一、選擇題
1．若，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2．“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3．若函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為( )
A.B.C.D.
4．已知，是兩個(gè)非零平面向量，，則在方向上的投影向量為( )
A.B.C.D.
5．在1和11之間插入m個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.若這m個(gè)數(shù)中第1個(gè)為a，第m個(gè)為b，則的最小值是( )
A.B.2C.3D.
6．在三角形內(nèi)到其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)，在中，若，且，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為( )
A.B.C.D.
7．正方體的棱長為2，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，則三棱錐的體積為( )
A.B.C.D.1
8．已知函數(shù)若方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)x，y都有，當(dāng)時(shí)，，，則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.若，則
C.是增函數(shù)D.
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí)，的最小正周期為
B.函數(shù)過定點(diǎn)
C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為
D.函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
11．如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，G為面對角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有( )
A.三棱錐的體積為定值.
B.無論點(diǎn)G在線段的什么位置，都有平面平面
C.線段上存在G點(diǎn)，使平面平面.
D.G為上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，直線與所成角最小
三、填空題
12．底面直徑為2的圓錐，它的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的表面積為________.
13．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則________.
14．如圖，在中，，，直線l與邊，分別交于M，N兩點(diǎn)，且的面積是面積的一半.設(shè)，，記，則的最小值與最大值之和為________.
四、解答題
15．若銳角中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且的面積為
(1)求B；
(2)求的取值范圍.
16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
17．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角三角形，，點(diǎn)E、F分別在、上，且，，.
(1)若平面，求；
(2)若，求二面角的余弦值.
18．定義：記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間I上的凹函數(shù)；若在區(qū)間I上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間I上的凸函數(shù).已知函數(shù)，.
(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；
(2)若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)求證：當(dāng)時(shí)，.
19．正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，定義.當(dāng)集合中恰有個(gè)元素時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).
(1)判斷集合，是否具有性質(zhì)；
(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值：
(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．答案：D
解析：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.
故選：D
2．答案：A
解析：由“數(shù)列為遞增數(shù)列”，
得，
所以恒成立，所以，
由得，由不一定有，
故“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A.
3．答案：B
解析：函數(shù)，定義域?yàn)镽，
且滿足，
為R上的奇函數(shù)；
又恒成立，
為R上的單調(diào)增函數(shù)；
又，得，
，即，
解得或，
所以x的取值范圍是.
故選B.
4．答案：C
解析：由于，
則，即，
可得，
則在方向上的投影向量為.
故選：C
5．答案：C
解析：由題可知，，，
所以有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)a，b滿足，，所以的最小值是3.
故選：C.
6．答案：B
解析：設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
因?yàn)椋?br>所以由正弦定所得，
又，所以，，
由余弦定理得，
所以，所以頂點(diǎn)A為費(fèi)馬點(diǎn)，
故點(diǎn)A到各頂點(diǎn)的距離之和為，
故選：B.
7．答案：B
解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
則，，設(shè)，
則：，，
所以，又F是棱上一點(diǎn)，所以，
即F是棱的中點(diǎn)，
所以三棱錐的體積為，
故選：B.
8．答案：A
解析：作出圖像，
令，則方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，且，
則，解得，
故選：A.
9．答案：AD
解析：對于A，令，，則；
由時(shí)，得：，，A正確；
對于B，令，得，B錯(cuò)誤，
對于D，令，則；
當(dāng)時(shí)，，，，
對于任意，，D正確；
對于C，設(shè)，
；
，，即，又，
，在R上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤.
故選：AD
10．答案：BC
解析：A：由題設(shè)，則最小正周期為，錯(cuò)；
B：顯然恒成立，故函數(shù)過定點(diǎn)，對；
C：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得為偶函數(shù)，
所以，可得且，又，
所以的最小值為，對；
D：由題意在上有5個(gè)根，
而，
所以在有5個(gè)根，如下圖示，
所以，可得，錯(cuò).
故選：BC
11．答案：ABD
解析：對于選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，平面平面?br>所以，點(diǎn)G到平面的距離等于，
的面積為，
所以，，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，連接，，易知面，
又面，所以，
又E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，
則，而，所以，
又面，，所以面，
又面，所以平面平面，故選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、
、、，、，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
設(shè)，可得點(diǎn)，其中，
則，
所以，解得，
故平面與平面不平行，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，，，
設(shè)直線與所成角為，
則
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
12．答案：
解析：因?yàn)閳A錐的底面直徑為2，它的軸截面是等邊三角形，
則圓錐的母線長，底面半徑，
所以圓錐表面積為.
故答案為：.
13．答案：
解析：由題意得，，，
，，
所以為周期數(shù)列，
所以.
故答案為：
14．答案：//4.5
解析：因?yàn)榈拿娣e是面積的一半，
即，即，可得，
又因?yàn)?，即?br>且，可得，
所以，且的定義域?yàn)椋?br>令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，
可知在上的最小值為2，最大值為，
即在上的最小值為2，最大值為，
所以的最小值與最大值之和為.
故答案為：.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由余弦定理，，
又三角形面積為，
則，
又由題，則；
（2）由（1），，又為銳角三角形，
則.
由正弦定理：.
因在上單調(diào)遞增，
則時(shí)，.
則，即.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）設(shè)公比為q，由可得，
又，解得或，
由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，故；
（2）由可得，，
，
故
.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）在線段上取一點(diǎn)G，使，連接、，
在中，因?yàn)?，，所以?br>所以且，
因?yàn)榍遥瑒t四邊形為平行四邊形，
則，且，
所以，所以，、E、G、F四點(diǎn)共面，
若平面，平面，平面平面，
所以，，
因?yàn)椋?，四邊形為平行四邊形?br>所以，，故，
故當(dāng)平面時(shí)，.
（2）因?yàn)榈酌妫?br>以點(diǎn)C為原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，則，，
因?yàn)椋?，則，
又因?yàn)椋?，則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
所以，，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
所以，二面角的余弦值為.
18．答案：(1)證明見解析；
(2)；
(3)證明見解析
解析：（1）由題意得，，記的導(dǎo)函數(shù)為（下同），
則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以為區(qū)間上的凹函數(shù).
（2）由題意得，，則，，
令，則，故.
令，則，
故在上單調(diào)遞增，故，
則，故，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（3）由題意得，.
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，則即證，
即證，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.
故當(dāng)時(shí)，，即成立.
當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，
又，，
所以，使得，
所以，因?yàn)?，所以，所?
i）當(dāng)時(shí)，，，即證，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以.
ii）當(dāng)時(shí)，，即，即證，
設(shè)，則，
令，
則，，
故在上單調(diào)遞增，
則，
故在上單調(diào)遞增，
則，
則，則在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，.
綜上，當(dāng)時(shí)，.
19．答案：(1)具有性質(zhì)；不具有性質(zhì)；
(2)3；
(3)存在，4
解析：（1）具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
若，則，恰有個(gè)元素，所以具有性質(zhì)；
若，，有5個(gè)元素，，不具有性質(zhì).
（2）當(dāng)A中的元素個(gè)數(shù)時(shí)，因?yàn)锳中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，
不妨設(shè)元素依次為，，…，構(gòu)成等比數(shù)列，
則，其中，，，互不相同.
于是這與A具有性質(zhì)，中恰有個(gè)元素，即任取A中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
當(dāng)A中的元素個(gè)數(shù)恰有3個(gè)時(shí)，取時(shí)滿足條件，
所以集合A中的元素個(gè)數(shù)最大值為3.
（3）因?yàn)椋环猎O(shè)，
所以.
（1）當(dāng)時(shí)，，，…，，構(gòu)成等比數(shù)列，
所以，即，其中，，，互不相同.
這與中恰有個(gè)元素，即任取A中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
（2）當(dāng)時(shí)，，，…，，構(gòu)成等比數(shù)列，第3項(xiàng)是或.
①若第3項(xiàng)是，則，即，
所以，與題意矛盾.
②若第3項(xiàng)是，則，即，
所以，，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則中等比數(shù)列的前三項(xiàng)為：
，，，其公比為q，第四項(xiàng)為，第十項(xiàng)為.
(ⅰ)若第四項(xiàng)為，則，得，
又，得，此時(shí)A中依次為，，，，，
顯然，不合題意.
(ⅱ)若第四項(xiàng)為，則，得，又，得，
此時(shí)A中依次為，，，，，顯然，不合題意.
因此，.
取滿足條件.
所以A中的元素個(gè)數(shù)最大值是4.

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