1. 8的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)解答．
【詳解】解：8的相反數(shù)是-8．
故選：D．
【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
2. 某個立體圖形的側(cè)面展開圖如圖所示，它的底面是正三角形，那么這個立體圖形是（ ）
A. 圓柱B. 圓錐C. 三棱柱D. 四棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)常見立體圖形的底面和側(cè)面即可得出答案．
【詳解】解：A選項，圓柱的底面是圓，故該選項不符合題意；
B選項，圓錐的底面是圓，故該選項不符合題意；
C選項，三棱柱的底面是三角形，側(cè)面是三個長方形，故該選項符合題意；
D選項，四棱柱的底面是四邊形，故該選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，掌握棱柱的底面是邊形是解題的關(guān)鍵．
3. 下列運算結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項判斷A選項；根據(jù)同底數(shù)冪的除法判斷B選項；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法判斷C選項；根據(jù)冪的乘方判斷D選項．
【詳解】解：A選項，原式，故該選項符合題意；
B選項，原式，故該選項不符合題意；
C選項，原式，故該選項不符合題意；
D選項，原式，故該選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方與積的乘方，掌握是解題的關(guān)鍵．
4. 某村通過直播帶貨對產(chǎn)出的稻蝦米進行線上銷售，連續(xù)7天的銷量（單位：袋）分別為：105，103，105，110，108，105，108，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A. 105，108B. 105，105C. 108，105D. 108，108
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為103，105，105，105，108，108，110，
這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是105，
所以眾數(shù)為105，
最中間的數(shù)據(jù)是105，
所以中位數(shù)105，
故選：B．
【點睛】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
5. 如圖，已知，于點，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：在中，，，
則，
∵，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
6. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 對頂角相等
B. 平行四邊形的對角線互相垂直
C. 三角形的內(nèi)心是它的三條邊的垂直平分線的交點
D. 三角分別相等的兩個三角形是全等三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對頂角性質(zhì)判斷A，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判斷B，根據(jù)三角形的內(nèi)心定義判斷C，根據(jù)全等三角形的判定定理判斷D．
【詳解】A.對頂角相等是一個正確的命題，是真命題，故A符合題意；
B.菱形對角線互相垂直，非菱形的平行四邊形的對角線不垂直，所以平行四邊形的對角線互相垂直是一個假命題，故B不符合題意；
C.三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點，不一定是三邊的垂直平分線的交點，則三角形的內(nèi)心是它的三條邊的垂直平分線的交點是一個假命題，故C不符合題意；
D.三角分別相等的兩個三角形不一定全等，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了真命題與假命題的判斷，對頂角的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心定義，全等三角形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)、定義、定理是解決問題的關(guān)鍵．
7. 我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀危看笠鉃椋航裼?00頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個問題中，城中人家的戶數(shù)為（ ）
A. 25B. 75C. 81D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)城中有戶人家，利用鹿的數(shù)量城中人均戶數(shù)城中人均戶數(shù)，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)城中有戶人家，
依題意得：，
解得：，
∴城中有75戶人家．
故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
8. 已知二次函數(shù)（為常數(shù)，），點是該函數(shù)圖象上一點，當時，，則的取值范圍是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出拋物線的對稱軸及拋物線與軸的交點坐標，再分兩種情況：或，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的不同取值范圍便可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴對稱軸為，拋物線與軸的交點為，
∵點是該函數(shù)圖象上一點，當時，，
∴①當時，對稱軸，
此時，當時，，即，
解得；
②當時，對稱軸，
當時，隨增大而減小，
則當時，恒成立；
綜上，的取值范圍是：或．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)，關(guān)鍵是分情況討論．
二、填空題（本大題共8小題，共32分）
9. 使有意義的的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式即可求得的取值范圍．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是利用被開方數(shù)是非負數(shù)得出不等式．
10. 2024年5月14日，編號為B-001J的大飛機首飛成功．數(shù)據(jù)顯示，大飛機的單價約為65300000元，數(shù)據(jù)653000000用科學記數(shù)法表示為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用科學記數(shù)法的定義解決．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】考查科學記數(shù)法的定義，關(guān)鍵是理解運用科學記數(shù)法．
11. 如圖，在中，，于點，若，則______．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知是的中點，即可求出的長．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．
12. 分式方程的解為______．
【答案】2
【解析】
【分析】去分母，移項、合并同類項，再對所求的根進行檢驗即可求解．
【詳解】解：，
，
，
經(jīng)檢驗是方程的解．
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，注意對所求的根進行檢驗是解題的關(guān)鍵．
13. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式求出的取值即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．
14. 聚焦“雙減”政策落地，凸顯寒假作業(yè)特色．某學校評選出的寒假優(yōu)質(zhì)特色作業(yè)共分為四類：A（節(jié)日文化篇），（安全防疫篇），（勞動實踐篇），（冬奧運動篇）下面是根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，則類作業(yè)有______份．
【答案】20
【解析】
【分析】由條形統(tǒng)計圖可得A，，類作業(yè)分別有25份，30份，25份，由扇形統(tǒng)計圖可得類作業(yè)份數(shù)占總份數(shù)的，可得總份數(shù)為份，減去A，，類作業(yè)的份數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵類作業(yè)有30份，且類作業(yè)份數(shù)占總份數(shù)的，
∴總份數(shù)為：（份），
∵A，類作業(yè)分別有25份，25份，
∴類作業(yè)的份數(shù)為：（份）．
故答案為：20．
【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)統(tǒng)計圖提取所需信息．
15. 喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汩羅江國際龍舟競渡中心廣場點處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點位于點的北偏西方向上，終點位于點的北偏東方向上，米，則點到賽道的距離約為______米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．
【答案】87
【解析】
【分析】過點作，垂足為，設(shè)米，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，再根據(jù)米，列出關(guān)于的方程，進行計算即可解答．
【詳解】解：過點作，垂足為，
設(shè)米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴點到賽道的距離約為87米，
故答案為：87．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在中，為直徑，，為弦，過點的切線與的延長線交于點，為線段上一點（不與點重合），且．
（1）若，則的長為______（結(jié)果保留）；
（2）若，則______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧長公式求解；
（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性質(zhì)求出DE，BE，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵，
∴的長；
故答案為：；
（2）連接，
∵是切線，是直徑，
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查圓的相關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理，正確尋找相似三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共64分）
17. 計算：．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，實數(shù)的運算，有理數(shù)的乘方，絕對值等計算法則求解即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，實數(shù)的運算，有理數(shù)的乘方，絕對值，準確熟練地化簡各式是解題的關(guān)鍵．
18. 已知，求代數(shù)式的值．
【答案】-2
【解析】
【分析】先化簡所求的式子，再結(jié)合已知求解即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【點睛】本題考查代數(shù)式的運算，熟練掌握單項式乘多項式，平方差公式是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，點，分別在的邊，上，，連接，．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使為菱形．
（1）你添加的條件是______（填序號）；
（2）添加了條件后，請證明為菱形．
【答案】（1）① （2）見解析
【解析】
【分析】（1）添加合適的條件即可；
（2）證，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：添加的條件是．
故答案為：①．
【小問2詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴為菱形．
【點睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
20. 守護好一江碧水，打造長江最美岸線．江豚，麋鹿，天鵝已成為岳陽“吉祥三寶”新名片．某校生物興趣小組設(shè)計了3張環(huán)保宣傳卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同．
（1）將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為______；
（2）將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“江豚”和“天鵝”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）將江豚，麋鹿，天鵝三張卡片分別記作①、②、③，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【小問1詳解】
將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，
則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為，
故答案為：；
【小問2詳解】
將江豚，麋鹿，天鵝三張卡片分別記作①、②、③，
列表如下：
由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中抽取的卡片正面圖案恰好是“江豚”和“天鵝”的有2種結(jié)果，
所以抽取的卡片正面圖案恰好是“江豚”和“天鵝”的概率為．
【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21. 如圖，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點和點，點是點關(guān)于軸的對稱點，連接，．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）求的面積；
（3）請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）4 （3）或
【解析】
【分析】（1）把點代入可得的值，求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)對稱性求得、的坐標然后利用三角形面積公式可求解．
（3）根據(jù)圖象得出不等式的解集即可．
【小問1詳解】
解：把點代入得：，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點和點，
∴，
∵點是點關(guān)于軸的對稱點，
∴，
∴，
∴．
【小問3詳解】
根據(jù)圖象得：不等式的解集為或．
【點睛】本題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
22. 為迎接湖南省第十四屆運動會在岳陽舉行，某班組織學生參加全民健身線上跳繩活動，需購買A，兩種跳繩若干．若購買3根A種跳繩和1根種跳繩共需140元；若購買5根A種跳繩和3根種跳繩共需300元．
（1）求，兩種跳繩的單價各是多少元？
（2）若該班準備購買，兩種跳繩共46根，總費用不超過1780元，那么至多可以購買種跳繩多少根？
【答案】（1）A種跳繩的單價為30元，種跳繩的單價為50元
（2）至多可以購買種跳繩20根
【解析】
【分析】（1）設(shè)種跳繩的單價為元，種跳繩的單價為元．由題意：若購買3根種跳繩和1根種跳繩共需元；若購買5根A種跳繩和3根種跳繩共需300元．列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)購買種跳繩根，則購買A種跳繩根，由題意：總費用不超過1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)A種跳繩的單價為元，種跳繩的單價為元．
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：A種跳繩的單價為30元，種跳繩的單價為50元．
【小問2詳解】
設(shè)購買種跳繩根，則購買A種跳繩根，
由題意得：，
解得：，
答：至多可以購買種跳繩20根．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出不等關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23. 如圖，和的頂點重合，，，，．
（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點，分別在，上時，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；
（2）探究證明：如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）拓展運用：如圖3，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于點，當時，求的值．
【答案】（1） ，垂直
（2）成立，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）解直角三角形求出，，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論不變，證明，推出，，可得結(jié)論；
（3）如圖3中，過點作于點，設(shè)交于點，過點作于點求出，，可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，此時，
故答案為：，垂直；
【小問2詳解】
結(jié)論成立．
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問3詳解】
如圖3中，過點作于點，設(shè)交于點，過點作于點．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，，
當時，四邊形是矩形，
∴，，
設(shè)，則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
24. 如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過點和點．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖2，作拋物線，使它與拋物線關(guān)于原點成中心對稱，請直接寫出拋物線的解析式；
（3）如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側(cè)）．
①求點和點的坐標；
②若點，分別為拋物線和拋物線上，之間的動點（點，與點，不重合），試求四邊形面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）①或；②12
【解析】
【分析】（1）將點和點代入，即可求解；
（2）利用對稱性求出函數(shù)頂點關(guān)于原點的對稱點為，即可求函數(shù)的解析式；
（3）①通過聯(lián)立方程組，求出點和點坐標即可；
②求出直線的解析式，過點作軸交于點，過點作軸交于點，設(shè)，，則，，可求，，由，分別求出的最大值4，的最大值2，即可求解．
【小問1詳解】
解：將點和點代入，
∴，解得，
∴．
【小問2詳解】
∵，
∴拋物線的頂點，
∵頂點關(guān)于原點的對稱點為，
∴拋物線的解析式為，
∴．
【小問3詳解】
由題意可得，拋物線的解析式為，
①聯(lián)立方程組，
解得或，
∴或；
②設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴，
過點作軸交于點，過點作軸交于點，如圖所示：
設(shè)，，
則，，
∴，
，
∵，，
∴當時，有最大值，
當時，有最大值，
∵，
∴當最大時，四邊形面積的最大值為12．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖象平移和對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．①
②
③
①
②
③

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2024年湖南省岳陽市中考數(shù)學模擬試卷（解析版）：

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