(shí)像，
故答案：放大；
（2）①∵小明在研究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了物距u、像距v和焦距f之間在成實(shí)像時(shí)存在著關(guān)系：，且
∴把代入
得
∴
故答案為：；
②當(dāng)時(shí)，在圖②中畫(huà)光路圖，如圖所示：
∴物體經(jīng)凸透鏡折射后成等大的倒立實(shí)像，理由如下：
即
∵
∴
∴
即當(dāng)時(shí)，物體經(jīng)凸透鏡折射后成等大的倒立實(shí)像，
（3）①實(shí)際生活中，一個(gè)固定的凸透鏡焦距f為定值．當(dāng)時(shí)，且
∴y與u之間的函數(shù)表達(dá)式
依題意，列表：
描點(diǎn)連線，在圖③中畫(huà)出函數(shù)v的圖像，如圖所示：
②∵，
∴
∴
∴
20. （1）在菱形中，，點(diǎn)P在邊邊上，連接，點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，連接，，求證：；
（2）菱形中，點(diǎn)P、Q分別是,上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，當(dāng)時(shí)，求與的面積之和．
（3）平行四邊形中，，P是上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度．
（1）證明：連接，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，，
∴，都是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
（2）解：延長(zhǎng)到H使得，連接，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，，．
∵，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴．
（3）解：延長(zhǎng)到H使得，
∵， ，
∴，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．總點(diǎn)數(shù)
10
20
40
100
陰影部分點(diǎn)數(shù)
4
11
23
47
電視臺(tái)
A
B
C
D
直播節(jié)目
乒乓球
籃球
射擊
網(wǎng)球
小夏
小王
A
B
C
D
A
B
C
D
素材一
試營(yíng)業(yè)發(fā)現(xiàn)
每杯奶茶的盈利與賣(mài)出的數(shù)量構(gòu)成一定關(guān)系，當(dāng)賣(mài)出10杯時(shí)，每杯奶茶可盈利3元．以同樣的材料制作，若每多賣(mài)出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元．
探究一
若某天在賣(mài)出10杯奶茶的基礎(chǔ)上，多賣(mài)出杯奶茶，則當(dāng)天每杯奶茶可盈利______元．（用含有的代數(shù)式表示）
探究二
某天該奶茶店總盈利為630元，則當(dāng)日賣(mài)出了多少杯奶茶？

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