TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc160094594" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc160447441" 考點一 函數(shù)、方程及不等式的應(yīng)用
\l "_Tc160447442" \l "_Tc160094596" 【真題研析·規(guī)律探尋】
\l "_Tc160447443" 題型01 坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用
\l "_Tc160447444" 題型02 從函數(shù)圖象上獲取信息
\l "_Tc160447445" 題型03 實際問題與一次方程（組）
\l "_Tc160447446" 類型一 一元一次方程與實際問題
\l "_Tc160447447" 類型二 列二元一次方程組
\l "_Tc160447448" 類型三 二元一次方程組與實際問題
\l "_Tc160447449" 題型04 分式方程的實際應(yīng)用
\l "_Tc160447450" 類型一 列分式方程
\l "_Tc160447451" 類型二 分式方程與實際問題
\l "_Tc160447452" 題型05 不等式（組）的實際應(yīng)用
\l "_Tc160447453" 題型06 一元二次方程的實際應(yīng)用
\l "_Tc160447454" 題型07 一次函數(shù)的實際應(yīng)用
\l "_Tc160447455" 類型一 行程問題
\l "_Tc160447456" 類型二 最大利潤問題
\l "_Tc160447457" 類型三 幾何問題
\l "_Tc160447458" 類型四 分配問題
\l "_Tc160447459" 類型五 其它問題
\l "_Tc160447460" 題型08 反比例函數(shù)與實際問題
\l "_Tc160447461" 題型09 二次函數(shù)與實際問題
\l "_Tc160447462" 類型一 銷售問題
\l "_Tc160447463" 類型二 拱橋問題
\l "_Tc160447464" 類型三 圖形問題
\l "_Tc160447465" 類型四 圖形運動問題
\l "_Tc160447466" 類型五 投球問題
\l "_Tc160447467" \l "_Tc160094605" 【好題必刷·強(qiáng)化落實】
考點一 函數(shù)、方程及不等式的應(yīng)用
題型01 坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用
利用隱含的平面直角坐標(biāo)系確定地理位置的坐標(biāo)的一般步驟：
1)根據(jù)已知地理位置的坐標(biāo)找出原點的位置:
2)根據(jù)原點的位置建立平面直角坐標(biāo)系;
3)由平面直角坐標(biāo)系得到其他地理位置的坐標(biāo).
用坐標(biāo)表示地理位置確定物體位置的方法：
有行列定位法、方向角+距離定位法、經(jīng)緯定位法，最常用的是用平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)來表示位置解答此類問題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，而建立平面直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)原點,確定坐標(biāo)原點的位置一般分兩種情況:(1)題目隱含條件中已經(jīng)給定:(2)任意選擇，自建坐標(biāo)系.
1．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，這是一個利用平面直角坐標(biāo)系畫出的某學(xué)校的示意圖，如果這個坐標(biāo)系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，并且綜合樓和食堂的坐標(biāo)分別是（4，1）和（5，4），則教學(xué)樓的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）
2．（2020·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，從筆直的公路l旁一點P出發(fā)，向西走6km到達(dá)l；從P出發(fā)向北走6km也到達(dá)l．下列說法錯誤的是（ ）
A．從點P向北偏西45°走3km到達(dá)l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏東45°
D．從點P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)l
3．（2019·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是雷達(dá)屏幕在一次探測中發(fā)現(xiàn)的多個目標(biāo)，其中對目標(biāo)A的位置表述正確的是（ ）
A．在南偏東75o方向處B．在5km處
C．在南偏東15o方向5km處D．在南偏東75o方向5km處
題型02 從函數(shù)圖象上獲取信息
從函數(shù)圖象中獲取信息的方法
(1)首先弄清坐標(biāo)軸所表示的意義：x軸和y軸上的點分別表示自變量和因變量，要弄清自變量與因變量及其取值范圍是什么:
(2)弄清圖象上的點所表示的意義：由該點向x軸和y軸分別作垂線，當(dāng)自變量取x軸上的垂足所對應(yīng)的數(shù)時，因變量取y軸上的垂足所對應(yīng)的數(shù).
(3)弄清圖象上的最高點和最低點分別表示的意義：最高點對應(yīng)著函數(shù)的最大值，最低點對應(yīng)著函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出函數(shù)的取值范圍,
(4)弄清圖象上的上升線、下降線、水平線分別表示的意義:上升線表示函數(shù)值隨自變量取值的增加而增大，下降線表示函數(shù)值隨自變量取值的增加而減下，水平線表示函數(shù)值隨自變量取值的增加而不變.
1．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）今年“五一”假期，小星一家駕車前往黃果樹旅游，在行駛過程中，汽車離黃果樹景點的路程y（km）與所用時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．小星家離黃果樹景點的路程為50kmB．小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為75km/h
C．小星從家出發(fā)2小時離景點的路程為125kmD．小星從家到黃果樹景點的時間共用了3h
2．（2022·山東濰坊·中考真題）地球周圍的大氣層阻擋了紫外線和宇宙射線對地球生命的傷害，同時產(chǎn)生一定的大氣壓，海拔不同，大氣壓不同，觀察圖中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)，正確的是（ ）
A．海拔越高，大氣壓越大
B．圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象
C．海拔為4千米時，大氣壓約為70千帕
D．圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個量之間的變化關(guān)系
3．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，小亮家?報亭?羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關(guān)系如圖2所示．下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米
C．報亭到小亮家的距離是400米D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘
4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．
【素材2】設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘．小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．
【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（ ）

A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米
5．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，長方體水池內(nèi)有一無蓋圓柱形鐵桶，現(xiàn)用水管往鐵桶中持續(xù)勻速注水，直到長方體水池有水溢出一會兒為止．設(shè)注水時間為t,y1（細(xì)實線）表示鐵桶中水面高度，y2（粗實線）表示水池中水面高度（鐵桶高度低于水池高度，鐵桶底面積小于水池底面積的一半，注水前鐵桶和水池內(nèi)均無水），則y1,y2隨時間t變化的函數(shù)圖象大致為（ ）

A． B． C． D．
題型03 實際問題與一次方程（組）
列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：
1）審題：弄清題意；
2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系；
3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程；
4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值；
5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案.
與一次方程（組）有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：
類型一 一元一次方程與實際問題
1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺＝10寸）．意思是，現(xiàn)有一根長木，不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺．問長木長多少？設(shè)長木長為x尺，則可列方程為（ ）
A．12x+4.5=x-1B．12x+4.5=x+1
C．12x-4.5=x+1D．12x-4.5=x-1
2．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設(shè)有x戶人家，則下列方程正確的是（ ）
A．x+13=100B．3x+1=100C．x+13x=100D．x+13=100
3．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長度之和ym與甲組挖掘時間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．
(2)求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)當(dāng)甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，直接寫出乙組已停工的天數(shù)．
4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．
(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？
(2)商店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
5．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動，并規(guī)定購物時只能選擇其中一種．
活動一：所購商品按原價打八折；
活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）
(1)購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由．
(2)購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價．
(3)購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內(nèi)，選擇活動二比選擇活動一更合算？設(shè)一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．
6．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）目前，我市對市區(qū)居民用氣戶的燃?xì)馐召M，以戶為基礎(chǔ)、年為計算周期設(shè)定了如下表的三個氣量階梯：
(1)一戶家庭人口為3人，年用氣量為200m3，則該年此戶需繳納燃?xì)赓M用為__________元；
(2)一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為xm3(x>1200)，該年此戶需繳納燃?xì)赓M用為y元，求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃?xì)赓M用均為3855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃?xì)猓浚ńY(jié)果精確到1m3）
類型二 列二元一次方程組
1．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（ ）
A．5x+y=3,x+5y=2B．5x+y=3,x+y=2C．x+5y=3,5x+y=2D．5x+5y=3,x+5y=2
2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（ ）
A．11x=9y（10y+x）-（8x+y）=13B．10y+x=8x+y9x+13=11y
C．9x=11y（8x+y）-（10y+x）=13D．9x=11y（10y+x）-（8x+y）=13
3．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）茶葉作為浙江省農(nóng)業(yè)十大主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)之一，是助力鄉(xiāng)村振興的民生產(chǎn)業(yè)．某村有土地60公頃，計劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設(shè)茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為( )
A．x+y=60y=2x-3B．x+y=54x=2y-3C．x+y=60x=2y-3D．x+y=54y=2x-3
4．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中有一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四、問人數(shù)、物價各幾何？”題目大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問有多少人？該物品價值多少元？設(shè)有x人，該物品價值y元，根據(jù)題意列方程組： ．
類型三 二元一次方程組與實際問題
1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校課后興趣小組在開展手工制作活動中，美術(shù)老師要求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準(zhǔn)備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側(cè)面，另一部分做底面．已知每張卡紙可以裁出2個側(cè)面，或者裁出3個底面，如果1個側(cè)面和2個底面可以做成一個包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個數(shù)為（ ）
A．6B．8C．12D．16
2．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費2800元；第二次購進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費1200元
(1)求購進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價分別是多少元；
(2)若該禮品店準(zhǔn)備再次購進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費用不超過4500元，那么至少購進(jìn)A種禮品盒多少盒？
3．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點和前瞻性問題，著力實現(xiàn)會展聚集帶動產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積4.82平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務(wù)，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù)．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．
(1)乙隊單獨完工需要幾個月才能完成任務(wù)？
(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費用最低？
4．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）為紀(jì)念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的單價；
(2)超市為了促銷，購買粽子達(dá)20個及以上時實行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量（單位：個）和付款金額（單位：元）；
①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價；
②為進(jìn)一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計），每包的銷售價格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價合計．A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過肉粽的一半．端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為80-4m包，4m+8包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元．求m的值．
5．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）某商場銷售A、B兩種商品，每件進(jìn)價均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元．
(1)求A、B兩種商品的銷售單價．
(2)經(jīng)市場調(diào)研，A種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價不變，A種商品售價不低于B種商品售價．設(shè)A種商品降價m元，如果A、B兩種商品銷售量相同，求m取何值時，商場銷售A、B兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？
6．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學(xué)生購買一套服裝．經(jīng)市場調(diào)查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．
(1)男裝、女裝的單價各是多少？
(2)如果參加活動的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的23，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學(xué)校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？
題型04 分式方程的實際應(yīng)用
用分式方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系;
設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+
1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.
2）檢驗所求的解是否符合實際意義.
答：實際問題的答案.
類型一 列分式方程
1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）閱讀，正如一束陽光．孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界．某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發(fā)，參加分享活動．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動地點．若設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分，則下列方程正確的是（ ）
A．x800-1.2x400=4B．1.2x800-x400=4C．4001.2x-800x=4D．8001.2x-400x=4
2．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個工程隊共同修一條道路，其中甲工程隊需要修9千米，乙工程隊需要修12千米．已知乙工程隊每個月比甲工程隊多修1千米，最終用的時間比甲工程隊少半個月．若設(shè)甲工程隊每個月修x千米，則可列出方程為（ ）
A．9x-12x+1=12B．12x+1-9x=12C．9x+1-12x=12D．12x-9x+1=12
3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施．如圖，y1、y2分別表示燃油汽車和燃?xì)馄囁栀M用y（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M用的3倍少0.1元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M用為x元，則可列方程為（ ）

A．25x=103x-0.1B．25x=103x+0.1C．253x+0.1=10xD．253x-0.1=10x
4．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某校八年級學(xué)生去距離學(xué)校120km的游覽區(qū)游覽，一部分學(xué)生乘慢車先行，出發(fā)1h后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果他們同時到達(dá)．已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度，設(shè)慢車的速度是x km/h，所列方程正確的是（ ）
A．120x+1=1201.5xB．120x-1=1201.5xC．1201.5x=120x-1D．1201.5x=120x+1
類型二 分式方程與實際問題
1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行走時間t的函數(shù)圖象，則兩圖象交點P的縱坐標(biāo)是 ．

2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某公司不定期為員工購買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．
(1)該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？
(2)由于公司員工人數(shù)和食品價格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50％，每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面多少份？
3．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來臨之際，某商場預(yù)測A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)該商場節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價是多少元？
(2)如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進(jìn)A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？
4．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長、是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價是《周髀算經(jīng)》單價的34，用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本．
(1)求兩種圖書的單價分別為多少元？
(2)為等備“3．14數(shù)學(xué)節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售．求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？
5．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節(jié)前購進(jìn)甲、乙兩種粽子進(jìn)行銷售，經(jīng)了解．每個乙種粽子的進(jìn)價比每個甲種粽子的進(jìn)價多2元，用1000元購進(jìn)甲種粽子的個數(shù)與用1200元購進(jìn)乙種粽子的個數(shù)相同．
(1)甲、乙兩種粽子每個的進(jìn)價分別是多少元？
(2)該超市計劃購進(jìn)這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數(shù)不低于乙種粽子個數(shù)的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設(shè)購進(jìn)甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元．
①求w與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍；
②超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
題型05 不等式（組）的實際應(yīng)用
一元一次不等式（組）的應(yīng)用題的關(guān)鍵語句：
1）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系，因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．
2）對一些實際問題的提示還要注意結(jié)合實際.有些不等關(guān)系隱含于生活常識中,如小王用50元去買單價為6元的筆記本.設(shè)買x本，求x的取值范圍時,其問題中就隱含著所花錢數(shù)不能超過50元.由此可得出不等式 6x≤50.
1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機(jī)器人模型．A型機(jī)器人模型單價比B型機(jī)器人模型單價多200元，用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同．
(1)求A型，B型機(jī)器人模型的單價分別是多少元?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺，購買B型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機(jī)器人模型各多少臺時花費最少?最少花費是多少元?
2．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）今年植樹節(jié)，某班同學(xué)共同種植一批樹苗，如果每人種3棵，則剩余20棵；如果每人種4棵，則還缺25棵．
(1)求該班的學(xué)生人數(shù)；
(2)這批樹苗只有甲、乙兩種，其中甲樹苗每棵30元，乙樹苗每棵40元．購買這批樹苗的總費用沒有超過5400元，請問至少購買了甲樹苗多少棵？
3．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿．
(1)求原計劃租用A種客車多少輛？這次研學(xué)去了多少人？
(2)若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？
(3)在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應(yīng)該怎樣租車才最合算？
4．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）某水果種植基地為響應(yīng)政府號召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場價值，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價和售價如下表所示：
該超市購進(jìn)甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進(jìn)甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種水果共100千克進(jìn)行銷售，其中甲種水果的數(shù)量不少于30千克，且不大于80千克．實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售．求超市當(dāng)天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進(jìn)甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤y（元）取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價3m元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率（利潤率=利潤本金）不低于16%，求m的最大值．
題型06 一元二次方程的實際應(yīng)用
用一元二次方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系;
設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
與一元二次方程有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：
1）變化率問題
解決這類問題的關(guān)鍵是理解“增長了”與“增長到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎(chǔ)上發(fā)生的.解決此類問題時，務(wù)必要記住公式a(1±x)n=b，其中a為增長(或降低)的基礎(chǔ)數(shù)，x為增長(或降低)的變化率，n為增長(或降低)的次數(shù)，b為增長(或降低)后的數(shù)量.即：
2）利潤和利潤率問題
在日常生活中，經(jīng)常遇到有關(guān)商品利潤的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是利用其中已知量與未量之間的等量關(guān)系建立方程模型，并通過解方程來解決問題.要正確解答利潤或利潤率問題，首先要理解進(jìn)價、售價、利潤及利潤率之間的關(guān)系：利潤=售價一進(jìn)價；利潤率=利潤×100%.
3)面積問題
幾何圖形的面積問題是中考的熱點問題，通常涉及三角形、長方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面積公式，從中找到等量關(guān)系解決問題.有關(guān)面積的應(yīng)用題，均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.
常見類型1：如圖1，矩形ABCD長為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為x，則陰影部分的面積為(a?2x)(b?2x)．
常見類型2：如圖2，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則空白部分的面積為(a?x)(b?x)．
常見類型3：如圖3，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則4塊空白部分的面積之和能轉(zhuǎn)化為(a?x)(b?x)．
4)分裂（傳播）問題
解決此類問題的關(guān)鍵是原細(xì)胞或傳染源在不在總數(shù)中.其一般思路是先分析問題情境，明確是分裂問題還是傳播問題，然后找出問題中的數(shù)量關(guān)系，再建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.
①傳播問題：傳染源在傳播過程中，原傳染源的數(shù)量計入傳染結(jié)果，若傳染源數(shù)量為1，每一個傳染源傳染x個個體，則第一輪傳染后，感染個體的總數(shù)為1+x，第二輪傳染后感染個體的總數(shù)為 (1+x)2.
②分裂問題：細(xì)胞在分裂過程中，原細(xì)胞數(shù)目不計入分裂總數(shù)中，若原細(xì)胞數(shù)目為1，每一個細(xì)胞分裂為x
個細(xì)胞，則第一次分裂后的細(xì)胞總數(shù)為x，第二次分裂后的細(xì)胞總數(shù)為x2.
5）碰面問題（循環(huán)）問題
① 重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m．
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場
∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分．
∴m = 12n（n－1）
② 不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m．
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場．
∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊．
∴m = n（n－1）
1．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（ ）
A．x+1+x=36B．21+x=36
C．1+x+x1+x=36D．1+x+x2=36
2．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（ ）
A．201+2x=31.2B．201+2x-20=31.2
C．201+x2=31.2D．201+x2-20=31.2
3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊矩形菜地ABCD,AB=am,AD=bm，面積為sm2．現(xiàn)將邊AB增加1m．

（1）如圖1，若a=5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是 ．
（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個a的值，使得到的矩形面積為2sm2，則s的值是 ．
4．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是 ．
5．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？
(2)羊圈的面積能達(dá)到650 m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．
題型07 一次函數(shù)的實際應(yīng)用
一次函數(shù)的實際應(yīng)用：
1）一次函數(shù)應(yīng)用問題的求解思路：
①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；
②利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計問題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用.
2）建立函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：
①審題，設(shè)定實際問題中的變量，明確變量x和y；
②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；
③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；
④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
⑤寫出答案.
3）利用一次函數(shù)的圖象解決實際問題的一般步驟：
①觀察圖象，獲取有效信息；
②對獲取的信息進(jìn)行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；
③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具(如函數(shù)、方程、不等式等)，通過建模解決問題.
【提示】時刻注意根據(jù)實際情況確定變量的取值范圍.
5）求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計算出來，再進(jìn)行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計算出每個分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
【提示】一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達(dá)式→確定函數(shù)增減性→根據(jù)自變量的取值范圍確定最值．
6）當(dāng)需要利用函數(shù)和函數(shù)圖象比較數(shù)的大小，主要有三種方法：
①直接把x值代入函數(shù)關(guān)系式，求出相應(yīng)的y值，比較數(shù)的大?。?br>②在函數(shù)圖象上描出各點，再根據(jù)各點的位置情況，比較數(shù)的大?。?br>③利用函數(shù)的增減性，比較數(shù)的大小.
類型一 行程問題
1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（ ）

A．8:28B．8:30C．8:32D．8:35
2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個相約登山，他們同時從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達(dá)山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．

(1)當(dāng)15≤x≤40時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度．
3．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知甲，乙兩地相距480km，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距120km，貨車?yán)^續(xù)出發(fā)23h后與出租車相遇．出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離ykm與貨車行駛時間xh之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)圖中a的值是__________；
(2)求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離ykm與行駛時間xh之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長時間與出租車相距12km．
4．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）兄妹倆放學(xué)后沿圖1中的馬路從學(xué)校出發(fā)，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發(fā)，途中速度保持不變；妺妺騎車，到書吧前的速度為200米/分．圖2中的圖象分別表示兩人離學(xué)校的路程s（米）與哥哥離開學(xué)校的時間t（分）的函數(shù)關(guān)系．

(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中a的值；
②妺妺在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時兄妺倆離家還有多遠(yuǎn)；若不能，說明理由．
類型二 最大利潤問題
1．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售.經(jīng)了解，甲水果的進(jìn)價比乙水果的進(jìn)價低20%，水果店用1000元購進(jìn)甲種水果比用1200元購進(jìn)乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價分別是多少？
(2)若水果店購進(jìn)這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
2．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）為推進(jìn)“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計劃購進(jìn)一批圖書．已知購買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需282元．
(1)科技類圖書與文學(xué)類圖書的單價分別為多少元？
(2)為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動（文學(xué)類圖書售價不變）：購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單價降低1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售．社區(qū)計劃購進(jìn)兩種圖書共計100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準(zhǔn)備多少購書款？
3．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhn Rhn）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售，第一次小雅用1400元購進(jìn)了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進(jìn)1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．
(1)求兩種玩偶的進(jìn)貨價分別是多少？
(2)第二次小雅進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍．小雅計劃購進(jìn)兩種玩偶共40個，應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
類型三 幾何問題
1．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y1＝x+3分別與x軸、y軸交于點A和點C，直線y2＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于點B和點C，點P（m，2）是△ABC內(nèi)部（包括邊上）的一點，則m的最大值與最小值之差為（ ）
A．1B．2C．4D．6
2．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣12x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點Q'，連接OQ'，則OQ'的最小值為( )

A．455B．5C．523D．655
3．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C-2,0是x軸上一點，點E，F(xiàn)分別為直線y=x+4和y軸上的兩個動點，當(dāng)△CEF周長最小時，點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（ ）
A．E-52,32，F(xiàn)0,2B．E-2,2，F(xiàn)0,2
C．E-52,32，F(xiàn)0,23D．E-2,2，F(xiàn)0,23
4．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，動點E，F(xiàn)分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，點E沿折線A→B→C方向運動，點F沿折線A→C→B方向運動，當(dāng)兩者相遇時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，點E，F(xiàn)的距離為y．

(1)請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍；
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值．
類型四 分配問題
1．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元．
(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？
(2)若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由．
2．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）為全面貫徹黨的教育方針，嚴(yán)格落實教育部對中小學(xué)生“五項管理”的相關(guān)要求和《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》精神，保障學(xué)生每天在校1小時體育活動時間，某班計劃采購A、B兩種類型的羽毛球拍，已知購買3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；購買5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1)求A、B兩種類型羽毛球拍的單價．
(2)該班準(zhǔn)備采購A、B兩種類型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的數(shù)量不少于B型羽毛球拍數(shù)量的2倍，請給出最省錢的購買方案，求出最少費用，并說明理由．
3．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．
(1)設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫時間為tmin，根據(jù)上表，分別寫出在不同時間范圍內(nèi)，方式A，方式B的計費金額關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(2)若你預(yù)計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；
(3)請你根據(jù)月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．
類型五 其它問題
1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）某動力科學(xué)研究院實驗基地內(nèi)裝有一段筆直的軌道AB，長度為1m的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿AB方向從左向右勻速滑動，滑動速度為9m/s，滑動開始前滑塊左端與點A重合，當(dāng)滑塊右端到達(dá)點B時，滑塊停頓2s，然后再以小于9m/s的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點A重合，滑動停止．設(shè)時間為ts時，滑塊左端離點A的距離為l1m，右端離點B的距離為l2m，記d=l1-l2,d與t具有函數(shù)關(guān)系．已知滑塊在從左向右滑動過程中，當(dāng)t=4.5s和5.5s時，與之對應(yīng)的d的兩個值互為相反數(shù)；滑塊從點A出發(fā)到最后返回點A，整個過程總用時27s（含停頓時間）．請你根據(jù)所給條件解決下列問題：

(1)滑塊從點A到點B的滑動過程中，d的值________________；（填“由負(fù)到正”或“由正到負(fù)”）
(2)滑塊從點B到點A的滑動過程中，求d與t的函數(shù)表達(dá)式；
(3)在整個往返過程中，若d=18，求t的值．
2．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【綜合與實踐】
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”．某興趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡易桿秤.小組先設(shè)計方案，然后動手制作，再結(jié)合實際進(jìn)行調(diào)試，請完成下列方案設(shè)計中的任務(wù)．
【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：m0+m?l=M?(a+y).其中秤盤質(zhì)量m0克，重物質(zhì)量m克，秤砣質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．

【方案設(shè)計】
目標(biāo)：設(shè)計簡易桿秤．設(shè)定m0=10，M=50，最大可稱重物質(zhì)量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務(wù)一：確定l和a的值．
(1)當(dāng)秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程；
(2)當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程；
(3)根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任務(wù)二：確定刻線的位置．
(4)根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于m的函數(shù)解析式；
(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應(yīng)刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
3．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）某工廠生產(chǎn)種產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每月的銷售量y（件）與售價x（萬元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不寫自變量的取值范圍）．
(2)該產(chǎn)品今年三月份的售價為35萬元/件，利潤為450萬元．
①求：三月份每件產(chǎn)品的成本是多少萬元？
②四月份工廠為了降低成本，提高產(chǎn)品質(zhì)量，投資了450萬元改進(jìn)設(shè)備和革新技術(shù)，使每件產(chǎn)品的成本比三月份下降了14萬元．若四月份每件產(chǎn)品的售價至少為25萬元，且不高于30萬元，求這個月獲得的利潤ω（萬元）關(guān)于售價x（萬元/件）的函數(shù)關(guān)系式，并求最少利潤是多少萬元？
4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）為研究某種化學(xué)試劑的揮發(fā)情況，某研究團(tuán)隊在兩種不同的場景下做對比實驗，收集了該試劑揮發(fā)過程中剩余質(zhì)量y（克）隨時間x（分鐘）變化的數(shù)據(jù)（0≤x≤20），并分別繪制在直角坐標(biāo)系中，如下圖所示．

(1)從y=ax+21(a≠0)，y=kx(k≠0)，y=-0.04x2+bx+c中，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分別模擬兩種場景下y隨x變化的函數(shù)關(guān)系，并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)查閱文獻(xiàn)可知，該化學(xué)試劑發(fā)揮作用的最低質(zhì)量為3克．在上述實驗中，該化學(xué)試劑在哪種場景下發(fā)揮作用的時間更長？
題型08 反比例函數(shù)與實際問題
用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟：
1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；
2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；
3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；
4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；
5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．
利用反比例函數(shù)解決實際問題，要做到：
1）能把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型；
2）注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義；
3）問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明．
【易錯點】
1.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，誤認(rèn)為所給出的點在同一曲線上；
2.利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．
1．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）某市舉行中學(xué)生黨史知識競賽，如圖用四個點分別描述甲、乙、丙、丁四所學(xué)校競賽成績的優(yōu)秀率（該校優(yōu)秀人數(shù)與該校參加競賽人數(shù)的比值）y與該校參加競賽人數(shù)x的情況，其中描述乙、丁兩所學(xué)校情況的點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則這四所學(xué)校在這次黨史知識競賽中成績優(yōu)秀人數(shù)最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)P（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，P關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了 mL．

3．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學(xué)知識，如：每個“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應(yīng)著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應(yīng)行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標(biāo)系中描點如圖1．
探究1 檢測距離為5米時，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．
素材2 圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角θ，視力值n與分辨視角θ（分）的對應(yīng)關(guān)系近似滿足n=1θ0.5≤θ≤10．
探究2 當(dāng)n≥1.0時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應(yīng)的分辨視角θ的范圍．
素材3 如圖3，當(dāng)θ確定時，在A處用邊長為b1的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為b2的Ⅱ號“E”測得的視力相同．
探究3 若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．
4．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)（含15天）排污達(dá)標(biāo)．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關(guān)系：
(1)在整改過程中，當(dāng)0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在整改過程中，當(dāng)x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？
題型09 二次函數(shù)與實際問題
用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：
1.審：仔細(xì)審題，理清題意；
2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；
3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；
4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題；
5.檢：檢驗結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.
【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點坐標(biāo)，如果頂點坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．
利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題.
利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實際問題.
利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題.
【注意】自變量的取決范圍.
利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點的坐標(biāo)或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進(jìn)行計算．
利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點的坐標(biāo)；然后用該點的坐標(biāo)表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標(biāo)，然后判別該點坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
類型一 銷售問題
1．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價是多少元？
(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當(dāng)玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(kg)與銷售價格x（元/kg）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：
(2)當(dāng)銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤=（銷售價格一采購價格）×銷售量】
3．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）隨著科技的發(fā)展，掃地機(jī)器人已廣泛應(yīng)用于生活中，某公司推出一款新型掃地機(jī)器人，經(jīng)統(tǒng)計該產(chǎn)品2022年每個月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設(shè)該產(chǎn)品2022年第x（x為整數(shù)）個月每臺的銷售價格為y（單位：元），y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖中ABC為一折線）．

(1)當(dāng)1≤x≤10時，求每臺的銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)設(shè)該產(chǎn)品2022年第x個月的銷售數(shù)量為m（單位：萬臺），m與x的關(guān)系可以用m=110x+1來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入=每臺的銷售價格×銷售數(shù)量）
類型二 拱橋問題
1．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與水平線OA垂直，OC=9，點A在拋物線上，且點A到對稱軸的距離OA=3，點B在拋物線上，點B到對稱軸的距離是1．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點P，加裝拉桿PA,PB，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點P的位置并求出坐標(biāo)；
(3)為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計拋物線，其表達(dá)式為y=-x2+2bx+b-1(b>0)，當(dāng)4≤x≤6時，函數(shù)y的值總大于等于9．求b的取值范圍．
2．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為48m2，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求給出了兩個設(shè)計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m．其中，點N在x軸上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m．其中，點N'在x軸上，P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計）．方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面積記為S2，點A'，D'在拋物線上，邊B'C'在ON'上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A'B'=3m時，S2=122m2，請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1，S2的大?。?br>3．（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m．
（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處．有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）；
（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y=ax2+bx+ca≠0，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移mm>0個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．
類型三 圖形問題
1．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．
(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；
(2)當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？
2．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC=8dm．現(xiàn)計劃將此余料進(jìn)行切割：
(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；
(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；
(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由．
3．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．
(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段P1P2，P2P3，P3P4，MN長度之和．請解決以下問題：
（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點P1的橫坐標(biāo)為m0

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