一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．清在答題卡上把正確答案的代號(hào)涂黑）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．
【詳解】解：的相反數(shù)是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 2024年全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計(jì)達(dá)到1158萬人，數(shù)11580000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
3. 下列幾何體中，三視圖都是圓的是（ ）
A. 長(zhǎng)方體B. 圖柱C. 圓錐D. 球
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的三視圖進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：在長(zhǎng)方體、圖柱、圓錐、球四個(gè)幾何體中，三視圖都是圓的是球，
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查了三視圖，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．
4. 不等式的解集為（ ）
A. B. C. D. 無解
【答案】C
【解析】
【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再求交集即可．
【詳解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
因此該不等式組的解集為．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查求不等式組的解集，解題的關(guān)鍵是熟記不等式組的解集口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到” ．
5. 如圖，的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊在直線b上，若，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行線的性質(zhì)及直角三角形兩內(nèi)角互余即可得解；
【詳解】，
,
又
故選擇：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用平行線的性質(zhì)求三角形中角的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在中，直徑與弦相交于點(diǎn)P，連接，若，，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)圓周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即，然后利用進(jìn)而可求出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵為直徑，即，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理，三角形外角和定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟知圓周角定理的相關(guān)知識(shí)．
7. 如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長(zhǎng)為（ ）

A B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由作圖可知平分，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)R，作于點(diǎn)Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，進(jìn)而證明，推出，設(shè)，則，解求出．利用三角形面積法求出，再證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出．
【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)R，作于點(diǎn)Q，

矩形中，，
，
．
由作圖過程可知，平分，
四邊形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過程判斷出平分，通過勾股定理解直角三角形求出．
8. 已知二次函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列論中：①；②若點(diǎn)均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若m為任意實(shí)數(shù)，則；④方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則．正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】將代入，可判斷①；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及增減性可判斷②；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可判斷③；根據(jù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的位置可判斷④．
【詳解】解：將代入，可得，
故①正確；
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離分別為：4，1，3，
，
圖象開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
，
故②錯(cuò)誤；
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，
，
又，
，
，
當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為，
即二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
若m為任意實(shí)數(shù)，則
故③正確；
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，即為的圖象，
的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在的左側(cè)，另一個(gè)在的右側(cè)，
若方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則，
故④正確；
綜上可知，正確的有①③④，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．
二、細(xì)心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分．請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)題號(hào)的橫線）
9. 計(jì)算；_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】的偶數(shù)次方為1，任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1，由此可解．
【詳解】解：，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方、零次冪，解題的關(guān)鍵是掌握：的偶數(shù)次方為1，奇數(shù)次方為；任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1．
10. 請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得是整數(shù)；_____________．
【答案】8
【解析】
【分析】要使是整數(shù)，則要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可
【詳解】解：∵是整數(shù)，
∴要是完全平方數(shù)，
∴正整數(shù)m的值可以為8，即，即，
故答案為：8（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，正確理解題意得到要是完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．
11. 若正n邊形的一個(gè)外角為，則_____________．
【答案】5
【解析】
【分析】正多邊形的外角和為，每一個(gè)外角都相等，由此計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意知，，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的外角問題，解題的關(guān)鍵是掌握正n邊形的外角和為，每一個(gè)外角的度數(shù)均為．
12. 已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，若，則實(shí)數(shù)_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得出，代入已知等式，即可求解．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13. 眼睛是心靈的窗戶為保護(hù)學(xué)生視力，啟航中學(xué)每學(xué)期給學(xué)生檢查視力，下表是該校某班39名學(xué)生右眼視力的檢查結(jié)果，這組視力數(shù)據(jù)中，中位數(shù)是_____________．
【答案】4.6
【解析】
【分析】數(shù)據(jù)按從小到大排列，若數(shù)據(jù)是偶數(shù)個(gè)，中位數(shù)是最中間兩數(shù)的平均數(shù)，若數(shù)據(jù)是奇數(shù)個(gè)，中位數(shù)是正中間的數(shù)．
【詳解】解：該樣本中共有個(gè)數(shù)據(jù)，按照右眼視力從小到大的順序排列，第個(gè)數(shù)據(jù)是，所以學(xué)生右眼視力的中位數(shù)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生對(duì)中位數(shù)的理解，解題關(guān)鍵是如何找中位數(shù)，注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．
14. 綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐．如圖，無人機(jī)從地面的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測(cè)得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，己知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為_____________米．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】##
【解析】
【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，首先證明出四邊形是矩形，得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后利用角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可求解．
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，

由題意可得，四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵博雅樓頂部E的俯角為，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，
∴，
由題意可得四邊形是矩形，
∴，
∵尚美樓頂部F的俯角為，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問題．
15. 如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中，，連接，若與的面積相等，則___________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出，即，解方程得出（負(fù)值舍去）代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵圖中，，
∴
∵與的面積相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，弦圖的計(jì)算，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則___________．

【答案】
【解析】
【分析】在x軸上取點(diǎn)D和點(diǎn)E，使得，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，在中，解直角三角形可得，，再證明，則，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案．
【詳解】解：在x軸上取點(diǎn)D和點(diǎn)E，使得，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，，
在中，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．
三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分．請(qǐng)認(rèn)真讀題，冷靜思考解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請(qǐng)把解題過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的位置）
17. 化簡(jiǎn)：．
【答案】
【解析】
【分析】先計(jì)算同分母分式的減法，再利用完全平方公式約分化簡(jiǎn)．
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】本題考查分式的約分化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運(yùn)算法則．
18. 創(chuàng)建文明城市，構(gòu)建美好家園．為提高垃圾分類意識(shí)，幸福社區(qū)決定采購A，B兩種型號(hào)的新型垃圾桶．若購買3個(gè)A型垃圾桶和4個(gè)B型垃圾桶共需要580元，購買6個(gè)A型垃圾桶和5個(gè)B型垃圾桶共需要860元．
（1）求兩種型號(hào)垃圾桶的單價(jià)；
（2）若需購買A，B兩種型號(hào)的垃圾桶共200個(gè)，總費(fèi)用不超過15000元，至少需購買A型垃圾桶多少個(gè)？
【答案】（1）A，B兩種型號(hào)單價(jià)分別為60元和100元
（2）至少需購買A型垃圾桶125個(gè)
【解析】
【分析】（1）設(shè)兩種型號(hào)的單價(jià)分別為元和元，然后根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)購買A型垃圾桶個(gè)，則購買A型垃圾桶個(gè)，根據(jù)題意列出一元一次不等式并求解即可．
小問1詳解】
解：設(shè)A，B兩種型號(hào)的單價(jià)分別為元和元，
由題意：，
解得：，
∴A，B兩種型號(hào)的單價(jià)分別為60元和100元；
【小問2詳解】
設(shè)購買A型垃圾桶個(gè)，則購買B型垃圾桶個(gè)，
由題意：，
解得：，
∴至少需購買A型垃圾桶125個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確建立相應(yīng)方程和不等式并求解是解題關(guān)鍵．
19. 打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習(xí)慣，崇德中學(xué)計(jì)劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡閱讀的書篇”為主題的調(diào)查活動(dòng)，學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學(xué)類，C：政史類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．

根據(jù)圖中信息，請(qǐng)回答下列問題；
（1）條形圖中的________，________，文學(xué)類書籍對(duì)應(yīng)扇形圓心角等于________度；
（2）若該校有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)；
（3）甲同學(xué)從A，B，C三類書籍中隨機(jī)選擇一種，乙同學(xué)從B，C，D三類書籍中隨機(jī)選擇一種，請(qǐng)用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率．
【答案】（1）18，6，
（2）480人 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)選擇“E：其他類”的人數(shù)及比例求出總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以A占的比例即為m，總?cè)藬?shù)減去A，B，C ，E的人數(shù)即為n，360度乘以B占的比例即為文學(xué)類書籍對(duì)應(yīng)扇形圓心角；
（2）利用樣本估計(jì)總體思想求解；
（3）通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計(jì)算．
小問1詳解】
解：參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：（人），
，
，
文學(xué)類書籍對(duì)應(yīng)扇形圓心角，
故答案為：18，6，；
【小問2詳解】
解：（人），
因此估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)為480人；
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的情況，其中甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的情況有2種，
因此甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率為：．
【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、利用樣本估計(jì)總體、利用畫樹狀圖或者列表法求概率等，解題的關(guān)鍵是將條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)，掌握畫樹狀圖或者列表法求概率的原理．
20. 如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，且，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，則，又，等量代換得出，即可證明；
（2）連接，證明，在中，，求得，根據(jù)得出，進(jìn)而可得，根據(jù)，即可求解．
【小問1詳解】
證明：如圖所示，連接，

∵以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：連接，如圖，
則，

∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線分線段成比例，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點(diǎn)．

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足時(shí)x的取值范圍；
（3）點(diǎn)P在線段上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，若面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1），
（2）
（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】（1）將代入可求反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再將和點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）直線在反比例函數(shù)圖象上方部分對(duì)應(yīng)的x的值即為所求；
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，代入一次函數(shù)解析式求出縱坐標(biāo)，將代入反比例函數(shù)求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而用含p的代數(shù)式表示出，再根據(jù)面積為3列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：將代入，可得，
解得，
反比例函數(shù)解析式為；
在圖象上，
，
，
將，代入，得：
，
解得，
一次函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
由（1）可知，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線在反比例函數(shù)圖象上方，此部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為，
即滿足時(shí)，x的取值范圍為；
【小問3詳解】
解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
將代入，可得，
．
將代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中求三角形面積、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．
22. 加強(qiáng)勞動(dòng)教育，落實(shí)五育并舉．孝禮中學(xué)在當(dāng)?shù)卣闹С窒拢ǔ闪艘惶巹趧?dòng)實(shí)踐基地．2024年計(jì)劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．

（1）當(dāng)___________時(shí)，元/；
（2）設(shè)2024年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最??？
（3）學(xué)校計(jì)劃今后每年在這土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術(shù)改進(jìn)，預(yù)計(jì)種植成本逐年下降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當(dāng)a為何值時(shí)，2025年的總種植成本為元？
【答案】（1）
（2）當(dāng)甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時(shí)，W最??；
（3）當(dāng)a為時(shí)，2025年的總種植成本為元．
【解析】
【分析】（1）求出當(dāng)時(shí)，設(shè)甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，求出當(dāng)時(shí)的x的值即可；
（2）當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，由一次函數(shù)性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，比較后即可得到方案；
（3）根據(jù)2025年的總種植成本為元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，設(shè)甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得，
，
解得，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，解得，
即當(dāng)時(shí)，元/；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，
綜上可知，當(dāng)甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時(shí)，W最小；
【小問3詳解】
由題意可得，
解得（不合題意，舍去），
∴當(dāng)a為時(shí)，2025年的總種植成本為元．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，讀懂題意，正確列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)鍵．
23. 【問題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）成立；理由見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案為：．
【小問2詳解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)；
當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)；
綜上分析可知，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．
24. 已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

（1）直接寫出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，______；
（2）如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的邊上的動(dòng)點(diǎn)，，記的最小值為m．
①求m的值；
②設(shè)的面積為S，若，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．
【答案】（1），2，，
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求得、，從而可得，，由，可得，求得，在中，根據(jù)正切的定義求值即可；
（2）過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E， 由，即，再由，可得，證明，可得，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，可得，再進(jìn)行求解即可；
（3）①作，且使，連接．根據(jù)證明，可得，即Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最?。饔邳c(diǎn)G，設(shè)，則，根據(jù)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作軸，交于點(diǎn)T，求出解析式，設(shè)，，利用三角形面積公式表示出S，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，結(jié)合①中結(jié)論即可求解．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為：，
∵拋物線與x軸交于A、兩點(diǎn)，
∴時(shí)，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案為：，2，，；
【小問2詳解】
解：過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵軸，軸，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，，
∴，解得：（舍），，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為．
【小問3詳解】
解：①如圖2，作，且使，連接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最?。饔邳c(diǎn)G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如圖3，作軸，交于點(diǎn)T，待定系數(shù)法可求解析式為，
設(shè)，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、銳角三角函數(shù)、最值問題、二次函數(shù)最值、用分割法求三角形面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
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