參考公式：拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
第一部分 選擇題(共30分)
一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1. 一枚圓形硬幣放在太陽光下，它在平整的地面上的投影不可能是（ ）
A. 線段B. 圓C. 橢圓D. 正方形
【答案】D
【解析】當(dāng)硬幣與光線平行時(shí)，投影是線段；當(dāng)硬幣面與光線垂直時(shí)，投影是圓；其余都是橢圓，
故選：D．
2. 已知的半徑為10，，則點(diǎn) 與的位置關(guān)系是（ ）
A. 點(diǎn)在內(nèi)B. 點(diǎn)在上
C. 點(diǎn) 在外D. 不確定
【答案】A
【解析】∵的半徑為10，，∴，
∴點(diǎn)內(nèi)，
故選：．
3. 下列幾何圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. 等邊三角形B. 平行四邊形
C. 菱形D. 對角線相等的四邊形
【答案】C
【解析】A、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、菱形即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、對角線相等的四邊形如等腰梯形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
4. 關(guān)于拋物線，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 開口向下B. 對稱軸是直線
C. 頂點(diǎn)坐標(biāo)-2,3D. 與軸交點(diǎn)坐標(biāo)0,3
【答案】D
【解析】在中，
∴拋物線的開口向下，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴選項(xiàng)A、B、C均不符合題意；
令，得，
∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
5. 若關(guān)于x的方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（ ）
A. B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】∵關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，∴，
解得，，
故選：B．
6. 一個(gè)不透明的布袋里裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黑球、若干個(gè)白球．從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是紅球的是概率是，袋中白球共有（ ）
A. 4個(gè)B. 5個(gè)C. 6個(gè)D. 7個(gè)
【答案】C
【解析】設(shè)白球有x個(gè)，根據(jù)題意，得，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，即袋中白球有6個(gè)，
故選：C．
7. 如圖，中，，．將繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，
∴，，
∵，
，
∴．
故選：B．
8. 下表給出了二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值：
那么關(guān)于x的方程的一個(gè)根的近似值可能是（ ）
A. 1.07B. 1.17C. 1.27D. 1.37
【答案】C
【解析】由表可知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
拋物線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)與之間，更靠近點(diǎn)，
方程的一個(gè)根的近似值約為，
故選：C．
9. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直徑，AB?CD．
∴，OC==13，
∴．
故選：B．
10. 頂角為36°的等腰三角形我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為黃金比．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若CD＝1，則AC的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠DBC=36°，∠BCD=∠BDC=72°，
∴∠ACB=∠BCD，∴△BCD∽△ABC，∴BC：AB=DC：BC，
∵BC：AB=，DC=1，∴BC=，
∴：AB=，∴AB=，∴AC=，
故選D．
第二部分 非選擇題(共90分)
二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共15分)
11. 河堤橫斷面如圖所示，堤高米，迎水坡的坡比為，則_________米．
【答案】
【解析】迎水坡的坡比為，米，
，即，
解得：（米），
故答案為：．
12. 若二次函數(shù)的圖象開口向下且經(jīng)過原點(diǎn)，則a的值是_____．
【答案】
【解析】∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
∴，解得，
∵圖象開口向下，，
∴．
故答案為．
13. 如圖，正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長是12，則的半徑是__________.
【答案】2
【解析】如圖，連接OA、OB，
∵⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的周長為12，
∴邊長為2，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB為等邊三角形，
∴OA=AB=2，
即該圓的半徑為2．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊軸，垂足為E，頂點(diǎn)A在第二象限，，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過頂點(diǎn)C，D．若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，，則k的值為______．
【答案】
【解析】由題意得，AB＝BC＝CD＝DA＝5，
設(shè)DE＝x，則BE＝2x，AE＝5﹣x，
在RtABE中，由勾股定理得，（5﹣x）2+（2x）2＝52，
解得x＝0 （舍去），x＝2，
即DE＝2，BE＝4，
設(shè)點(diǎn)C（5，y），則D（2，y+4），
∵反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)C、D．
∴5y＝2（y+4）＝k，解得：y＝，∴k＝5y＝，
故答案為：．
15. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿折疊，點(diǎn)落在處，如果恰在矩形的對角線上，則的長為________．
【答案】
【解析】四邊形是矩形，，，
，，，
∴，
由翻折的性質(zhì)得：垂直平分，
，，


，
，
，，
，
∴，即，
，
．
三、解答題(本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)
16. （1）計(jì)算：；
（2）將拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，再向上平移三個(gè)單位長度，求平移后的拋物線解析式(寫成一般式)．
解：（1）原式；
（2），
將拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，得，即，
再向上平移三個(gè)單位，得，即，
平移后拋物線的解析式為．
17. 如圖，在中，，是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)，在邊上，．
（1）若，求的長；
（2）求的值．
解：（1）∵是的三等分點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）∵，是的三等分點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴．
18. 元旦假期，李老師駕駛小汽車從甲地沿公路勻速行駛到乙地，當(dāng)小汽車勻速行駛的速度為時(shí)，行駛時(shí)間為．設(shè)小汽車行駛的平均速度為，行駛的時(shí)間為 t h．
（1）求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式(不用寫出自變量t的取值范圍)；
（2）若這條公路限速為，李老師需要不超過從乙地返回甲地，求李老師從乙地返回甲地的平均速度ν的取值范圍．
解：（1）由題意可得從甲地到乙地路程為：，
與的關(guān)系式為：；
（2）在中，
令，
，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
，
又此公路限速，
答：李老師從乙地返回甲地的平均速度的取值范圍是．
19. 如圖，某公園一個(gè)圓形噴水池，在噴水池中心處豎直安裝一根高度為的水管，噴出水流沿形狀相同的曲線向各個(gè)方向落下，噴出水流的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，測得噴出水流距離噴水池中心的最遠(yuǎn)水平距離為，水流豎直高度的最高處位置距離噴水池中心的水平距離為．
（1）求噴出水流的豎直高度（）與距離水池中心的水平距離（）之間的關(guān)系式，并求出水流噴出的最大高度CD的長；
（2）安裝師傅調(diào)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，噴頭豎直上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水流隨之豎直上下移動(dòng)（假設(shè)拋物線水流移動(dòng)時(shí)，保持對稱軸及形狀不變），若水管的高度增加時(shí)，則水流離噴水池中心的最遠(yuǎn)水平距離為______．
解：（1）由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，
∴．∴．∴．
∴x=1時(shí)，．
∴水流噴出的最大高度為．
（2）由題意，∵拋物線水流移動(dòng)時(shí)，保持對稱軸及形狀不變,
∴可設(shè)拋物線為．
∵此時(shí)為，∴．∴．
∴拋物線為．
令，∴或，不合題意)．
∴水流離噴水池中心的最遠(yuǎn)水平距離為．
故答案為：．
20. 綜合與實(shí)踐
素材一：某款遮陽棚（圖1），圖2、圖3是它的側(cè)面示意圖，點(diǎn)為墻壁上的固定點(diǎn)，搖臂繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中長度保持不變，遮陽棚可自由伸縮，棚面始終保持平整．米．

素材二：該地區(qū)某天不同時(shí)刻太陽光線與地面的夾角的正切值：
問題解決】
（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，這天12時(shí)在點(diǎn)位置擺放的綠蘿剛好不被陽光照射到，求綠蘿擺放位置與墻壁的距離；
（2）如圖3，旋轉(zhuǎn)搖臂，使得點(diǎn)離墻壁距離為1.2米，為使綠蘿在這天12時(shí)時(shí)都不被陽光照射到，則綠蘿擺放位置與墻壁的最遠(yuǎn)距離是多少？
解：（1）如圖1，過作于，

則，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
在中，，即，
，
，
答：綠蘿擺放位置與墻壁的距離為．
（2）過作于，過作于，

則，
四邊形為矩形，
，
，
，
由表格可知，在12時(shí)時(shí)，角的正切值逐漸減小，即逐漸較小，
當(dāng)14時(shí)，點(diǎn)最靠近墻角，此時(shí)DE的長度就是綠蘿擺放位置與墻壁的最大距離，
在中，， 即，，
，
答：綠蘿擺放位置與墻壁的最大距離為．
21. 如圖，在中，，點(diǎn)是邊AB上一點(diǎn)，以為直徑的與邊，分別相交于點(diǎn)，，且
（1）如圖1，求證：是的切線；
（2）如圖2，連接，若，求陰影部分的面積．
（1）證明：如圖1，連接
．
．
又
．
．
又
．
又是半徑，
是的切線；
（2）解：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)的半徑為
在中，，
，則．
同理，在中，，則，
，解得：，
為等邊三角形，，
，，
又
為等邊三角形，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
．
22. 如圖1，在正方形中，是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，射線交直線于點(diǎn)，連接．

（1）求證∶
（2）猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若正方形邊長為4，．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，求和的長；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，直接寫出和的長．
（1）證明：四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：，
理由：如圖1，過點(diǎn)作于，，

，即，
四邊形是正方形，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
．
（3）解：①如圖2，在上截取，連接，

在正方形中，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得，
，
，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得， ，
，
，
，
，
，
，
；
②，正方形的邊長為4，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知：，
．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，將此拋物線上、兩點(diǎn)間的部分(包括、兩點(diǎn))記為圖象．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若的面積等于時(shí)，求的值；
（3）記圖像的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（4）若點(diǎn)，連接，取線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，以、為鄰邊構(gòu)造矩形，當(dāng)時(shí)，直接寫出圖像與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍．
解：（1）將代入，
得：，
解得：，
解析式為；
（2），
頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸為直線，
軸，
和點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
邊上的高為，
，
點(diǎn)在直線下方的拋物線上，
設(shè)，
，
，
整理得，解得，
的值為或；
（3），
當(dāng)時(shí)，圖像的最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，
，
當(dāng)時(shí)，圖像的最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，
，
當(dāng)時(shí)，圖像的最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，
；
當(dāng)時(shí)，圖像的最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，
，
綜上所述，，
（4），是線段的中點(diǎn)，
軸，
由旋轉(zhuǎn)得，，線段和都是隨著的增大而減小，
，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)分三種情形：
點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且軸，，則點(diǎn)，
當(dāng)恰好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，如圖即，
此時(shí)圖像與矩形的交點(diǎn)為和個(gè)交點(diǎn)符合題意；
以圖這種特殊情況為界，拋物線固定不動(dòng)，若減小，則和變長，此時(shí)向下移動(dòng)，
，點(diǎn)不能與點(diǎn)重合，
這個(gè)過程中圖像與矩形只有一個(gè)交點(diǎn)，
若增大，則減小，點(diǎn)向上移動(dòng)，這個(gè)過程中，圖像與邊有兩個(gè)交點(diǎn)，
加上點(diǎn)有三個(gè)交點(diǎn)，直至點(diǎn)移動(dòng)到線段上，如圖，
此時(shí)，
，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在拋物線對稱軸左側(cè)，此時(shí)圖像與矩形有個(gè)交點(diǎn)，
如圖，點(diǎn)過了此點(diǎn)后，增大，減小，點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，
這個(gè)過程中，圖象與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)，直至如圖，
點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線對稱軸右側(cè)且在上，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，有個(gè)交點(diǎn)；
再隨著的增大，點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，減小，點(diǎn)在矩形內(nèi)部或運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)下方，
此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，則，
，
解得，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即，即，
此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)下方，如圖，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
的縱坐標(biāo)為，
，
，
，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)在的下方，
圖像與有一個(gè)交點(diǎn)，加上點(diǎn)，共有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
綜上所述，圖像與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍為：或或．x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
0.14
0.62
…
時(shí)刻（時(shí)）
12
13
14
15
角的正切值
5
2.5
1.25
1

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