1. （2024·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個頂點(diǎn)的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
（1）如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
（2）如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；
（3）①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請直接寫出的值．
2. （2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，
①若，過作交于點(diǎn)，求證：；
②若時，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時，請直接寫出的長．

3. （2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)．求證：
（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)延長交邊于點(diǎn)且求的長．
（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，為邊上三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長．
4. （2024·廣東深圳·鹽田區(qū)一模）如圖，等腰中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）當(dāng)平分時，求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)時，請直接寫出的值．
5. （2024·廣東深圳·福田區(qū)三模）【初步探究】
如圖1，四邊形是矩形，點(diǎn)P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．；B．
C．；D．
【深入探究】
如圖2，正方形的邊長為4，的半徑為2，點(diǎn)P是上一動點(diǎn)，連接，，，設(shè)，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的結(jié)論）
①求的最小值；
②直接寫出的最大值，并直接寫出此時的長．
6. （2024·廣東深圳·33校聯(lián)考二模）在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時，創(chuàng)新小組同學(xué)們借助三角形和菱形感受旋轉(zhuǎn)帶來圖形變化規(guī)律和性質(zhì)．
【操作探究】
（1）如圖1，已知，，將繞著直角邊中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，得到，當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)D恰好落在的斜邊上時，斜邊與 交于點(diǎn)H．

①猜想： _________
②證明：．
【問題解決】
（2）在（1）的條件下，已知，，求的長．
【拓展提升】
（3）如圖2，在菱形中，，， 將菱形繞著中點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)E分別恰好落在菱形的邊和對角線上時，菱形的邊與邊相交于點(diǎn) N， 請直接寫出的長．

7. （2024·廣東深圳·33校聯(lián)考一模）在矩形中，點(diǎn)E是射線上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)矩形是正方形時，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．
①如圖1，若點(diǎn)E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；
②如圖2，若點(diǎn)E在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；
（2）如圖3，若點(diǎn)E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點(diǎn)，連接，，，求的最小值．
8. （2024·廣東深圳·南山區(qū)一模）如圖1，在等腰三角形中，，，點(diǎn)分別在邊上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

（1）觀察猜想：
圖中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，的大小是_______；
（2）探究證明：
把繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；
（3）拓展延伸：
把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．
9. （2024·廣東深圳·寶安區(qū)二模）如圖，在菱形中，對角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，連接．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）連接，若，，求．
10. （2024·廣東深圳·寶安區(qū)二模）（1）【問題探究】如圖1，正方形中，點(diǎn)F、G分別在邊、上，且于點(diǎn)P，求證：；
（2）【知識遷移】如圖2，矩形中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊、、、上，且于點(diǎn)P．若，求的長；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)E在直線上，，交直線于點(diǎn)F．請直接寫出線段的長．
11. （2024·廣東深圳·寶安區(qū)三模）如圖1．四邊形、都是矩形，點(diǎn)G在上，且，，，小李將矩形繞點(diǎn)C順時針轉(zhuǎn)，如圖2所示：
（1）① 他發(fā)現(xiàn)的值始終不變，請你幫他計(jì)算出的值______．
② 在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線上時，求出AG的長度是多少?
（2）如圖3，中，，，，G為的中點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)的一個動點(diǎn)．且，將線段BD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)α°，得到，則四邊形的面積的最大值為______．
12. （2024·廣東深圳·福田區(qū)二模）問題探究：如圖1，在正方形，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)點(diǎn)分別在邊上，．
（1）①判斷與的數(shù)量關(guān)系：_____；
②推斷：______(填數(shù)值)；
（2）類比探究：如圖2，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用1：如圖3，四邊形中，，，，點(diǎn)分別在邊上，求的值．
（4）拓展應(yīng)用2：如圖2，在（2）的條件下，連接CP，若，，求的長．
13. （2024·廣東深圳·光明區(qū)二模）在四邊形中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接，線段的垂直平分線與分別相交于點(diǎn)，連接．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若四邊形為矩形，，求證：；
【能力提升】如圖2，若四邊形為矩形，是等腰三角形，求的長：
【拓展應(yīng)用】如圖3，若四邊形為菱形，的垂直平分線與、分別相交于點(diǎn)，連接．若是等邊三角形，求的值．
14. （2024·廣東深圳·33校三模）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片．由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，請根據(jù)下面不同的折痕解決下列問題：
問題（1）：如圖，在矩形紙片中，將紙片沿對角線對折，邊對折后與邊相交于點(diǎn)E，試判斷形狀，并說明理由．

問題（2）：如圖，在矩形中，，以為折痕對折，B點(diǎn)落在的中點(diǎn)F處，求折痕的長

問題（3）：如圖，在矩形中，，P在直線上，Q在邊上，以為折痕對折，B點(diǎn)落在邊上對應(yīng)點(diǎn)為F，當(dāng)P到A點(diǎn)的距離為1時，直接寫出折痕的長．

15. （2024·廣東深圳·龍華區(qū)二模）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)線段與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用“特殊到一般”的思想開展了探究．
【特例分析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，小組成員經(jīng)過討論得到如下兩種思路：
（1）①在上述兩種思路中，選擇其中一種完成其相應(yīng)的第一步的證明：②寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系式：______；
【深入探究】（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合時，（1）中線段與之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請加以證明：若不成立，請說明理由；
【拓展延伸】（3）連接，記正方形的面積為，的面積為，當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出的值．
16. （2024·廣東深圳·羅湖區(qū)二模）【問題提出】
(1)如圖1，在邊長為的等邊中，點(diǎn)在邊上，，連接，則的面積為____
【問題探究】
(2)如圖2，已知在邊長為的正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，若，求的面積；
【問題解決】
(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個的工作面，其中、分別在、邊上不與點(diǎn)、、重合，且，為了減少對該路段的交通擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個面積最小的若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由．
17. （2024·廣東深圳·羅湖區(qū)三模）【問題探究】
課外興趣小組活動時，同學(xué)們正在解決如下問題：
如圖1，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，且于點(diǎn)G，若，，求的值．
（1）請你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由．
【初步運(yùn)用】
（2）如圖2，在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，求的值．
【靈活運(yùn)用】
（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，垂足為G，則______．
18. （2024·廣東深圳·南山區(qū)三模）如圖①，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊、上，于點(diǎn)O，點(diǎn)G，H分別在邊、上，．

（1）問題解決：①寫出與的數(shù)量關(guān)系：________；
② 的值為 ________；
（2）類比探究，如圖②，在矩形中，（k為常數(shù)），將矩形沿折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)O．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形中，，，，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，求 的值．
19. （2024·廣東深圳·南山區(qū)二模）（1）問題呈現(xiàn)：如圖1，和都是直角三角形，，且．連接，，求的值．
（2）類比探究：如圖2，是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，延長交于點(diǎn)，設(shè)，求的長；
（3）拓展提升：如圖3，在等邊中，，是邊上的中線，點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)，連接，以為邊長，在的上方作等邊，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長．
20. （2024·廣東深圳·九下期中）（）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖，寫出完整的證明過程．
（）初步探究：如圖，在四邊形中，于點(diǎn)，連接，．
的度數(shù)為 ；
求長．
（）拓展運(yùn)用：如圖，在平行四邊形中，是邊上一點(diǎn)，．按以下步驟作圖：以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，為射線上一動點(diǎn)，連接，若，直接寫出的值．
思路一
思路二
第一步
如圖2，連接，，證明；
如圖3，將線段繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明；
第二步
利用相似三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．
利用全等三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．
圖形表達(dá)
例：如圖，在中，是斜邊上的中線．求證：．
證明：延長至點(diǎn)，使，連接．
…

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