注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．
2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1. 實(shí)數(shù)、、、伍數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最小的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義即可判斷出絕對(duì)值最小的數(shù).
【詳解】解：由圖可知，，，，，
比較四個(gè)數(shù)的絕對(duì)值排除和，
根據(jù)絕對(duì)值的意義觀(guān)察圖形可知，離原點(diǎn)的距離大于離原點(diǎn)的距離，
，
這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最小的是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值是指一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)越近說(shuō)明絕對(duì)值越小.
2. 長(zhǎng)春龍嘉國(guó)際機(jī)場(chǎng)T3A航站樓設(shè)計(jì)創(chuàng)意為“鶴舞長(zhǎng)春”，如圖所示，航站樓的造型如仙鶴飛翔，蘊(yùn)含了對(duì)吉春大地未來(lái)發(fā)展的美好愿景．本期工程按照滿(mǎn)足年旅客吞吐量人次目標(biāo)設(shè)計(jì)的，其中這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法公式轉(zhuǎn)換即可，科學(xué)記數(shù)法公式為：，，n為整數(shù)的位數(shù)減1．
詳解】解：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法；解題的關(guān)鍵是熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．
3. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】A. 與不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4. 下圖是一個(gè)多面體的表面展開(kāi)圖，每個(gè)面都標(biāo)注了數(shù)字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（ ）

A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)底面與多面體的上面是相對(duì)面，則形狀相等，間隔1個(gè)長(zhǎng)方形，且沒(méi)有公共頂點(diǎn)，即可求解．
【詳解】解：依題意，多面體的底面是面③，則多面體的上面是面⑤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖，熟練掌握基本幾何體的展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長(zhǎng)度，就可以道該零件內(nèi)徑的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（ ）
A. 兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等B. 兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C. 兩余直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例D. 兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意易證，根據(jù)證明方法即可求解．
【詳解】解：O為、的中點(diǎn)，
，，
（對(duì)頂角相等），
在與中，
，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵．
6. 學(xué)校開(kāi)放日即將來(lái)臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書(shū)館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書(shū)館相距32米（即米），則彩旗繩的長(zhǎng)度為（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.
【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書(shū)館，
，
為直角三角形，
（米）.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，涉及到余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的概念.
7. 如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線(xiàn)，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)作圖可得，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作圖可得，故A，C正確；
∴在的垂直平分線(xiàn)上，
∴，故D選項(xiàng)正確，
而不一定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在函數(shù)的圖象上，分別以、為圓心，為半徑作圓，當(dāng)與軸相切、與軸相切時(shí)，連結(jié)，，則的值為（ ）
A. 3B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，交于點(diǎn)，得出的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，設(shè)，，則，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，交于點(diǎn)，
依題意，的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，設(shè)，
∴，
則，
又∵，，
∴
∴（負(fù)值已舍去）
解得：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共8分）
9. 分解因式：=____．
【答案】．
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【詳解】解：．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解題的關(guān)鍵．
10. 若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)根的判別式求出，再求出不等式的解集即可．
【詳解】解：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：已知一元二次方程為常數(shù)，，①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
11. 2023長(zhǎng)春馬拉松于5月21日在南嶺體育場(chǎng)鳴槍開(kāi)跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開(kāi)始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為_(kāi)_________公里．（用含x的代數(shù)式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．
【詳解】根據(jù)題意可得，
他離健康跑終點(diǎn)的路程為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．
12. 如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線(xiàn)段上．若，則和的周長(zhǎng)之比為_(kāi)_________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：，
，
設(shè)周長(zhǎng)為，設(shè)周長(zhǎng)為，
和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，
．
．
和的周長(zhǎng)之比為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì)．
13. 如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開(kāi)后，再將紙片折疊，使邊落在線(xiàn)段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為_(kāi)_________度．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，
將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，
則，
∵將紙片折疊，使邊落在線(xiàn)段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，
∴，，
在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14. 年5月8日，商業(yè)首航完成——中國(guó)民商業(yè)運(yùn)營(yíng)國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)正式起步．時(shí)分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場(chǎng)，穿過(guò)隆重的“水門(mén)禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”、是國(guó)際民航中高級(jí)別的禮儀）．如圖①，在一次“水門(mén)禮”的預(yù)演中，兩輛消防車(chē)面向飛機(jī)噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線(xiàn)的一部分．如圖②，當(dāng)兩輛消防車(chē)噴水口A(yíng)、B的水平距離為米時(shí)，兩條水柱在物線(xiàn)的頂點(diǎn)H處相遇，此時(shí)相遇點(diǎn)H距地面米，噴水口A(yíng)、B距地面均為4米．若兩輛消防車(chē)同時(shí)后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時(shí)兩條水柱相遇點(diǎn)距地面__________米．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出原來(lái)拋物線(xiàn)的解析式，從而求得平移后的拋物線(xiàn)解析式，再令求平移后的拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)即可．
【詳解】解：由題意可知：
、、，
設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：，
將代入解析式，
解得：，
，
消防車(chē)同時(shí)后退米，即拋物線(xiàn)向左（右）平移米，
平移后的拋物線(xiàn)解析式為：，
令，解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式、函數(shù)圖像的平移及坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；解題的關(guān)鍵是求得移動(dòng)前后拋物線(xiàn)的解析式．
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15. 先化簡(jiǎn)．再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根據(jù)完全平方公式以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將字母的值代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：
當(dāng)時(shí)，原式
【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
16. 班級(jí)聯(lián)歡會(huì)上有一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每位同學(xué)均參加一次抽獎(jiǎng)，活動(dòng)規(guī)則下：將三個(gè)完全相同的不透明紙杯倒置放在桌面上，每個(gè)杯子內(nèi)放入一個(gè)彩蛋，彩蛋顏色分別為紅色、紅色、綠色．參加活動(dòng)的同學(xué)先從中隨機(jī)選中一個(gè)杯子，記錄杯內(nèi)彩蛋顏色后再將杯子倒置于桌面，重新打亂杯子的擺放位置，再?gòu)闹须S機(jī)選中一個(gè)杯子，記錄杯內(nèi)彩蛋顏色．若兩次選中的彩蛋顏色不同則獲一等獎(jiǎng)，顏色相同則獲二等獎(jiǎng)．用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求某同學(xué)獲一等獎(jiǎng)的概率．

【答案】
【解析】
【分析】依題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，運(yùn)用概率公式求解即可．
【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有種可能，獲一等獎(jiǎng)即兩次顏色不相同可能有種，
則某同學(xué)獲一等獎(jiǎng)的概率為：，
答：某同學(xué)獲一等獎(jiǎng)的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了樹(shù)狀圖求概率，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．
17. 隨著中國(guó)網(wǎng)民規(guī)模突破億、博物館美育不斷向線(xiàn)上拓展．敦煌研究院順勢(shì)推出數(shù)字敦煌文化大使伽瑤，受到廣大敦煌文化愛(ài)好者的好評(píng)．某工廠(chǎng)計(jì)劃制作個(gè)伽瑤玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實(shí)際平均每天完成的數(shù)量是原計(jì)劃的倍，結(jié)果提前天完成任務(wù)．問(wèn)原計(jì)劃平均每天制作多少個(gè)擺件？

【答案】原計(jì)劃平均每天制作個(gè)擺件．
【解析】
【分析】設(shè)原計(jì)劃平均每天制作個(gè)，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天制作個(gè)，根據(jù)題意得，
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
答：原計(jì)劃平均每天制作個(gè)擺件．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
18. 將兩個(gè)完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線(xiàn)上，連結(jié)、．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）己知，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)．的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可知易得，即，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；
（2）如圖，在中，由角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對(duì)角線(xiàn)平分對(duì)角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：由題意可知，
，，
，
四邊形地平行四邊形；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，在中，，，，
，，
四邊形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對(duì)等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)綜合求解．
19. 近年來(lái)，肥胖經(jīng)成為影響人們身體健康的重要因素．目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（ ，縮寫(xiě)）來(lái)衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是
例如：某人身高，體重，則他的．
中國(guó)成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．
某公司為了解員工的健康情況，隨機(jī)抽取了一部分員工的體檢數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算得到他們的值并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：
（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）請(qǐng)估計(jì)該公司名員工中屬于偏胖和肥胖的總?cè)藬?shù)；
（3）基于上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，公司建議每個(gè)人制定健身計(jì)劃．員工小張身高，值為，他想通過(guò)健身減重使自己的值達(dá)到正常，則他的體重至少需要減掉_________．（結(jié)果精確到）
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)屬于正常的人數(shù)除以占比得出抽取的人數(shù)，結(jié)合條形統(tǒng)計(jì)圖求得屬于偏胖的人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可求解；
（2）用屬于偏胖和肥胖的占比乘以即可求解；
（3）設(shè)小張?bào)w重需要減掉，根據(jù)計(jì)算公式，列出不等式，解不等式即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
抽取了人，
屬于偏胖的人數(shù)為：，
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，
【小問(wèn)2詳解】
（人）
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)小張?bào)w重需要減掉，
依題意，
解得：,
答：他的體重至少需要減掉9kg，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，樣本估計(jì)總體，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表獲取信息是解題的關(guān)鍵．
20. 圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．

（1）在圖①中，的面積為；
（2）在圖②中，的面積為5
（3）在圖③中，是面積為的鈍角三角形．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）以為底，設(shè)邊上的高為，依題意得，解得，即點(diǎn)在上方且到距離為個(gè)單位的線(xiàn)段上的格點(diǎn)即可；
（2）由網(wǎng)格可知，，以為底，設(shè)邊上的高為，依題意得，解得，將繞或旋轉(zhuǎn)，過(guò)線(xiàn)段的另一個(gè)端點(diǎn)作的平行線(xiàn)，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)；
（3）作，過(guò)點(diǎn)作，交于格點(diǎn)，連接A、B、C即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，
以為底，設(shè)邊上高為，
依題意得：
解得：
即點(diǎn)在上方且到距離為個(gè)單位的線(xiàn)段上的格點(diǎn)即可，
答案不唯一；
【小問(wèn)2詳解】
由網(wǎng)格可知，
以為底，設(shè)邊上的高為，
依題意得：
解得：
將繞或旋轉(zhuǎn)，過(guò)線(xiàn)段的另一個(gè)端點(diǎn)作的平行線(xiàn)，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
答案不唯一，
【小問(wèn)3詳解】
如圖所示，
作，過(guò)點(diǎn)作，交于格點(diǎn)，

由網(wǎng)格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度，與三角形的高的有關(guān)計(jì)算；解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)格作平行線(xiàn)或垂直．
21. 甲、乙兩個(gè)相約登山，他們同時(shí)從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車(chē)站，再乘坐纜車(chē)到達(dá)山頂．甲、乙距山腳垂直高度y（米）與甲登山的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．

（1）當(dāng)時(shí)，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求乙乘坐纜車(chē)上升過(guò)程中，和甲處于同一高度時(shí)距山腳的垂直高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，聯(lián)立，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入得，
，
解得：，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為
將點(diǎn)代入得，
解得：，
∴；
聯(lián)立
解得：
∴乙乘坐纜車(chē)上升過(guò)程中，和甲處于同一高度時(shí)距山腳的垂直高度為米
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．
22. 【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為_(kāi)_________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．
下面是小明的部分證明過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．
【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為_(kāi)_________．
【答案】感知：；探究：見(jiàn)解析；應(yīng)用：．
【解析】
【分析】感知：由圓周角定理即可求解；
探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證；
應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．
【詳解】感知：
由圓周角定理可得，
故答案為：；
探究：
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
，
∴，，
，
是等邊三角形，
，
，
即；
應(yīng)用：
延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，鄰補(bǔ)角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線(xiàn)構(gòu)造，進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．
23. 如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

（1）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________；
（2）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；
（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱(chēng)四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）見(jiàn)解析 （4）或或
【解析】
【分析】（1）證明四邊形是矩形，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．
（2）證明，得出；
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，即可得出結(jié)論
（4）分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，連接，

∵四邊形是矩形
∴
∵，
∴四邊形是矩形，
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，
∴，
在中，，
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
如圖所示，

∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，
∴，
則四邊形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
【小問(wèn)4詳解】
①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵，
在中，，
則，
∵，則，，
在中，，
∴
解得：
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，符合題意，
∴符合題意，
②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，

則，，
在中，
，
解得：，
③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，此時(shí)

綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，分別畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線(xiàn)上，橫坐標(biāo)為．其中．

（1）求該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）該拋物線(xiàn)與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線(xiàn)在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．
（4）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的的值．
【答案】（1）；頂點(diǎn)坐標(biāo)為
（2）
（3）或或或
（4）或或
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)解析式，待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，，求得拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)在軸上時(shí)，橫坐標(biāo)為．其中，得出，即可求解；
（3）①如圖所示，當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，③當(dāng)，即時(shí)，④當(dāng)，即，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為，建立方程，解方程即可求解；
（4）根據(jù)在軸的上方，得出，根據(jù)題意分三種情況討論①當(dāng)是的中點(diǎn)，②同理當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，③，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，得，
解得：
∴拋物線(xiàn)解析式為；
∵，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
【小問(wèn)2詳解】
解：由，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∵拋物線(xiàn)上的點(diǎn)在軸上時(shí)，橫坐標(biāo)為．其中．
∴
∴
解得：，
∵點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
①如圖所示，當(dāng)，即時(shí)，

拋物線(xiàn)在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)為頂點(diǎn)，最低點(diǎn)為點(diǎn)，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
則縱坐標(biāo)之差為
依題意，
解得：；
②當(dāng)，即時(shí)，

∵，即，
依題意，，
解得：或（舍去），
③當(dāng)，即時(shí)，

則，
解得：或（舍去），
④當(dāng)，即，

則，
解得：（舍去）或，
綜上所述，或或或；
【小問(wèn)4詳解】
解：如圖所示，

∵在軸的上方，
∴
∴
∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線(xiàn)段的中點(diǎn)為
∴
∵,
①當(dāng)是的中點(diǎn)，如圖所示

則，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，，，則點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，
解得：，
③如圖所示，

設(shè)，則，
∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線(xiàn)段的中點(diǎn)為
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
∴，
解得：，
綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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