全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.
4.本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊(cè).
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 計(jì)算的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩角差的余弦公式即可求解.
【詳解】，
故選：C.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式求出集合，利用交集的運(yùn)算求出結(jié)果.
【詳解】∵，
，
∴.
故選：A.
3. 已知，則的最大值為（ ）
A B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式的變形形式直接求解.
【詳解】由題意得，，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故選：B
4. 函數(shù)的減區(qū)間為（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】令，解得或，則的定義域?yàn)椋?br>令在上單調(diào)遞減，
又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，
故選：A.
5. 點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同的角確定角度與弧度所在的象限，從而得，，即可知點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的象限位置.
【詳解】解：因?yàn)?，，?023°為第三象限角，故，
因?yàn)?與終邊相同，又，故8是第二象限角，故，則點(diǎn)在第三象限.
故選：C.
6. 已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得是以6為周期的函數(shù)，結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以是?為周期的函數(shù)，
所以，
故選：D.
7. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷范圍，從而得解.
【詳解】
，
，
，
則.
故選：C.
8. 函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使得在上的值域也是，則稱為高斯函數(shù).若是高斯函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)條件建立方程組，可知是方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根，令，則在上有兩個(gè)不等實(shí)根，令，建立關(guān)于的不等式組，解之即可．
【詳解】在上單調(diào)遞增，則
所以是方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根，
令，則，
所以在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，對(duì)稱軸，
則，即，解得．
故選：B．
二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上是減函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】A選項(xiàng)中：設(shè)，其定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，
且冪函數(shù)在上是減函數(shù)，故A正確；
B選項(xiàng)中，設(shè)，其定義域?yàn)椋?，則為偶函數(shù)，
且，則其在上單調(diào)遞減，故B正確；
C選項(xiàng)中，設(shè)，其定義域?yàn)?，則，
故是偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減,
函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，
所以 上單調(diào)遞減,故C正確；
D選項(xiàng)中，設(shè)，是，
且其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故其為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于AC，利用完全平方公式與三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得所求，從而得以判斷；
對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A中結(jié)論，判斷得，從而求得的取值范圍，由此判斷即可；
對(duì)于D，利用選項(xiàng)C中的結(jié)論求得，進(jìn)而求得，據(jù)此解答即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，
所以，故A正確；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，
因?yàn)?，所以，故?br>所以，即，故B正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，，，所以，
因，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，?br>所以，故，故D正確.
故選：ABD.
11. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的可能取值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出變換后的解析式，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求出可得答案.
【詳解】
，
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，
因?yàn)樵摵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故選：AC.
12. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 的最大值為
D. 無最大值
【答案】AC
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；利用特值及單調(diào)性的定義可判斷B；利用基本不等式可判斷CD.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>又，
所以是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；
因?yàn)椋?br>又，所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的最大值即為在上的最大值.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)的定義域?yàn)開_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，即可求出結(jié)果.
【詳解】令，所以，
即函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
14. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)及在區(qū)間上單調(diào)遞增，分別解不等式，，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，得，解得.
由，得，解得或.
所以，即或解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
15. 已知，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用兩角和與差的正弦函數(shù)，展開已知表達(dá)式，求出，；然后得到結(jié)果.
【詳解】∵，∴．①
∵，∴．②
①+②，得．③
①②，得．④
③÷④,得．
故答案為：.
16. 已知函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像知函數(shù)最小值為0，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)對(duì)恒成立，通過二次函數(shù)過定點(diǎn)，討論其對(duì)稱軸所在位置從而求解.
【詳解】函數(shù)最小值為0，
設(shè)，
所以只要滿足恒成立，
函數(shù)對(duì)稱軸為，且，
①，即時(shí)，滿足題意；
②，即時(shí)，
需滿足，
即，得，
此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
17. 已知全集.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合，利用集合的運(yùn)算即可求出結(jié)果；
（2）由題意轉(zhuǎn)化為恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
，
若，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)椤啊笔恰啊背浞謼l件，所以恒成立，
即恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)的圖象，可得，，得到，再由，求得，即可求解；
（2）由不等式，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)的圖象，可得，，
可得，所以，即，
又由，即，
可得，即，
因?yàn)?，可得，所?
【小問2詳解】
由不等式，可得，可得，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
19. 已知函數(shù)且.
（1）求的定義域，判斷的奇偶性并給出證明；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）定義域?yàn)?，奇函?shù)，證明見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)為正數(shù)列式可解得定義域；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明的奇偶性；
（2）不等式化簡(jiǎn)后，分類討論底數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.
【小問1詳解】
令，解得，則的定義域?yàn)?
因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)；
【小問2詳解】
，即.
因?yàn)?
令，易得在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，解得
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，解得.
綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
20. 已知函數(shù)的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為.
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)求解，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律得到，由題意可求得，，由利用兩角差的正弦公式即可求解.
【小問1詳解】
，
因?yàn)榈南噜弮蓚€(gè)對(duì)稱中心間的距離為，所以，解得，
所以.
令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，
再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，
所以，即，
又，所以，又，
所以，所以，
所以
.
21. 已知函數(shù).
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知列出關(guān)于的方程，求解即可；
（2）化簡(jiǎn)，令，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求最大值即可.
【小問1詳解】
，
解得或；
【小問2詳解】
.
令，所以.
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
綜上所述，.
22. 已知函數(shù).
（1）若，求的值域；
（2）若，存在實(shí)數(shù)，，當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得到解析式，令結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；
（2）首先可得在上單調(diào)遞增，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，根據(jù)一元二次方程根的分布得到不等式組，解得即可.
【小問1詳解】
若則，令，
令，二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，
所以當(dāng)時(shí)，
所以的值域?yàn)椋?br>【小問2詳解】
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，的值域?yàn)椋?br>即，
即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
令，所以在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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