1．拋物線的準線方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．2B．C．D．2024
3．已知空間向量，若 ，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
4．已知四面體中，為中點，若，則（ ）
A．3B．2C．D．
5．設直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．19世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展.橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為．若圓與橢圓 的蒙日圓有且僅有兩個公共點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．設橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點．若點關于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，則（ ）
A．的周長為
B．存在點，使得
C．若，則的面積為
D．使得為等腰三角形的點共有4個
10．設直線的交點為，則（ ）
A．恒過定點0,2
B．
C．的最大值為
D．點到直線的距離的最大值為5
11．已知正方體的棱長為2，點分別是棱的中點，則（ ）
A．直線與直線的夾角為
B．直線與平面所成角的正弦值為
C．點到平面的距離為
D．三棱錐的外接球的半徑為
三、填空題（本大題共3小題）
12．設拋物線的頂點在原點，其焦點在軸上，拋物線上的點與點的距離為3，則拋物線方程為 ．
13．已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為 ．
14．在數(shù)列中，，且，則 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列的前項和記為，若點均在函數(shù)的圖象上．
(1)求；
(2)求數(shù)列的通項公式．
16．已知橢圓：的左右焦點分別為，上頂點為，長軸長為，若為正三角形.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點，斜率為的直線與橢圓相交兩點，求的長；
(3)過點的直線與橢圓相交于兩點，，求直線的方程.
17．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，.
(1)求的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前100項和.
18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，是的中點，作交于點.
(1)求證：平面；
(2)求的長；
(3)求平面與平面夾角的余弦值.
19．雙曲線經(jīng)過點，一條漸近線的傾斜角為，直線過雙曲線的右焦點，交雙曲線于，兩點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的點，使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求出的坐標，若不存在，請說明理由．
答案
1．【正確答案】C
【詳解】由可得，故，且開口向下，
故拋物線的準線方程是.
故選：C.
2．【正確答案】B
【詳解】由，可得，
同理可得，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，
則.
故選：B.
3．【正確答案】A
【詳解】因為，所以，
又，所以，解得，
故選：A.
4．【正確答案】D
【詳解】根據(jù)題意，利用空間向量的運算法則，可得：，
因為，所以，解得.
故選：D.
5．【正確答案】B
【詳解】時，傾斜角的范圍是，當時，傾斜角的范圍是，
綜上，傾斜角范圍是．
故選：B．
6．【正確答案】C
【詳解】由已知得，又，，可得.
則雙曲線C的方程為.設，，
則兩式相減得，
即.
又因為點P恰好是弦的中點，所以，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
經(jīng)檢驗滿足題意
故選：C
7．【正確答案】C
【詳解】根據(jù)題意，橢圓的蒙日圓方程為，圓心為，半徑為2，
因為圓與只有兩個交點，即兩圓相交，
，解得.
所以的取值范圍為.
故選：C.
8．【正確答案】C
【詳解】如圖，
由已知可得，，
由橢圓定義可知，
，
所以，
因為，所以，
所以，所以或（舍去）.
故選：C.
9．【正確答案】AB
【詳解】對于，由題意，，，故周長為，所以A正確；
對于B，當點位于上下頂點時，為直角，所以B正確.
對于C，當時，如圖：
設，，則.
所以，所以C錯誤；
對于D，若是以為頂點的等腰三角形，點位于上下頂點；若是以為頂點的等腰三角形，則，此時滿足條件的點有兩個；同理，若是以為頂點的等腰三角形，滿足條件的點有兩個；故使得為等腰三角形的點共六個，所以D錯誤.
故選：AB
10．【正確答案】ABD
【詳解】對于選項A，因為直線，即，
令，解得，所以恒過定點0,2，故A正確；
對于選項B，因為直線滿足，
所以，故B正確；
對于選項C，聯(lián)立兩直線方程，解得，
所以，
則
，
令，則，所以，
且在上單調(diào)遞增，當時，，
所以，故C錯誤；
對于選項D，由A可知，直線恒過定點0,2，
則點到直線的距離的最大值即為點到定點0,2的距離，
即，故D正確；
故選：ABD
11．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，由點分別是棱的中點，所以，
所以與的夾角為與的夾角即
為正三角形，，故A正確；
對于B，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
則，，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，
設直線與平面所成的角為，
則，
與平面所成角的正弦值為，故B正確；
對于C，，
設平面的法向量
不放設，則
設點到平面的距離為，則，故C錯誤；
對于D，的外接圓是以為直徑的圓，設圓心為
則，易得，
設三棱錐的外接球的半徑為，球心為，
故D正確；
故選：ABD.
12．【正確答案】．
【詳解】試題分析：由題意可知拋物線開口向右，設拋物線方程為，其焦點，
準線．
由拋物線的定義可知，解得．
所以此拋物線方程為．
考點：拋物線的定義，方程．
13．【正確答案】
作出圖形，設雙曲線的右焦點為，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用、、三點共線時取得最小值即可得解.
【詳解】對于雙曲線，則，，，如下圖所示：
設雙曲線的右焦點為，則，
由雙曲線的定義可得，則，
所以，，
當且僅當、、三點共線時，等號成立.
因此，的最小值為.
故答案為.
關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：
（1）求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題；
（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.
14．【正確答案】
【詳解】因為，
所以，又，即為常數(shù)數(shù)列，
所以，則，則.
故
15．【正確答案】(1)，，，
(2)
【詳解】（1）由點均在函數(shù)的圖象上，可得，
則，，
，.
（2）由點均在函數(shù)的圖象上，可得，
當時，可得；
當時，，
經(jīng)檢驗，當時不成立，
所以數(shù)列的通項公式為.
16．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題干條件求出即可得到橢圓標準方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，直接利用弦長公式進行求解；
（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達定理，列方程組求解.
【詳解】（1）
依題意，，則，由為正三角形，則，故，于是，故橢圓的標準方程為：；
（2）由（1）知，，故該直線為：，和橢圓聯(lián)立：
，整理可得，故，由弦長公式，
（3）顯然的斜率存在（否則軸，根據(jù)對稱性，），設直線為：，和橢圓方程聯(lián)立得，，
，則，故，
由韋達定理可得：，，
于是，，故，
即，
化簡可得，解得，
故直線為：
17．【正確答案】(1)
(2)200
【詳解】（1）設公差為d，結(jié)合題設有，
解得，
則
故的通項公式為.
（2），
所以
.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系.
由題意知：，，，
則，.
又平面，
平面.
（2）由題意知：，.
設，
則.
，
，
即，
展開有：，
解得.
故，
則有；
（3）由題意知：，
設平面的法向量，
有則，令，則，
由（1）知，則平面的一個法向量為，
設平面與平面所成的角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19．【正確答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）由題意可知雙曲線的漸近線方程為，
因為一條漸近線的傾斜角為，所以，
雙曲線經(jīng)過點，則，
聯(lián)立，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）由（1）知雙曲線的右焦點為，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，
設Ax1,y1，Bx2,y2，，
因為，所以，
即，
整理得①，
由，得到，
因為直線l與雙曲線有兩個不同的交點，
故且，
所以，
由題設有①對任意的總成立，
因為，
所以①可轉(zhuǎn)化為，
整理得到對任意的總成立，
故，解得，故所求的定點的坐標為．
當直線l的斜率不存在時，則，此時或，
當時，此時或，
都滿足；
綜上，定點的坐標為．

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