目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc159853884" 題型01 作線段
\l "_Tc159853885" 題型02 作角
\l "_Tc159853886" 題型03 作角平分線
\l "_Tc159853887" 題型04 作垂線
\l "_Tc159853888" 題型05 畫圓
\l "_Tc159853889" 題型06 格點作圖
\l "_Tc159853890" 題型07 與尺規(guī)作圖有關(guān)的計算題
題型01 作線段
1．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點O是圓心，直徑AB的長是12cm，C是半圓弧上的一點（點C與點A、B不重合），連接AC、BC．
(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；
(2)分別取半圓弧上的點E、F和直徑AB上的點G、H．已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為6cm的菱形．請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C，一定存在線段AC上的點M、線段BC上的點N和直徑AB上的點P、Q，使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．
【答案】(1)直角
(2)見詳解
(3)小明的猜想正確，理由見詳解
【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；
（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可；
（3）當點C靠近點A時，設(shè)CM=13CA，CN=13CB，可證MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，可得MN=MP=NQ=4cm，進而可證四邊形MNQP是菱形；當點C靠近點B時，同理可證．
【詳解】（1）解：如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角，
即△ABC是直角三角形，
故答案為：直角；
（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可，
作圖如下：
由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB=6，
即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；
（3）解：小明的猜想正確，理由如下：
如圖，當點C靠近點A時，設(shè)CM=13CA，CN=13CB，
∴ CMCA=CNCB=13,
∴ MN∥AB,
∴ MNAB=CMCA=13,
∴ MN=13AB=13×12=4cm．
分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，作MD⊥AB于點D，NE⊥AB于點E，
∴ MN=MP=NQ=4cm．
∵ MN∥AB,MD⊥AB，NE⊥AB，
∴ MD=NE，
在RtΔMDP和RtΔNEQ中，
MP=NQMD=NE，
∴ RtΔMDP ?RtΔNEQHL，
∴ ∠MPD=∠NQE，
∴ MP//NQ，
又∵ MP=NQ，
∴ 四邊形MNQP是平行四邊形，
又∵ MN=MP，
∴ 四邊形MNQP是菱形；
同理，如圖，當點C靠近點B時，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，
故小明的猜想正確．
【點睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用上述知識解決問題．
2．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【算一算】
如圖①，點A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點，點A表示﹣3，點B表示1，則點C表示的數(shù)為 ，AC長等于 ；
【找一找】
如圖②，點M、N、P、Q中的一點是數(shù)軸的原點，點A、B分別表示實數(shù)22﹣1、22+1，Q是AB的中點，則點 是這個數(shù)軸的原點；
【畫一畫】
如圖③，點A、B分別表示實數(shù)c﹣n、c+n，在這個數(shù)軸上作出表示實數(shù)n的點E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
【用一用】
學校設(shè)置了若干個測溫通道，學生進校都應測量體溫，已知每個測溫通道每分鐘可檢測a個學生．凌老師提出了這樣的問題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個學生，每分鐘又有b個學生到達校門口．如果開放3個通道，那么用4分鐘可使校門口的學生全部進校；如果開放4個通道，那么用2分鐘可使校門口的學生全部進校．在這些條件下，a、m、b會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點A表示；將2分鐘內(nèi)由4個開放通道檢測后進校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點B表示．
①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點F、G，并寫出+(m+2b)的實際意義；
②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系： ．

【答案】（1）5，8；（2）N；（3）圖見解析；（4）①+(m+2b)的實際意義：2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)，圖見解析；②m＝4a．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點A對應﹣3，點B對應1，求得AB的長，進而根據(jù)AB＝BC可求得AC的長以及點C表示的數(shù)；
（2）可設(shè)原點為O，根據(jù)條件可求得AB中點表示的數(shù)以及線段AB的長度，根據(jù)AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，結(jié)合OQ的長度即可確定N為數(shù)軸的原點；
（3）設(shè)AB的中點為M，先求得AB的長度，得到AM＝BM＝n，根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；
（4）①根據(jù)每分鐘進校人數(shù)為b，每個通道每分鐘進入人數(shù)為a，列方程組m+4b=12am+2b=8a，根據(jù)m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可畫出F，G點，其中m+2b表示兩分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)；
②解①中的方程組，即可得到m＝4a．
【詳解】解：（1）【算一算】：記原點為O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以點C表示的數(shù)為5，AC長等于8．
故答案為：5，8；
（2）【找一找】：記原點為O，
∵AB＝22+1﹣（22﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝22+1﹣1＝22，
∴N為原點．
故答案為：N．
（3）【畫一畫】：記原點為O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中點M，
得AM＝BM＝n，
以點O為圓心，
AM＝n長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點E，
則點E即為所求；

（4）【用一用】：在數(shù)軸上畫出點F，G；2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)為：m＝4a．
∵4分鐘內(nèi)開放3個通道可使學生全部進校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分鐘內(nèi)開放4個通道可使學生全部進校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O(shè)為圓心，OB長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點F，則點F即為所求．
作OB的中點E，則OE＝BE＝4a，在數(shù)軸負半軸上用圓規(guī)截取OG＝3OE＝12a，
則點G即為所求．

+（m+2b）的實際意義：2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案為：m＝4a．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，實數(shù)與數(shù)軸，作圖．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．
3．（2021·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，在7×7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點均在格點上．僅用無刻度的直尺，試按要求作圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示．
(1)如圖1，在BC作一點D，使得BD=13BC；
(2)如圖2，E為△ABC內(nèi)一格點，M，N為AB，BC邊上的點，使四邊形EMBN為平行四邊形；
(3)如圖3，BC交網(wǎng)格線于點F，過點F作AB的平行線交AC于P．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】(1) 在點B右側(cè)第一條豎格線畫線，即可得到；
(2)過點E，在格點上畫出與線段AB、BC相等的線，即可得到；
(3)點F是BC的三等分點，在AC上畫出AC的三等分點，即可得到．
【詳解】（1）解：如圖：在點B右側(cè)第一條豎格線畫線，與BC的交點D即為所求的點
（2）解：四邊形EMBN即為所求的平行四邊形，
（3）解：過點F作AB的平行線交AC于點P
【點睛】本題考查了利用無刻度的直尺作圖，找到關(guān)鍵點是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2023·山西太原·山西大附中?？寄M預測）已知線段a、b、c．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB，使它等于a+c-b．（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕跡）
(2)若a=6，b=4，c=7，點C是線段AB的中點，求AC的長．
【答案】(1)作圖見解析
(2)4.5
【分析】（1）作射線AM，在射線AM上順次截取AE=a,EF=c，在線段FA上截取FB=b，則線段AB即為所求；
（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得AB的長，再利用線段中點的性質(zhì)即可解得AC的長．
【詳解】（1）解：如圖，線段AB即為所求：

（2）如圖，

∵ a=6，b=4，c=7，
∴AB=a+c-b=6+7-4=9
∵點C是線段AB的中點，
∴AC=12AB=12×9=4.5
即AC的長4.5．
【點睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
題型02 作角
5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）操作探究題
(1)已知AC是半圓O的直徑，∠AOB=180n°（n是正整數(shù)，且n不是3的倍數(shù)）是半圓O的一個圓心角．
操作：如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB=180n°（n取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
交流：當n=11時，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180n°所對的弧三等分嗎？
探究：你認為當n滿足什么條件時，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180n°所對的弧三等分？說說你的理由．
(2)如圖2，⊙的圓周角∠PMQ=2707°．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分弧CD（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】(1)作圖見解析；交流：60°-9×18028°=6028°，或19×18028°-2×60°=6028°；
探究：正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），理由見解析
(2)作圖見解析
【分析】（1）由操作可知，如果(60n)°可以用60°與(180n)°的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分
（2）將圓周14等分就是把∠PMQ=2707°所對的圓周角∠QOP所對弧三等分即可,給出一種算法：180°-540°7×2=180°7
【詳解】（1）
操作：
交流：60°-9×18028°=6028°，或19×18028°-2×60°=6028°；
探究：設(shè)60°-k180n°=60n°，解得n=3k+1（k為非負整數(shù)）．
或設(shè)k180n°-60°=60n°，解得n=3k-1（k為正整數(shù)）．
所以對于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180n°所對的弧三等分；
（2）
【點睛】本題考查了用圓規(guī)作圖的基本技能，需要準確理解題意，對于復雜圖形的作圖要學會將其轉(zhuǎn)化成基本圖形去作，本題第二問利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為第一問的思路從而得以解決，這也是本題求解的關(guān)鍵．
6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，AD是⊙O的切線．
(1)尺規(guī)作圖：過點B作AC的平行線交AD于點E，交⊙O于點F，連接AF（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)證明：AF=BC；
(3)若⊙O的半徑長為52，BC=4，求EF和BF的長．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)EF=855，BF=255，
【分析】（1）根據(jù)題意進行尺規(guī)作圖即可；
（2）由BE∥AC可得∠ABF=∠BAC，從而得出AF=BC，最后證得結(jié)果；
（3）連接AO并延長交BC于點M，連接OC，先通過勾股定理求得CM及AC的長，再證四邊形AEBC是平行四邊形，再證△AEF∽△BEA，然后列比例式即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）作圖如下圖所示：
（2）∵BE∥AC，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BC，
∴AF=BC；
（3）如圖，連接AO并延長交BC于點M，連接OC，
∵AB=AC，AM過圓心O，
∴AM⊥BC，
∴BM=MC=12BC=2，
∵在Rt△OMC中，OC=52,MC=2
∴OM=OC2-MC2=522-22=32，
∴AM=OA+OM=52+32=4，
∴AB=AC=AN2+MC2=42+22=25，
∵AD是⊙O的切線，
∴AM⊥AD，
∴AD∥BC，
∵BE∥AC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∴BE=AC=25，AE=BC=4，∠AEB=∠ACB，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵四邊形AFBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠AFE=∠AEB，
∴∠AFE=∠BAE，
∴△AEF∽△BEA，
∴EFAE=AEEB，
∴EF4=425，
∴EF=855，
∴BF=25-855=255，
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△AEF∽△BEA是解本題的關(guān)鍵．
7．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學?？家荒＃┤鐖D1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保持不變，點D在斜邊AB上，DE⊥AC，垂足為點E．如圖2，把△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°

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