【高考數(shù)學】二輪優(yōu)化提優(yōu)專題訓練：專題12 運用空間向量研究立體幾何問題（1）-試卷下載-教習網(wǎng)

1、（2023年全國甲卷數(shù)學（理））在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．
(1)求證：；
(2)若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．
2、（2023年新課標全國Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．(1)證明：；
(2)點在棱上，當二面角為時，求．
3、（2023年新課標全國Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
4、（2023年全國乙卷數(shù)學(理)（文））如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
5、【2022年全國甲卷】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．
(1)證明：BD⊥PA；
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．
6、【2022年全國乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．
(1)證明：平面BED⊥平面ACD；
(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
7、【2022年新高考1卷】如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22．
(1)求A到平面A1BC的距離；
(2)設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A?BD?C的正弦值．
8、【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點．
(1)證明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C?AE?B的正弦值．
題組一、線面角
1-1、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，，為棱靠近點的三等分點.
(1)證明：平面；
(2)求與平面所成的角的正弦值.
1-2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？家荒＃┤鐖D，在正三棱柱中，D為棱上的點，E，F(xiàn)，G分別為AC，，的中點，．(1)求證：；
(2)若直線FG與平面BCD所成角的正弦值為，求AD的長．
1-3、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，E是CD的中點，AE與BD交于點F，G是的重心．
(1)求證：平面PCD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，為等腰直角三角形，且，求直線AG與平面PBD所成角的正弦值．
題組二、面面角
2-1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，在長方體中，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點.(1)證明：∥平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
2-2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，，，取直線與的方向向量分別為，，若與夾角為.
(1)求證：；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
2-3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體ABCDEF中，A，B，C，D四點共面，，，AF⊥平面ABCD，．
(1)求證：CD⊥平面ADF；
(2)若，，求平面和平面的夾角的余弦值．
題組三、線面角與面面角的綜合
3-1、（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）如圖所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD為菱形，，，E為線段上一點.
(1)求證：；
3-2、（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱柱中，D為AC的中點，AB=BC=2，.
(1)證明：；
(2)若，且滿足：三棱柱的體積為，二面角的大小為60°，求二面角的正弦值.
1、（2022·山東青島·高三期末）如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，M為BC中點，且.
（1）求證：面面PDB；
（2）若兩條異面直線AB與PC所成的角為45°，求面PAM與面PBC夾角的余弦值.
2、（2022·山東德州·高三期末）如圖，在直三棱柱中，，，點Q為BC的中點，平面平面.
（1）證明：平面；
（2）若直線AC與平面所成角的大小為30°，求銳二面角的大小.
3、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中點．
(1)求證：平面平面PBC；
(2)若二面角的余弦值為，求a的值；
(3)在（2）的條件下求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
4、（2023·湖北·校聯(lián)考三模）已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）的各條棱長均為2，且有．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
5、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）如圖，直三棱柱內(nèi)接于圓柱，，平面平面．
(1)證明：為圓柱底面的直徑；
(2)若M為中點，N為中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
6、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是邊上的高，以為折痕，將折至的位置，使得.
(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.