燕山地區(qū) 2024—2025 學年第一學期九年級期末質量檢測
2025.1
一、選擇題（本題共 16 分，每小題 2 分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
選項 C B A C D C D C 二、填空題（本題共 16 分，每小題 2 分）
9．(1，5)；上 10．20° 11．m< 43 12．AT⊥BA.（答案不唯一）
13．a(chǎn)=5， b=3 14． 2 15．3 16． 12 ,4
三、解答題(本題共 68 分，第 17-19 題，每小題 5 分，第 20 題 6 分，第 21-24 題，每小題 5 分，第 25 題 6 分，第 26-28 題，每小題 7 分)
17． 2
解：由 2 得； 2 ································1 分
a=1 , b= -4 , c = -1.

b2 4ac ································2 分 16 4 1(1)
20x
2
2
2
2
2
4x 4 5
4x 4 5 x 4x 1 0
································3 分
x 2 5 ，x 2 5 ································5 分
x(x 2) x 2 0
1 2x，2 1
由垂徑定理得； ，································3分
b b 4ac 4 20
2a 2
1 2
18．解： 由 得；
(x 2)(x 1) 0 ································3 分
································5 分
（其他方法酌情給分） 19．解：∵CD=8 ，OC=5
∴OD=3，連接OA，∴OA=5. ································1分
OA OD AD 5 3 4
∴AB=2OA=8. ································4 分
∴此時水面的寬AB是8米． ································5分
20．（1）
················································2分
（2）解：∵點(1,3)是圖中這段拋物線的頂點，因此可設這段拋物線對應的函數(shù)解析式是
y =a(x-1)2+3 (0≤x≤3). ·····························4分
由這段拋物線經(jīng)過點(3，0)，可得 0=a(3-1)2+3,
解得a= 34 ,
因此y = 34 (x-1)2+3 (0≤x≤3). ·····························5分
9
4
也就是說，水管應2.25m長. ·····························6分
21． 解：畫樹狀圖為：
a b 3 0
由題意得， ·····························································1 分
又當x=0時，y = =2.25，
解得， b 2 c 3
………………………3 分
由樹狀圖可知，所有可能出現(xiàn)的結果共有 9 種，其中兩次抽取的卡片上都是“立春”的結果有 4 種，
所以 P（兩張都是“立春”）＝ 49 ． ………………………5 分
22．（1）∵設二次函數(shù)的解析式為 y ax2 bx c( a 0 )
a b 3 4
a 1
∴ y x2 2x 3 ········································································· 2 分 （2）畫圖略························································································· 4 分
4 y 5 ················································································ 5 分
23．解：（1）補全圖形如下圖； …………… 2 分
（2）90，直徑所對的圓周角是直角；
經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． …………… 5 分
（1）補全圖形如下圖
……………3 分
（2）① ；
2
點 B' 的坐標為 （-1,3） ． …………… 5 分 25．證明：(1)∵點 A、C、D 為O 的三等分點，
∴ DA CD CA , ∴AD=DC=AC. …………… 1 分
5
1 1
2
2 2
∵AB 是 O 的直徑，
∴AB⊥CD. …………… 2 分
∵過點 B 作 O 的切線 BM，
∴BE⊥AB.
∴CD / /BM . …………………………3 分
連接 DB.
∵AD=DC=AC，AB⊥CD，得∠EAB=30°，∴∠AEB=60°．

∴得出∠DBE=30°，在 Rt△DBE 中，由 DE=m，解得 BE=2m，DB= m. …………………4 分

又∵在 Rt△ADB 中，∠DAB=30°，DB= m


∴AB=2 m，OB= m. …………………5 分
∴在 Rt△OBE 中， sOBE BE OB 2 3 3m . ……………………………6 分
26．解：（1） x 1； （0，4）······································································· 2 分
（2）∵拋物線的頂點恰好在 y = x 上，對稱軸為 x 1；
∴拋物線的頂點坐標為（1,1）．······················································ 3 分 當拋物線過點（1,1）時，a=3
∴拋物線的解析式為 y 3x2 6x 4 ················································4 分 （2）A（m-1, y1）關于對稱軸 x=1 的對稱點為 A(3 m，y1)
B（m,y2）關于對稱軸 x=1 的對稱點為 B(2 m，y2 )
C（m+2，y3）關于對稱軸 x=1 的對稱點為C(m，y3 ) …………………5 分
因為 y＝ax2﹣2ax+4（a>0）的對稱軸 x=1，所以 x＜1 時，y 隨 x 的增大而減小，x＞1 時，y 隨 x 的增大而增大．又 m-1＜ m ＜m+2
m≤1 時，A（m-1，y1），B（m，y2）在對稱軸左側，C（m+2，y3）在對稱軸右側，點 C 的對稱
點為C(m，y3 ) ．
因為 y3＞y1＞y2，所以-m＜ m-1 ＜m，得出 12 m 1． …………………6 分
m＞1 時，A（m-1，y1）在對稱軸左側，B（m，y2 ）， C（m+2，y3）在對稱軸右側，點 A 的對
稱點為 A(3 m，y1) ．
AB AC
BAD CAE
AD AE
1 3 3
2 2 2
綜上，m 的取值范圍是 m
因為 y3＞y1＞y2，所以 m＜3-m ＜m+2，得出 m ． 即1 m …………7 分
1 3
2 2
證明（1）CE//AB. …………… 1 分
連接 AE.
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE 是等邊三角形.
∴AE=AD，∠DAE=60°.
∵△ABC 是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC， …………… 2 分
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE.
∴∠ACE=∠ABD=60°.
∵∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠ACE.
∴CE//AB. …………………………3 分

DG (AG DC) …………………………4 分
點Ｄ 是線段ＢＣ 延長線上一點(不與Ｂ、Ｃ 重合)， 過 Ｄ 過 ＤＧ⊥ＡＢ，垂足為 Ｇ，

①當點Ｇ在線段 AB 上時，DG= 3 （AG+DC） …………………………5 分
如圖，在 BA 延長線上截取 AH=CD，連接 DH.
∵△ABC 是等邊三角形，
∴AB=BC，
∵AH=CD，
∴BH=BD.
∵∠ABC=60°,
∴△BHD 是等邊三角形.
∴DH=BD，∠DHG=60°.
∵DG⊥AB，垂足為 G，
∴∠DGH=90°. ∴∠HDG=30°.
∴HD=2GH

由勾股定理的，DG= 3 GH
∵GH=AG+AH，AH=DC，
3 5

∴GH=AG+DC. DG= 3 （AG+DC）

∴DG= 3 （AG+DC） …………………………6 分

點Ｇ在線段 AB 延長線上時，DG= 3 （DC-AG） ，

同上，截取 AH=CD，連接 DH，同理可證，DG= 3 （DC-AG） …………………………7 分
28. （1）H； ………………………………………….……1 分
（2）①若點 P 在第一象限，如圖 OP 與⊙M 的位置關系是：相切. ………………………..……2 分
∵AB 為⊙M 的直徑，
∴ M 為 AB 的中點.
∵A（1，0）, B（4，0），
AM 2 . ∴ OM 2 .
連接 PM.∵P 為⊙M 的“圖象關聯(lián)點”，
∴點 P 為拋物線的頂點.
∴ 點 P 在拋物線的對稱軸上.
∴PM 是 AB 的垂直平分線.
∴PM⊥AB.
過點 M 作 MN⊥OP 于 N.
SOMP 2OM PM 2OP MN. ……….…………………………3 分
∵ 3OP 5PM
∴ MN OP 2 AM .
∴OP 與⊙M 相切.
同理，若點 P 在第二象限，OP 與⊙M 也是相切 ……….…………………………4 分
②拋物線的頂點坐標是（ ， ）或（ ， ） ….…………………………5 分
（3） a ……………………………………………………7 分
1 1
OM PM 3
5 15 5 15
2 8 2 8
8 2
9 3

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