一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，陰影部分表示并集去掉交集，結(jié)合交集并集概念計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)題意，陰影部分表示并集去掉交集.
，則.
故陰影部分表示.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
故選：B
3. 已知，且在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)推出與的關(guān)系，再根據(jù)投影向量的定義求出在上的投影向量.
【詳解】已知，將等式兩邊同時(shí)平方可得.
根據(jù)向量平方的展開式,所以，
化簡可得，即，這表明.
根據(jù)向量投影向量的定義， 所以在上的投影向量為.
因?yàn)椋?
則在上的投影向量為.
故在上的投影向量為.
故選：A.
4. 葫蘆擺件作為中國傳統(tǒng)工藝品，深受人們喜愛，它們常被視為吉祥物，象征福祿，多子多福.如圖所示的葫蘆擺件從上到下可近似看作由一個(gè)圓柱與兩個(gè)完整的球組成的幾何體，若上，中，下三個(gè)幾何體的高度之比為，且總高度為，則下面球的體積與上面球的體積之差約為（ ）（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由條件求出上下兩個(gè)球的半徑，結(jié)合球的體積公式求兩個(gè)球的體積，相減可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)下面球的半徑為，
因?yàn)樯?，中，下三個(gè)幾何體的高度之比為，
則上面球的半徑為，圓柱的高為，
由已知，所以，
故下面球的半徑為，上面球的半徑為，
所以下面球的體積為，上面球的體積為，
又，
所以下面球的體積與上面球的體積之差約為，
故選：A.
5. 某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（ ）
A. 種B. 種C. 種D. 種
【答案】C
【解析】
【分析】在甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，結(jié)合分堆問題的處理方法及分步乘法計(jì)數(shù)原理求滿足條件的方法數(shù)，再在甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，.由分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列知識(shí)求滿足條件的方法數(shù)，最后利用分類加法原理求結(jié)論.
【詳解】滿足條件的報(bào)名方法可分為兩類：
第一類：甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽，
先安排甲，由于甲不能參加跳遠(yuǎn)，故甲的安排方法有種，
再將余下人，安排到與下的三個(gè)項(xiàng)目，
由于每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，
故滿足條件的報(bào)名方法有,
所以甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，
第二類：甲與其他一人一起參加某項(xiàng)比賽，
先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項(xiàng)目，有種方法，
再安排余下三人，有種方法，
所以甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，
所以滿足條件的不同的報(bào)名方法共有種方法.
故選：C.
6. 已知函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)在的圖象上，過分別作軸的垂線，垂足分別為，若四邊形為平行四邊形，且面積為，則（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由條件求，，由此確定函數(shù)的周期，列方程確定，再求結(jié)論.
【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，點(diǎn)，，
所以，所以，
因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為，
所以，
所以，
結(jié)合對(duì)稱性可得函數(shù)的周期為，又，
所以，
又點(diǎn)在的圖象上，
所以，所以，
結(jié)合圖象可得，，
所以，，
所以，
所以
故選：D.
7. 設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，且，則雙曲線兩條漸近線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式得到，再由雙曲線的定義和余弦定理得到，最后結(jié)合三角形的面積公式求出漸近線斜率即可.
【詳解】設(shè)，則，即，
雙曲線C的漸近線方程為，
則，
又，則，
在中，由余弦定理可得：，
于是，，
而，因此，化簡得，
即，所以，即，
所以雙曲線兩條漸近線的斜率為.
故選：C
8. 設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】依題意，將轉(zhuǎn)化為，在定義域內(nèi)同正同負(fù)，函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)重合，得到，進(jìn)而，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.
【詳解】可看作，在定義域內(nèi)二者均單調(diào)遞增，
在定義域內(nèi)同正，因此只需函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)重合，如圖所示：
令，
得，所以，
所以，
令，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，
所以的最小值為2，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：可看作，在定義域內(nèi)同正同負(fù)，因此函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)重合.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知正四棱臺(tái)的體積為，則（ ）
A. 正四棱臺(tái)的高為
B. 與平面所成的角為
C. 平面與平面夾角的正切值為
D. 正四棱臺(tái)外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解A，根據(jù)線面垂直可得為與平面所成的角，是平面與平面所成的夾角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解BC，根據(jù)勾股定理，可求解半徑，進(jìn)而根據(jù)球的表面積公式即可求解D.
【詳解】在正四棱臺(tái)中，，令上下底面中心分別為，連接
，如圖，
對(duì)于A，，故，A正確；
對(duì)于B，平面，在直角梯形中，，
取中點(diǎn)，連接，有平面,故為與平面所成的角，
由于，故，因此與平面所成的角為，
平面平面，故與平面所成的角為，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C,過作，
由于平面，平面，,
平面，故平面，
平面，故，
則是平面與平面所成夾角，
因此，故C正確，
對(duì)于D，設(shè)外接球的球心為，連接,
設(shè)，則，
故，解得，，
故表面積為，D正確，
故選：ACD.
10. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
B. 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)
C. 對(duì)，點(diǎn)是的對(duì)稱中心
D. 當(dāng)時(shí)，直線不是的切線
【答案】ABC
【解析】
【分析】選項(xiàng)A根據(jù)可判斷；選項(xiàng)B根據(jù)極點(diǎn)的定義判斷即可；選項(xiàng)C由可判斷；選項(xiàng)D，根據(jù)斜率為0求得切線為可判斷.
【詳解】由得，
選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故A正確；
選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；
選項(xiàng)C：，，
故的對(duì)稱中心為，故C正確；
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，得
由得，，
故斜率為0時(shí)切線方程為，即，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC
11. 數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如圖，曲線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 點(diǎn)在上
B. 面積的最大值為
C. 曲線恰好經(jīng)過個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】將點(diǎn)代入曲線方程判斷A，由方程取求點(diǎn)的坐標(biāo)，取求坐標(biāo)，求直線與曲線的交點(diǎn)，由此判斷B，求直線與曲線的交點(diǎn)，判斷C，求到點(diǎn)距離和為的點(diǎn)的軌跡，求該軌跡與已知曲線的交點(diǎn)，由此判斷D.
【詳解】將點(diǎn)代入曲線的方程的左側(cè)可得，
所以點(diǎn)不在曲線上，A錯(cuò)誤；
由，
取可得，解得，
所以，
所以，
取，可得，故，
所以，
取，可得，
所以，即，
所以，
所以直線與曲線交于點(diǎn)，
結(jié)合圖象可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值為，
所以面積最大值為，B正確；
由，取，可得，
所以直線與曲線交于點(diǎn)，直線與曲線交于點(diǎn)，
所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
坐標(biāo)平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和為的點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，
設(shè)橢圓方程為，由已知，
又，故，
所以橢圓方程為，
聯(lián)立，所以，
所以，所以，
所以，
故橢圓與曲線的交點(diǎn)為，，
如圖：
故曲線上的所有點(diǎn)都滿足故選，D正確；
故選：BD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決關(guān)鍵在于結(jié)合曲線方程，確定曲線的范圍及曲線上的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中和的系數(shù)，即可得的展開式中的系數(shù).
【詳解】的展開式的通項(xiàng)式
當(dāng)時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，,
的展開式中含的系數(shù)為.
故答案為：.
13. 已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式計(jì)算得解.
【詳解】由等差數(shù)列可知，，
即，
所以，
故答案為：15
14. 在中，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分面積是面積的3倍，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，__________.
【答案】##
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用到角公式求出點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，數(shù)形結(jié)合，得到當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，的面積最大，結(jié)合余弦定理和同角的平方關(guān)系計(jì)算即可求解.
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，
由，得，又，所以，
則，設(shè)，直線的斜率分別為，
則，又，
由到角公式得，即，
得，
整理得，即，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓.
所以當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，的面積最大.
此時(shí)，
在中，由余弦定理得，
又為銳角，所以.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在處的切線為.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最大值.
【答案】（1）
（2）在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
【解析】
【分析】（1）由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，列方程求即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線為，
所以，，
又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
所以，
所以；
【小問2詳解】
由（1）知
當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)，
在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
又，，
.
16. 如圖所示，多面體滿足四邊形是等腰梯形，是正方形.平面平面
（1）證明：平面平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，即可求證平面，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
在等腰梯形中，，所以.
正方形中，，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，且，平?所以平面，
平面，從而,
又因?yàn)槠矫?，且，故平?
而平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
分別取中點(diǎn)
由等腰梯形和正方形的性質(zhì)知
由（1）知，，故可以為原點(diǎn)，為軸正方向建立坐標(biāo)系.
因?yàn)?，所以設(shè).則
,
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則.取，則
，取，則
故.
所以平面和平面夾角的余弦值為.
17. 某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某良性腫瘤與惡性腫瘤的一項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，利用該指標(biāo)可制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為患惡性腫瘤，小于或等于的人判定為患良性腫瘤.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將惡性腫瘤判定為良性腫瘤的概率，記為；誤診率是將良性腫瘤判定為惡性腫瘤的概率，記為.
（1）若利用臨界值進(jìn)行判定時(shí)，隨機(jī)抽取男女患者各200名進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)共有11名男性患者出現(xiàn)診斷問題（漏診或誤診），請(qǐng)完成如下的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷出現(xiàn)診斷問題是否與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過大量調(diào)查，得到良性腫瘤和惡性腫瘤患者該指標(biāo)的頻率分布直方圖如下：
假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.設(shè)函數(shù)，求的解析式，并解釋取得最小值時(shí)臨界值的實(shí)際意義.
出現(xiàn)診斷問題人數(shù)
未出現(xiàn)診斷問題人數(shù)
總計(jì)
男性人數(shù)
11
200
女性人數(shù)
總計(jì)
36
400
附：
【答案】（1）表格見解析，無關(guān)；
（2），答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二階列聯(lián)表計(jì)算卡方，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)題中條件進(jìn)行計(jì)算，再利用分段函數(shù)求最值即可.
【小問1詳解】
依題意，列出列聯(lián)表為：
零假設(shè)：出現(xiàn)診斷問題與性別無關(guān)，則
，
故可以認(rèn)為，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)證明零假設(shè)不成立，即認(rèn)為出現(xiàn)診斷問題與性別無關(guān)；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，
，
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
出現(xiàn)診斷問題人數(shù)
未出現(xiàn)診斷問題人數(shù)
總計(jì)
男性人數(shù)
11
189
200
女性人數(shù)
25
175
200
總計(jì)
36
364
400
當(dāng)時(shí)，
.
所以.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，有0.08.
在實(shí)際中，以取得最小值時(shí)的臨界值為標(biāo)準(zhǔn)，可以使漏診率與誤診率的和最小，是檢測效果最好的臨界值.
18. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且的最小值為4.
（1）求的方程；
（2）設(shè)過的另一直線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上.
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）對(duì)于（i）中的定點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）或
【解析】
【分析】（1）借助弦長公式構(gòu)造方程，結(jié)合二次函數(shù)得到最值計(jì)算即可；
（2）（i）設(shè)直線方程：.
直曲聯(lián)立.另外，由前問求出.進(jìn)而得到直線方程，化簡得到.即可求出定點(diǎn).
（ii）先求出和直線方程，還求出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線方程.
【小問1詳解】
設(shè)直線方程：，代入中，消去得.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，有的最小值為.
，故的方程為.
【小問2詳解】
（i）設(shè)直線方程：.
由消去得.①
又由（1）知，同理.
直線的斜率.
直線方程為，化簡得②
由①②得，即.
由得，即證明直線過定點(diǎn).
（ii）由（i）知，
直線方程為：，點(diǎn)到直線的距離，
，解得或6.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，或.
且，或.
直線方程為或.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理定點(diǎn)問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為k），
（2）利用條件得到有關(guān)k與x，y的等式，
（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論k的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于k與x，y的等式進(jìn)行變形，直至找到定點(diǎn)，
①若等式的形式為整式，則考慮將含k的式子歸為一組，讓系數(shù)等于0，求出定點(diǎn)；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去k變?yōu)槌?shù).
19. 數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)都成立，則稱為數(shù)列.
（1）設(shè)是等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，記，證明：數(shù)列是數(shù)列；
（2）若為數(shù)列，且，求證：；
（3）若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，等比數(shù)列性質(zhì)證明，結(jié)合新定義完成證明；
（2）設(shè)，由條件結(jié)合數(shù)列定義可得，再證明，，由此可證明結(jié)論；
（3）先證明，再證明，結(jié)合證
明結(jié)論.
【小問1詳解】
∵數(shù)列為等差數(shù)列，
∵數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，
∴，又
，
∴數(shù)列為數(shù)列；
【小問2詳解】
由為數(shù)列則
設(shè)則，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
解得：；
【小問3詳解】
由且，
∴，
∴
又
，
∴，
∴.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：（1）理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

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