專題13.1 期中期末專項復(fù)習(xí)之平面圖形的認(rèn)識（二）二十五大必考點-最新蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)精講精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、注重生活聯(lián)系，形式活潑多樣。初中生的數(shù)學(xué)思維能力正逐步由直觀形象思維向抽象思維發(fā)展。這個發(fā)展需要一定的過程。
2、注重動手操作，引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索與合作交流也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。
3、注重“過程”和數(shù)學(xué)思想方法。新教材通過讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的形成過程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更多地成為其發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)的過程。
專題13.1 平面圖形的認(rèn)識（二）二十五大必考點
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12633" 【考點1 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】 PAGEREF _Tc12633 \h 1
\l "_Tc7057" 【考點2 三線八角中的截線問題】 PAGEREF _Tc7057 \h 4
\l "_Tc14909" 【考點3 根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】 PAGEREF _Tc14909 \h 6
\l "_Tc15727" 【考點4 直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】 PAGEREF _Tc15727 \h 13
\l "_Tc28844" 【考點5 與垂線有關(guān)的角度計算或證明】 PAGEREF _Tc28844 \h 16
\l "_Tc20776" 【考點6 利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】 PAGEREF _Tc20776 \h 20
\l "_Tc28429" 【考點7 平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc28429 \h 26
\l "_Tc3461" 【考點8 利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc3461 \h 32
\l "_Tc26386" 【考點9 平行線的運用（單一輔助線）】 PAGEREF _Tc26386 \h 39
\l "_Tc9018" 【考點10 平行線的運用（多條輔助線）】 PAGEREF _Tc9018 \h 46
\l "_Tc7497" 【考點11 平行線在折疊問題的運用】 PAGEREF _Tc7497 \h 56
\l "_Tc18612" 【考點12 平行線在三角尺中的運用】 PAGEREF _Tc18612 \h 60
\l "_Tc18968" 【考點13 平行線中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc18968 \h 65
\l "_Tc2482" 【考點14 平行線中的轉(zhuǎn)角問題】 PAGEREF _Tc2482 \h 74
\l "_Tc21382" 【考點15 與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 PAGEREF _Tc21382 \h 81
\l "_Tc8272" 【考點16 利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關(guān)系】 PAGEREF _Tc8272 \h 89
\l "_Tc11921" 【考點17 與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 PAGEREF _Tc11921 \h 95
\l "_Tc2979" 【考點18 與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 PAGEREF _Tc2979 \h 105
\l "_Tc27609" 【考點19 三角形的三邊關(guān)系的運用】 PAGEREF _Tc27609 \h 112
\l "_Tc30759" 【題型20 三角形的中線、高、角平分線】 PAGEREF _Tc30759 \h 114
\l "_Tc21214" 【題型21 多邊形的內(nèi)角和與外角和】 PAGEREF _Tc21214 \h 118
\l "_Tc28799" 【題型22 生活中的平移現(xiàn)象】 PAGEREF _Tc28799 \h 120
\l "_Tc18491" 【題型23 圖形的平移】 PAGEREF _Tc18491 \h 122
\l "_Tc16732" 【題型24 利用平移的性質(zhì)求解】 PAGEREF _Tc16732 \h 124
\l "_Tc24173" 【題型25 利用平移解決實際問題】 PAGEREF _Tc24173 \h 127
【考點1 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】
【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）
A．∠1和∠2是同旁內(nèi)角B．∠1和∠3是對頂角
C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是內(nèi)錯角
【答案】A
【分析】根據(jù)對頂角、鄰補角、同位角、內(nèi)錯角定義判斷即可．
【詳解】A. ∠1和∠2是鄰補角，故此選項錯誤；
B. ∠1和∠3是對頂角，此選項正確；
C. ∠3和∠4是同位角，此選項正確；
D. ∠1和∠4是內(nèi)錯角，此選項正確；
故選A.
【點睛】此題考查對頂角，鄰補角，同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.
【變式1-1】（2022·青海·中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）
A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角
B．同位角、內(nèi)錯角、對頂角
C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角
D．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
【答案】D
【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為內(nèi)錯角；兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．
【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，可知
第一個圖是同位角，第二個圖是內(nèi)錯角，第三個圖是同旁內(nèi)角．
故選：D．
【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．
【變式1-2】（2022·河北保定·七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是( )
A．∠C與∠1是內(nèi)錯角
B．∠2與∠3是內(nèi)錯角
C．∠A與∠B是同旁內(nèi)角
D．∠A與∠3是同位角
【答案】B
【分析】根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角，內(nèi)錯角的定義可以得到A、C、D是正確的，∠2與∠3是鄰補角，不是內(nèi)錯角．
【詳解】A、∠C與∠1是內(nèi)錯角，故本選項正確；
B、∠2與∠3是鄰補角，故本選項錯誤；
C、∠A與∠B是同旁內(nèi)角，故本選項正確；
D、∠A與∠3是同位角，故本選項正確．
故選B．
【點睛】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的概念，比較簡單．
【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級中學(xué)七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內(nèi)錯角有b對，同旁內(nèi)角有c對，則a+b?c的值是____________
【答案】6
【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的定義分別得到a，b，c的值，即可求解．
【詳解】∵同位角有：∠8與∠4，∠5與∠1，∠7與∠3，∠6與∠2，∠4與∠9，∠7與∠9，共6對；內(nèi)錯角有：∠7與∠1，∠6與∠4，∠5與∠9，∠2與∠9，共4對，同旁內(nèi)角有：∠7與∠4，∠6與∠1，∠1與∠9，∠6與∠9共4對，
∴a=6，b=4,c=4，
∴a+b?c=6，
故答案是：6．
【點睛】本題主要考查同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的定義，掌握它們的定義，是解題的關(guān)鍵．
【考點2 三線八角中的截線問題】
【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級期末）如圖，已知∠1和∠2是內(nèi)錯角，則下列表述正確的是（）
A．∠1和∠2是由直線AD、AC被CE所截形成的
B．∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的
C．∠1和∠2是由直線DA、DB被CE所截形成的
D．∠1和∠2是由直線DA、DB被AC所截形成的
【答案】B
【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義進行判斷即可求解．
【詳解】解：如圖，∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的內(nèi)錯角．
故選：B
【點睛】本題考查了內(nèi)錯角的判斷，熟知內(nèi)錯角的定義是解題關(guān)鍵，弄清哪兩條直線被第三條直線所截才能形成內(nèi)錯角是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·山東濟寧·七年級期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（）形成的內(nèi)錯角
A．直線AD、BC被直線BD所截B．直線AB、CD被直線BD所截
C．直線AB、CD被直線AC所截D．直線AD、BC被直線AC所截
【答案】B
【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義即可完成．
【詳解】由圖知，∠ABD與∠BDC是直線AB、CD被直線BD所截形成的內(nèi)錯角
故選：B
【點睛】本題考查了內(nèi)錯角的識別，兩條直線被第三條直線所截，若兩個角在兩條截線之間，且在被截線的兩旁，則稱這對角為內(nèi)錯角，掌握內(nèi)錯角的含義是正確識別內(nèi)錯角的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學(xué)七年級期末）如圖，∠2與∠3是直線______、____被第三條直線_____所截形成的_______．
【答案】 AB AC BD 同旁內(nèi)角
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義即可判斷．
【詳解】由同旁內(nèi)角的概念可知：
如圖所示，∠2與∠3是直線AB，AC被直線BD所截而成的同旁內(nèi)角；
故答案為：AB；AC；BD；同旁內(nèi)角；
【點睛】本題考查了同旁內(nèi)角的定義，熟悉掌握同旁內(nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·全國·七年級）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出：
(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角.
(2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角.
(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.
【答案】(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角是∠2和∠5； (2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角是∠1和∠7；(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角是∠3和∠4
【分析】根據(jù)兩條直線被第三條直線所截，所形成的角中，兩角在兩條直線的中間，第三條直線的兩旁，可得內(nèi)錯角，兩角在兩直線的中間，第三條直線的同側(cè)，可得同旁內(nèi)角，兩角在兩條直線的同側(cè)，第三條直線的同側(cè)，可得同位角.
【詳解】解：(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角是∠2和∠5.
(2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角是∠1和∠7.
(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角是∠3和∠4.
【點睛】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成F形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成Z形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成U形．
【考點3 根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】
【例3】（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．
證明：∵∠1=∠2（已知），
∴______∥______（________________________）．
∴∠A=∠BED（_____________________________）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代換）．
∴______∥______（__________________________）．
∴∠B=∠C（______________________________）．
【答案】DE；AF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；AB；CD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等
【分析】先通過已知條件證明DE∥AF，再由兩直線平行同位角相等和等量代換證出AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠B=∠C．
【詳解】證明：∵∠1=∠2（已知），
∴DE∥AF（同位角相等，兩直線平行）．
∴∠A=∠BED（兩直線平行，同位角相等）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代換）．
∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
∴∠B=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
故答案為：DE；AF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；AB；CD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進修學(xué)校七年級期末）如圖所示，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H，HN是∠DHG的平分線．
(1)如果GM是∠BGE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系；
證明：∵AB∥CD，
∴∠BGE＝______（兩直線平行，同位角相等．）
∵GM是∠BGE的平分線，
∴______＝______=12∠BGE
∵HN是∠DHG的平分線
∴______＝______=12∠DHG
∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）
∴GM和HN的位置關(guān)系是______，（___________________）．
(2)如果GM是∠AGH的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）
(3)如果GM是∠BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想不必證明．
【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；GM∥HN；同位角相等，兩直線平行；
(2)成立
(3)不成立，GM⊥HN．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠MGE=∠NHG，再利用平行線的判定即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠HGM=∠NHG，再利用平行線的判定即可；
（3）設(shè)GM與HN交于點P，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠GPH=90°即可解答．
（1）證明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DHG（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴∠BGM＝∠MGE＝12∠BGE∵HN是∠DHG的平分線∴∠DHN＝∠NHG＝12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關(guān)系是GM∥HN（同位角相等，兩直線平行）．
（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵GM是∠AGH的平分線，∴∠AGM= ∠HGM=∠AGH，∵HN是∠DHG的平分線，∴∠GHN=∠DHN=∠DHG，∴∠HGM=∠NHG（等量代換）∴GM∥HN．
（3）（3）（1）中的結(jié)論不成立，GM⊥HN，理由：如圖：設(shè)GM與HN交于點P，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°，∵GM是∠BGH的平分線，∴∠BGM= ∠HGM=12∠BGH，∵HN是∠DHG的平分線，∴∠GHN=∠DHN=12∠DHG，∴∠HGM+ ∠NHG=12∠BGH+12∠DHG=90°，∴∠GPH=180°-（∠HGM+ ∠NHG）=90°∴GM⊥HN．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正確的結(jié)論有____．（填序號）
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正確；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2=180°，
∴2∠1+∠2=180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4=90°（2），
∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正確；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3=180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1+∠3=180°，
∴2∠1+2∠3=360°（3），
∵2∠1+∠2=180°（1），
（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正確；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4=180°，
∴∠3+∠AEC+∠4=180°，
∵AE⊥CE，
∴∠1+∠AEC=90°，
∴∠AEC=90°-∠1，
∴∠3+∠4-∠1=90°，
∵2∠1-∠4=90°，
∴∠1=45°+12∠4，
∴∠3+12∠4=135°，故④正確．
綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．
【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．
(1)求證：∠B＝∠D；
(2)如圖2，點E在線段AD上，點G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；
(3)如圖3，在(2)的條件下，點E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)57°
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠B=180°，進而推出∠C+∠B=180°，即可證明AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，據(jù)此即可證明結(jié)論；
（2）先由平行線的性質(zhì)得到∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，進而推出∠EBG=∠CBG=∠G，即可證明BG是∠EBC的平分線；
（3）設(shè)∠GDH=∠HDC=α，設(shè)∠EBG=∠CBG=β，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出66°+2β+2α=180°，則α+β=57°，過點H作HP∥AB交AG于P，得到∠PHB+∠ABH=180°，推出∠DHP=∠HDC=α，則∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∠BHD=57°；
（1）
解：∵ AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D；
（2）
解：∵ AD∥BC，
∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，
∵∠AEB=2∠G，
∴∠CBE=2∠G，
∴∠EBG+∠CBG=2∠G，
∴∠EBG=∠CBG=∠G，
∴BG是∠EBC的平分線；
（3）
解：∵ DH是∠GDC的平分線，
∴∠GDH=∠HDC，
設(shè)∠GDH=∠HDC=α，
∵AD∥BC，
∴∠BCD=∠GDC=2α，
設(shè)∠EBG=∠CBG=β，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°，
∴66°+2β+2α=180°，
∴α+β=57°，
過點H作HP∥AB交AG于P，
∴∠PHB+∠ABH=180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥HP，
∴∠DHP=∠HDC=α，
∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°
即α+∠BHD+66°+β=180°，
∴∠BHD=57°；
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
【考點4 直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】
【例4】（2022·河南洛陽·七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時，測得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可以轉(zhuǎn)動的角度為（）
A．28°B．56°C．62°D．84°
【答案】B
【分析】此題可以構(gòu)造平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行分析計算．
【詳解】解：如圖所示，
過點O作DE∥AC，
則有∠1=∠OAC=28°
而∠2=∠1，
所以，上下最大可以轉(zhuǎn)動的角度為∠2=∠1=56°．
故選：B．
【點睛】本題是一道生活問題，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于平行線的問題，解題關(guān)鍵是利用“兩直線平行,同位角相等”解答．
【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時針旋轉(zhuǎn)了35°，∠2是（）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．
【詳解】解：如圖，
根據(jù)題意得，∠1=75°，∠AOB=35°，
∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°，
當(dāng)∠2=∠AOB時，a∥b，
∴∠2=40°，
故選：C．
【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，現(xiàn)將三角板DEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF第一次與AB平行時，∠CDF的度數(shù)是（
A．15°B．30°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】過點D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，由平行線的性質(zhì)得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，則可求出答案．
【詳解】解：過點D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，
∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，
∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，
∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．
故答案為：15°．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級期末）如圖，直線l1∥l2，現(xiàn)將一個含30°角的直角三角板的銳角頂點B放在直線l2上，將三角板繞點B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直角l1相交于點D，若∠1=35°，則圖中的∠2的值為（）
A．65°B．75°C．85°D．80°
【答案】A
【分析】過A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3，進而求得∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出答案．
【詳解】解：過C作CE∥l1，
∵l1∥l2，
∴CE∥l1∥l2，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠4=90°-∠3=55°，
∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．
故選：A．
【點睛】題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用平行線的性質(zhì)和判定定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．
【考點5 與垂線有關(guān)的角度計算或證明】
【例5】（2022·湖南·測試·編輯教研五七年級期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，F(xiàn)G⊥AC于G，你能說明BD與AC互相垂直嗎？
【答案】見解析
【分析】根據(jù)∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．
【詳解】證明：∵∠1=∠C，
∴ ED∥BC，
∴∠2=∠DBC，
∵∠2=∠3，
∴∠DBC=∠3
∴BD∥FG，
∵FG⊥AC，
∴BD⊥AC．
【點睛】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)及判定，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，才能推出兩被截直線平行．
【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級期末）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù)．
如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：AD⊥BC．
解：因為DG//BA（已知），
所以∠2=∠BAD（____________）．
因為∠1=∠2（已知），
所以______（等量代換），
所以EF//______（____________）．
所以∠EFB=______（兩直線平行，同位角相等）
因為EF⊥BC（已知），
所以∠EFB=90°（____________）．
所以∠ADF=90°（等量代換），
所以______（垂直的定義）．
【答案】兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC
【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．
【詳解】解：因為DG//BA（已知），
所以∠2=∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
因為∠1=∠2（已知），
所以∠1=∠BAD（等量代換），
所以EF//AD（同位角相等，兩直線平行），
所以∠EFB=∠ADB（兩直線平行，同位角相等），
因為EF⊥BC（已知），
所以∠EFB=90°（垂直的定義），
所以∠ADF=90°（等量代換），
所以AD⊥BC（垂直的定義），
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC．
【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．
（1）AD與BC平行嗎？為什么？
（2）根據(jù)題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們平行（不必說明理由）．
【答案】（1）平行，理由見解析；（2）不能，可添加CD⊥AC．
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）平行．理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°．
∵∠B=60°，
∴∠B+∠BAD=60°+120°=180°，
∴AD∥BC；
（2）不能判斷AB與CD平行，添加CD⊥AC即可判斷AB與CD平行．
∵ AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AB∥CD．
【點睛】本題主要考查平行線的判定定理，掌握“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·全國·七年級）已知：直線MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點C是線段AB上一定點，點D是射線AN上一動點，連接CD．
(1)在圖1中過點C作CE⊥CD，與射線BQ交于E點．
①依題意補全圖形；
②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如圖2所示，點F是射線BQ上一動點，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線交于點G，請用含有α的代數(shù)式來表示∠DGF，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)∠DGF=180°-12α，理由見解析
【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可．②過點C作CT∥MN．利用平行線的性質(zhì)和判定以及垂線的性質(zhì)解決問題．
（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本結(jié)論可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分線的定義及鄰補角的性質(zhì)即可求解．
(1)
解：①圖形如圖所示．
②證明：過點C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．
(2)
解：∠DGF=180°-12α，理由如下：
如圖，
由（1）的結(jié)論可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN=12∠CDN，∠GFQ=12∠CFQ，
∴∠DGF=12（∠CDN+∠CFQ）=12（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=12（360°-∠DCF）=180°-12α．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．
【考點6 利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】
【例6】（2022·福建福州·七年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，點F，G在BC上，EF與DG交于點O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．
(1)判斷DE與BC的位置關(guān)系，并證明；
(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)62°
【分析】（1）由∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180°，得到∠1=∠DOE，則BD∥EF，∴ ∠B=∠EFC，由∠B=∠3，∠3=∠EFC，即可證明DE∥BC；
（2）由（1）的結(jié)論得到∠3=∠EFC，則∠AEF=118°，再由同旁內(nèi)角的性質(zhì)得到∠A的度數(shù)即可．
（1）
∵ ∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180°，
∴ ∠1=∠DOE，
∴ BD∥EF，
∴ ∠B=∠EFC，
∵ ∠B=∠3，
∴ ∠3=∠EFC，
∴ DE∥BC．
（2）
由（1）知： ∠3=∠EFC
∵ ∠AED+∠EFC=118°
∴ ∠3+∠AED=∠AEF=118°
由（1）知BD∥EF,
且∠AEF、∠A互為同旁內(nèi)角，
∴∠AEF+∠A=180°，
∴∠A=180°?∠AEF=180°?118°=72°
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定式關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022·河南漯河·七年級期末）已知：如圖，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度數(shù)；
(2)判斷BE與CD的位置關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1)45°
(2)BE∥CD；證明見解析
【分析】（1）根據(jù)∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，從而得到∠EDC+∠C=180°，結(jié)合∠EDC＝3∠C，代入計算即可．
（2）根據(jù)∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，從而得到∠E=∠ABE，結(jié)合∠C＝∠E，得到∠ABE=∠C，得到BE∥CD．
（1）
∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠EDC+∠C=180°，
∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C=180°，
∴∠C=45°．
（2）
BE與CD的位置關(guān)系是BE∥CD．理由如下：
∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠E=∠ABE，
∵∠C＝∠E，
∴∠ABE=∠C，
∴BE∥CD．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·廣東湛江·七年級期末）如圖所示，已知射線CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，根據(jù)上述條件，解答下列問題：
(1)證明：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度數(shù)；
(3)若平行移動AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)∠EOB=35°
(3)不變，∠OBC:∠OFC=1:2．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠COA，再根據(jù)∠COA+∠OAB=180°，可得OC∥AB；
（2）根據(jù)∠FOB=∠AOB， OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA ，即可得出答案；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠OBC=∠BOA,∠OFC=∠FOA，再根據(jù)∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB ，即可得出答案．
（1）
∵CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，
∴∠COA=180°?∠C=180°?110°=70°，
∴∠COA+∠OAB=180°，
∴OC∥AB；
（2）
∵∠FOB=∠AOB，
∴OB平分∠AOF，
又OE平分∠COF，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA=12×70°=35°；
（3）
不變．
∵CB∥OA，
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA，
又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2．
【點睛】本題考查平行線、角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清各角間的關(guān)系時解題關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022·北京密云·七年級期末）已知：點C是∠AOB的OA邊上一點（點C不與點O重合），點D是∠AOB內(nèi)部一點，射線CD不與OB相交．
(1)如圖1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，過點O作射線OE，使得OE//CD．（其中點E在∠AOB內(nèi)部）．
①依據(jù)題意，補全圖1；
②直接寫出∠BOE的度數(shù)．
(2)如圖2，點F是射線OB上一點，且點F不與點O重合，當(dāng)∠AOB=α0°0，a?c?b2a，
解得：2

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