1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.
【詳解】集合，所以.
故選：D
2. 函數(shù)的定義域為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負和對數(shù)的真數(shù)大于零求解即可
【詳解】由題意得，解得，
所以函數(shù)的定義域為，
故選：C
3. 方程的根所在的區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零點存在定理可得出結(jié)果.
【詳解】令，因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，
因為，，，
由零點存在定理可知，方程的根所在的區(qū)間為.
故選：B.
4. 函數(shù)的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，再判斷時，函數(shù)值的正負，排除選項.
【詳解】顯然，，解得：且，函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且，函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，排除CD；
當(dāng)，，，所以，排除B
故選：A．
5. 已知xy＞0，若，則的最小值為（）
A. 24B. 16C. 12D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】將變形為，再結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
因此的最小值為.
故選：D.
6. 已知函數(shù)在[2，3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”求解即可.
【詳解】由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”得：
在上單調(diào)遞減，且，
所以且，解得：.
故的取值范圍是
故選：C.
7. 標(biāo)準(zhǔn)的圍棋共行列,個格點，每個點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況，而我國北宋學(xué)者括在他的著作《夢溪筆談》中，也論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)的運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意，對于，有
，
所以，分析選項B中與其最接近.
故選：B
8. 函數(shù)滿足，當(dāng)時都有，且對任意，不等式恒成立．則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析得到函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則對任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再轉(zhuǎn)化為，得，恒成立，再分兩種情況，得到的范圍.
【詳解】由題得函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，
則對任意的，不等式恒成立，
則不等式，恒成立，
則，恒成立，
得，得，恒成立，
則且，或且，恒成立，
即當(dāng)時，且，或且，
又當(dāng)，有，，
得.
故選：C.
【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生分析能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，綜合能力強，難度大.
二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）
9. 符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，，定義函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的定義域為B. 函數(shù)的值域為
C. 函數(shù)無最大值D. 函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】由題設(shè)所給條件，結(jié)合的范圍，對進行化簡，作出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】由題知，函數(shù)中的為任意實數(shù)，所以選項A正確；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，以此類推，作出函數(shù)的部分圖像，如圖所示，
由圖知，函數(shù)值域為，所以選項B錯誤，選項C正確；
又由圖可知，在定義域上沒有單調(diào)性，所以選項D錯誤，
故選：AC.
10. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）
A. 與；
B. 與；
C. 與；
D. 與.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，函數(shù)與的對應(yīng)法則不同，所以不是同一函數(shù)；
對于B中，函數(shù)與對應(yīng)法則不同，所以不是同一函數(shù)；
對于C中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù)；
對于D中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù).
故選：CD.
11. 下列四個命題中為假命題的是（）
A.
B. 命題“”的否定是“”
C. 設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則P是q的必要不充分條件
D. 與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)零點存在定理可判斷A的正誤，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B的正誤，根據(jù)條件之間的推出關(guān)系或集合間的包含關(guān)系可判斷C的正誤，結(jié)合反函數(shù)圖象的性質(zhì)即可判斷D的正誤.
【詳解】對于A，令，則在為連續(xù)函數(shù)，且，，故在存在零點，即在存在零點，
故方程在上有解，故A正確.
對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯誤.
對于C，即為，而為的真子集，
故是的充分不必要條件，故C錯誤.
對于D，因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.
故選：BC.
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)有3個零點
B. 若函數(shù)有四個零點，則
C. 若關(guān)于的方程有四個不等實根，則
D. 若關(guān)于的方程有8個不等實根，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】畫出的圖象利用數(shù)形結(jié)合可判斷ABC，根據(jù)圖象及二次方程根的分布可判斷D.
【詳解】對A，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
畫出的圖象，可以看出關(guān)于對稱，
當(dāng)時，取得最小值為1，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖象，可看出兩函數(shù)圖象有3個交點，
所以函數(shù)有3個零點，A正確；
對B，由圖象可知，函數(shù)有四個零點，則，B錯誤；
對C，由圖象可知，若關(guān)于的方程有四個不等實根，
不妨設(shè)，則關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，
所以，所以，C正確；
對D，令，若關(guān)于的方程有8個不等實根，
則要有2個不相等的實數(shù)根，且，
所以，所以，即，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 已知冪函數(shù)過點，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出冪函數(shù)的解析式，再求出函數(shù)值即得.
【詳解】依題意，設(shè)，則有，解得，即，
所以.
故答案為：3
14. 已知，且，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷的奇偶性，解出即可求出答案.
【詳解】令，，是奇函數(shù).
,,.
.
故答案為：
15. 函數(shù)恒過定點________．
【答案】(1,2)
【解析】
【詳解】當(dāng)時，.
所以函數(shù)恒過定點(1,2).
16. 已知函數(shù)（a＞0且b＞－1），，若對任意x∈R，不等式恒成立，則＝________，的最小值是________．
【答案】 ①. 1; ②. ##.
【解析】
【分析】分析出，再將變形成，用基本不等式中的“1”的活用技巧求解最小值即可.
【詳解】因為對任意，不等式恒成立
當(dāng)時，，有；
當(dāng)時，，有.
又連續(xù)不斷，故必有
所以即.
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，
即的最小值為.
故答案為：1；.
四、解答題（本大題共6小題，共68分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. （1）計算
（2）計算.
【答案】（1）0；（2）3
【解析】
【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)以及運算法則求解；
（2）利用對數(shù)性質(zhì)及運算法則求解.
【詳解】（1）
.
（2）
.
18. 設(shè)全集，集合，，．
（1）求和；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
分析】（1）根據(jù)補集和交集定義即可求解；（2）得出集合A,C關(guān)系即可求解
【小問1詳解】
或
【小問2詳解】
因為
所以，
所以且
所以
所以a的取值范圍
19. 已知函數(shù)，其中，，函數(shù).
（1）求的值并用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由可求得的值，然后任取、且，作差，因式分解，判斷差值符號，由此可證得結(jié)論成立；
（2）分、、三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為，，.
任取、且，
所以，
又因為，所以，，，所以，
所以，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）因為，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
①當(dāng)時，則，必有，所以不合題意；
②當(dāng)時，則，
；
③當(dāng)時，恒成立.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：
（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；
（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；
（3）定號：確定差的符號；
（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.
即取值作差變形定號下結(jié)論.
20. 已知某觀光海域AB段的長度為3百公里，一超級快艇在AB段航行，經(jīng)過多次試驗得到其每小時航行費用Q（單位：萬元）與速度v（單位：百公里／小時）（0≤v≤3）的以下數(shù)據(jù)：
為描述該超級快艇每小時航行費用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klgav＋b．
（1）試從中確定最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）該超級快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費用最少？并求出最少航行費用．
【答案】（1）選擇函數(shù)模型，函數(shù)解析式為；（2）以1百公里/小時航行時可使AB段的航行費用最少，且最少航行費用為2.1萬元.
【解析】
【分析】（1）對題中所給的三個函數(shù)解析式進行分析，對應(yīng)其性質(zhì)，結(jié)合題中所給的條件，作出正確的選擇，之后利用待定系數(shù)法求得解析式，得出結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式，之后應(yīng)用配方法求得最值，得到結(jié)果.
【詳解】（1）若選擇函數(shù)模型，則該函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，
這與試驗數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型．
若選擇函數(shù)模型，須，這與試驗數(shù)據(jù)在時有意義矛盾，
所以不選擇該函數(shù)模型．
從而只能選擇函數(shù)模型，由試驗數(shù)據(jù)得，
，即，解得
故所求函數(shù)解析式為：．
（2）設(shè)超級快艇在AB段的航行費用為y（萬元），
則所需時間為（小時），其中，
結(jié)合（1）知，
所以當(dāng)時，．
答：當(dāng)該超級快艇以1百公里/小時航行時可使AB段的航行費用最少，且最少航行費用為2．1萬元．
【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的應(yīng)用題，涉及到的知識點有函數(shù)模型的正確選擇，等量關(guān)系式的建立，配方法求二次式的最值，屬于簡單題目.
21. 定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，有，且當(dāng)時，.
（1）求的值，并證明函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；
（3）解不等式.
【答案】21. ，證明見解析；
22. 單調(diào)遞減，證明見解析；
23. .
【解析】
【分析】（1）利用賦值法求得，利用定義證明函數(shù)為奇函數(shù).
（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，并用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性.
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得不等式的解集.
【小問1詳解】
依題意，函數(shù)對任意的，都有，
令，得，所以；
，取，則，即，
所以是奇函數(shù).
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞減，證明如下：
任取，有，而當(dāng)時，，則，
于是，
所以在上單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
由于，則，，
于是不等式，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集為.
22. 已知函數(shù)（a＞0且）是偶函數(shù)，函數(shù)（a＞0且）．
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)有零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＝2時，若，使得恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，由f（－x）＝－f（x），即對恒成立求解；
（2）由有零點，轉(zhuǎn)化為有解，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝p（x）圖象與直線y＝a有交點求解；
（3）根據(jù)，使得成立，由求解.
【小問1詳解】
解：因為f（x）為偶函數(shù)，
所以，都有f（－x）＝－f（x），
即對恒成立，
對恒成立
，對恒成立，
所以．
【小問2詳解】
因為有零點
即有解，即有解．
令，則函數(shù)y＝p（x）圖象與直線y＝a有交點，
當(dāng)0＜a＜1時，無解；
當(dāng)a＞1時，在上單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞減，值域為．
由有解，可得a＞0，此時a＞1，
綜上可知，a的取值范圍是；
【小問3詳解】
，
當(dāng)時，，
由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為1，
因為，使得成立，
所有，
即對任意的恒成立，
設(shè)，
所以當(dāng)t＞1時，恒成立，
即，對t＞1恒成立，
設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以，
所以m≥0，即實數(shù)m的取值范圍為．0
1
2
3
0
0.7
1.6
3.3

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