一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）
1. 一群選手賽馬，誰先到達終點？誰用的時間最少？要回答這個問題，必須了解路程、速度和時間三者之間的關(guān)系，當路程一定時，所花的時間是速度的哪種函數(shù)？（ ）
A. 正比例函數(shù)B. 反比例函數(shù)
C. 一次函數(shù)D. 二次函數(shù)
【答案】B
【解析】根據(jù)題意得，當路程一定時，路程速度時間”
所以速度與時間之間的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)．
故選：B．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.方程整理后為，該方程是一元二次方程，故此選項符合題意；
B.方程整理后為，該方程是一元一次方程，故此選項不符合題意；
C.方程整理后為，該方程是一元一次方程，故此選項不符合題意；
D.含有分式，不一元二次方程，故此選項不符合題意；
故選：A．
3. 已知點在函數(shù)的圖象上，試比較函數(shù)值的大?。? ）
A. B.
C. D. 無法比較
【答案】A
【解析】∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，，
∴．
故選：A．
4. 一元二次方程的根的情況為（ ）
A. 有兩個相等的實數(shù)根B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根D. 沒有實數(shù)根
【答案】D
【解析】一元二次方程 ，
∴判別式 ，
方程沒有實數(shù)根．
故選：D．
5. 已知a，b，c，d是比例線段．若，求c的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為a，b，c，d是成比例線段，，
可得：，
故選：D．
6. 已知電功率與電壓、電阻的關(guān)系式是：．當兩個燈泡并聯(lián)接在電壓為的電路中時，如果它們的電功率的比，那么它們的電阻的比（ ）
A. 1B. 2C. 4D.
【答案】D
【解析】由題意得，經(jīng)過兩個電阻的電壓相同，
故，即．故選：D．
7. 如圖，添加以下哪個條件，仍不能直接證明與相似 （ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意可得，，
A、當時，，故本選項不符合題意；
B、當時，，故本選項不符合題意；
C、當時，，故本選項不符合題意；
D、當時，不能推斷與相似，故選項符合題意；
故選：D．
8. 從魚塘中捕得120條魚，把他們作上記號后，再放回池中．經(jīng)過一段時間后，再從池中捕得100條魚，發(fā)現(xiàn)其中有記號的魚10條，可以估計魚塘中魚的數(shù)量．（ ）
A. 1000B. 1200C. 800D. 2400
【答案】B
【解析】(條)，
故選：B．
9. 家國天下，富厚雙峰．2024年10月25日至26日，第三屆婁底市旅游發(fā)展大會在雙峰順利舉辦，多個場所舉辦趣味活動吸引游客參與．在某游樂場，甲、乙兩人進行射擊測試，每人10次射擊成績平均數(shù)均是9環(huán)，兩人射擊成績的折線統(tǒng)計圖如圖所示，方差分別為，則下列判斷正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由折線統(tǒng)計圖可知，乙射擊成績比甲射擊成績更為分散、穩(wěn)定性更差，
則由方差的意義得：，
故選：B．
10. 如圖，反比例函數(shù)的圖像與矩形的邊、分別相交于點D、E，連接、，直線與x軸、y軸分別相交于點M、N，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①
②
③
④）若，，則．
A. ①②B. ①②③
C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】設(shè)，則，，
①∵點D、E在反比例函數(shù)的圖像上，
∴，，∴，，
∴，，
∴，故①正確；
②∵，，∴，故②正確；
③∵，，
∴，，
∴，，
∴，則，故③正確；
④由得
，
則，又，
∴（負值舍去），故④正確，
綜上，正確的結(jié)論為①②③④，
故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則k的值為___________．
【答案】8
【解析】∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，解得：．
12. 如圖，已知兩個四邊形相似，則可以確定___________，___________．
【答案】60°
【解析】∵兩個四邊形相似，
∴，
∴x=2，
故答案為：60°，．
13. 已知一個數(shù)x與比它大2的數(shù)的積等于35．請根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程___________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意：，
故答案為：．
14. 已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根是，，且，則的值是________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意得x1+x2=6，x1x2=k+1，
∵，
∴（x1+x2）2-2x1x2=24，
∴36-2（k+1）=24，
∴k=5．
故答案5．
15. 如圖，某宣傳欄后面處植有與宣傳欄平行的6棵樹，即，且相鄰兩棵樹干之間的間隔均為．一人站在宣傳欄前面的點A處正好看到兩端的樹干，其余的4棵樹均被宣傳欄擋住．已知，求得宣傳欄的長（不計宣傳欄的厚度）為___________．

【答案】
【解析】如圖，設(shè)的延長線交于點G，

∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
根據(jù)題意：，
∴，
∴，
故答案為：．
16. 在生物研究當中，植物學(xué)家發(fā)現(xiàn)：某些植物在抽枝吐葉時，如果從這些植物的頂端往下看，當相鄰兩片葉子之間的夾角恰好將水平面分成的兩部分時．植物的這種生長已被證實對于葉片的通風和采光最為有利（如圖所示）．則相鄰兩片葉子之間的夾角是___________．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【答案】
【解析】根據(jù)題意，相鄰兩片葉子之間的夾角是：
故答案為：．
17. 在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為．以坐標原點O為位似中心，將放大，記所得三角形為，若點A的對應(yīng)點的縱坐標為，求點的橫坐標為___________．
【答案】6
【解析】∵三個頂點的坐標分別為．以原點為位似中心，將這個三角形放大后點A的對應(yīng)點的縱坐標為，即，
∴點的橫坐標為．
故答案為：．
18. 有如下問題：“平面上，分別有2個點，3個點，4個點，5個點，…，n個點，其中任意3個點都不在一條直線上．經(jīng)過每兩點畫一條直線，它們分別可以畫多少條直線？”為了解決這一問題，小明設(shè)計了如下圖表進行探究：
若某人共畫了171條直線，則該平面上共有___________個點．
【答案】19
【解析】2個點有1條直線，
3個點有條直線，
4個點有條直線，
5個點有條直線，
……，
以此類推可知，n個點有條直線，
∴當直線的條數(shù)是時，則，即，
∴，
解得：（舍去），
故答案為：19．
三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
19. 計算：
解：
．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）當m為何值時，它是一元一次方程；
（2）當m為何值時，它是一元二次方程，并求出方程的根．
解：（1）由題意，得且或，
則當時，原方程為；
當時，原方程為．
即或時，方程是一元一次方程；
（2）由題意，得，
所以，而，則．
方程變?yōu)?，即?br>解得．
四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）
21. 某校開展了為期一個月“學(xué)習新思想，做好接班人”主題閱讀活動．請根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：
（1）求被抽查的學(xué)生人數(shù)和m的值；
（2）若該校共有1600名學(xué)生，估計該校學(xué)生在主題閱讀活動中閱讀4本圖書的有多少人．
解：（1）被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人），
（人），
答：被抽查的學(xué)生人數(shù)為100人，m的值為；
（2）（人），
答：估計該校學(xué)生在主題閱讀活動中閱讀4本圖書的有人．
22. 如圖，一枚運載火箭從地面O處發(fā)射，當火箭到達點A處時．地面R處的雷達站測得的距離是，仰角為．經(jīng)過后，火箭直線上升到達點B處，此時地面R處的雷達站測得B處的仰角為．求火箭從A到B處的平均速度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）．
解：由題意，得：，，
∴在中，；
在中，，
∴，
∴火箭從A到B處的平均速度為．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
23. 某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品．若每件商品的售價為元，則可賣出件，但物價局限定每件商品的售價不能超過進價的120%．若該商店計劃從這批商品中獲取400元利潤（不計其他成本），問需要賣出多少件商品，此時的售價是多少？
解：（1）由題意得：，
整理得：
解得：
∵，即售價不能超過25.2元．
∴不合題意，應(yīng)當舍去．
故，從而賣出（件）
答：該商店需要賣出100件商品，此時每件商品的售價是25元．
24. 如圖，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=x cm（x≠0），則AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．
（1）當x為何值時，以P、N兩點重合？
（2）問Q、M兩點能重合嗎？若Q、M兩點能重合，則求出相應(yīng)的x的值；若Q、M兩點不能重合，請說明理由．
（3）當x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

解：（1）當點P與點N重合時，
由，得（舍去）
所以時點P與點N重合
（2）當點Q與點M重合時，
由，得
此時，不符合題意．
故點Q與點M不能重合．
（3）由（1）知，點Q 只能在點M的左側(cè)，
① 當點P在點N的左側(cè)時，
由，
解得．
當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．
② 當點P在點N的右側(cè)時，
由， 解得（舍去）．
當x=-3+時四邊形NQMP是平行四邊形．
綜上：當x=2或x=-3+時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．
六、解答題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）
25. 如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別交于點和點，與坐標軸分別交于點和點．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
（2）直接寫出不等式解集．
（3）在軸上是否存在點，使與相似，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：（1）把代入反比例函數(shù)，得，
∴反比例函數(shù)的表達式，
∵點在圖象上，
，即，
把兩點代入，，解得，
∴一次函數(shù)的表達式為．
（2）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別交于點和點，
∴當時，，
∴解集為：；
（3）由（1）得一次函數(shù)的表達式為，
當時，；當時，；
∴，
∴，
，
，
，
設(shè)點坐標為，由題可以，點在點左側(cè)，則，
由可得：
①當時，，
，
解得，故點坐標為；
②當時，，
，
解得，即點的坐標為；
因此，點的坐標為或時，與相似．
26. 一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個論證．如圖1，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作，交的延長線于點E，構(gòu)造相似三角形來證明．
（1）嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明；
（2）應(yīng)用拓展：如圖3，在中，，D是邊上一點．連接，將沿所在直線折疊，點C恰好落在邊上的E點處．
①若，，求的長；
②若，，求的長（用含k與的代數(shù)式表示）．
（1）證明：過點C作，交的延長線于點E，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，則，
∴，
∴；
（2）解：①∵將沿所在直線折疊，點C恰好落在邊上的E點處．
∴，，，
由（1）知， ，又，，
∴，即，
在中，，，，
∴，
∴，則，
∴；
②由折疊性質(zhì)，得，，,
由（1）得，
∵，
∴，則，
由得：，
∴，
∴．點數(shù)
2
3
4
5
…
n
示意圖
…
直線條數(shù)
1
…
_______
閱讀本數(shù)
3
4
5
6
7及以上
人數(shù)
20
25
m
15
10

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