吉林省長春市2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

這是一份吉林省長春市2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析），共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）如圖，數(shù)軸上表示﹣2的點A到原點的距離是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
2．（3分）2024年春運前四日，全國鐵路、道路、水路、民航共累計發(fā)送旅客約為275000000人次，275000000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×109
3．（3分）如圖是由4個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的主視圖是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集為（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2
5．（3分）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長是3米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子頂端到地面的距離C為（ ）
A．3sinα米B．3csα米C．米D．米
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點D．使∠ADC＝2∠B，則符合要求的作圖痕跡是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A、C的坐標分別是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，則函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點B，則k的值為（ ）
A．B．9C．D．
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
9．（3分）計算：3﹣＝ ．
10．（3分）分解因式：ab+2b＝ ．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判別式的值是 ．
12．（3分）如圖，直線MN∥PQ，點A、B分別在MN、PQ上，∠MAB＝33°．過線段AB上的點C作CD⊥AB交PQ于點D，則∠CDB的大小為 度．
13．（3分）如圖，有一張矩形紙片ABCD，AB＝8，AD＝6．先將矩形紙片ABCD折疊，使邊AD落在邊AB上，點D落在點E處，折痕為AF；再將△AEF沿EF翻折，AF與BC相交于點G，則△GCF的周長為 ．
14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+（a＞0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于點M．P為拋物線的頂點．若直線OP交直線AM于點B，且M為線段AB的中點，則a的值為 ．
三、解答題（共10小題，滿分78分）
15．（6分）先化簡，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．
16．（6分）一個不透明的口袋中有三個小球，每個小球上只標有一個漢字，分別是“家”、“家”“樂”，除漢字外其余均相同．小新同學(xué)從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字，用畫樹狀圖（或列表的）方法，求小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的概率．
17．（6分）為建國70周年獻禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)．求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量．
18．（7分）如圖，四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作⊙O，點E在BC邊上，連結(jié)AE交⊙O于點F，連結(jié)BF并延長交CD于點G．
（1）求證：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求的長．（結(jié)果保留π）
19．（7分）網(wǎng)上學(xué)習(xí)越來越受到學(xué)生的喜愛．某校信息小組為了解七年級學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，從該校七年級隨機抽取20名學(xué)生，進行了每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)的調(diào)查．數(shù)據(jù)如下（單位：時）：
整理上面的數(shù)據(jù)，得到表格如下：
樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上表中的中位數(shù)m的值為 ，眾數(shù)n的值為 ．
（2）用樣本中的平均數(shù)估計該校七年級學(xué)生平均每人一學(xué)期（按18周計算）網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時間．
（3）已知該校七年級學(xué)生有200名，估計每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間超過2小時的學(xué)生人數(shù)．
20．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D、E、F均在格點上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．
（1）在圖①中以線段AB為邊畫一個△ABM，使其面積為6．
（2）在圖②中以線段CD為邊畫一個△CDN，使其面積為6．
（3）在圖③中以線段EF為邊畫一個四邊形EFGH，使其面積為9，且∠EFG＝90°．
21．（8分）已知A、B兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出發(fā)，甲車以60千米/時的速度沿此公路從A地勻速開往B地，乙車從B地沿此公路勻速開往A地，兩車分別到達目的地后停止．甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）乙車的速度為 千米/時，a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙兩車相遇后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當甲車到達距B地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程．
22．（9分）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容．
例2 如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點，AD，CE相交于點G，求證：＝＝
證明：連結(jié)ED．
請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．
結(jié)論應(yīng)用：在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為邊BC的中點，AE、BD交于點F．
（1）如圖②，若?ABCD為正方形，且AB＝6，則OF的長為 ．
（2）如圖③，連結(jié)DE交AC于點G，若四邊形OFEG的面積為，則?ABCD的面積為 ．
23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．點P從點A出發(fā)，沿AC向終點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿射線CB運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點P到達終點時，P、Q同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，過點P作PN⊥AB于點N，連結(jié)PQ，以PN、PQ為鄰邊作?PQMN．設(shè)?PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒．
（1）①AB的長為 ；
②PN的長用含t的代數(shù)式表示為 ．
（2）當?PQMN為矩形時，求t的值；
（3）當?PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當過點P且平行于BC的直線經(jīng)過?PQMN一邊中點時，直接寫出t的值．
24．（12分）已知函數(shù)y＝（n為常數(shù)）
（1）當n＝5，
①點P（4，b）在此函數(shù)圖象上，求b的值；
②求此函數(shù)的最大值．
（2）已知線段AB的兩個端點坐標分別為A（2，2）、B（4，2），當此函數(shù)的圖象與線段AB只有一個交點時，直接寫出n的取值范圍．
（3）當此函數(shù)圖象上有4個點到x軸的距離等于4，求n的取值范圍．
2024年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
1．【解答】解：數(shù)軸上表示﹣2的點A到原點的距離是2，
故選：B．
2．【解答】解：將275000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.75×108．
故選：C．
3．【解答】解：從正面看易得第一層有2個正方形，第二層最右邊有一個正方形．
故選：A．
4．【解答】解：移項得：﹣x≥﹣2
系數(shù)化為1得：x≤2．
故選：D．
5．【解答】解：設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為：
．
故選：D．
6．【解答】解：由題意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故選：A．
7．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴點D是線段BC中垂線與AB的交點，
故選：B．
8．【解答】解：過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵A、C的坐標分別是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝＝，
∴OD＝3+＝
∴B（，）代入y＝得：k＝，
故選：D．
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
9．【解答】解：原式＝2．
故答案為：2．
10．【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．
故答案為：b（a+2）．
11．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，
故答案為：5．
12．【解答】解：∵直線MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故答案為：57．
13．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴AE＝AD＝6，
∴EB＝AB﹣AE＝2，
由題意得，四邊形EFCB為矩形，
∴FC＝ED＝2，
∵AB∥FC，
∴∠GFC＝∠A＝45°，
∴GC＝FC＝2，
由勾股定理得，GF＝＝2，
則△GCF的周長＝GC+FC+GF＝4+2，
故答案為：4+2．
14．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax+（a＞0）與y軸交于點A，
∴A（0，），拋物線的對稱軸為x＝1
∴頂點P坐標為（1，﹣a），點M坐標為（2，）
∵點M為線段AB的中點，
∴點B坐標為（4，）
設(shè)直線OP解析式為y＝kx（k為常數(shù)，且k≠0）
將點P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x
將點B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案為：2．
三、解答題（共10小題，滿分78分）
15．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a
＝8a+1，
當a＝時，原式＝8a+1＝2．
16．【解答】解：畫樹狀圖如圖：
共有9個等可能的結(jié)果，小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的結(jié)果有5個，
∴小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的概率為．
17．【解答】解：該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為x套，則實際每天加工彩燈的數(shù)量為1.2x套，
由題意得：﹣＝5，
解得：x＝300，
經(jīng)檢驗，x＝300是原方程的解，且符合題意；
答：該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為300套．
18．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AB為⊙O的直徑，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE與△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：連接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的長＝＝．
19．【解答】解：（1）從小到大排列為：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
∴中位數(shù)m的值為＝2.5，眾數(shù)n為2.5；
故答案為：2.5，2.5；
（2）2.4×18＝43.2（小時），
答：估計該校七年級學(xué)生平均每人一學(xué)期（按18周計算）網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時間為43.2小時．
（3）200×＝130（人），
答：該校七年級學(xué)生有200名，估計每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間超過2小時的學(xué)生人數(shù)為130人．
20．【解答】解：（1）如圖①所示，△ABM即為所求；
（2）如圖②所示，△CDN即為所求；
（3）如圖③所示，四邊形EFGH即為所求；
21．【解答】解：（1）乙車的速度為：（270﹣60×2）÷2＝75千米/時，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案為：75；3.6；4.5；
（2）60×3.6＝216（千米），
當2＜x≤3.6時，設(shè)y＝k1x+b1，根據(jù)題意得：
，解得，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
當3.6＜x≤4.6時，設(shè)y＝60x，
∴；
（3）甲車到達距B地70千米處時行駛的時間為：（270﹣70）÷60＝（小時），
此時甲、乙兩車之間的路程為：135×﹣270＝180（千米）．
答：當甲車到達距B地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程為180千米．
22．【解答】教材呈現(xiàn)：
證明：如圖①，連結(jié)ED．
∵在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝2，
∴＝＝3，
∴＝＝；
結(jié)論應(yīng)用：
（1）解：如圖②．
∵四邊形ABCD為正方形，E為邊BC的中點，對角線AC、BD交于點O，
∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝＝，
∴BF＝DF，
∴BF＝BD，
∵BO＝BD，
∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6，
∴OF＝．
故答案為；
（2）解：如圖③，連接OE．
由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，
∴＝2．
∵△BEF與△OEF的高相同，
∴△BEF與△OEF的面積比＝＝2，
同理，△CEG與△OEG的面積比＝2，
∴△CEG的面積+△BEF的面積＝2（△OEG的面積+△OEF的面積）＝2×＝1，
∴△BOC的面積＝，
∴?ABCD的面積＝4×＝6．
故答案為6．
23．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝＝＝25．
∴，
由題可知AP＝5t，
∴PN＝AP?sin∠CAB＝＝3t．
故答案為：①25；②3t．
（2）當?PQMN為矩形時，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由題意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴，
解得t＝，
即當?PQMN為矩形時t＝．
（3）當?PQMN△ABC重疊部分圖形為四邊形時，有兩種情況，
Ⅰ．如解圖（3）1所示．?PQMN在三角形內(nèi)部時．延長QM交AB于G點，
由（1）題可知：csA＝sinB＝，csB＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP?csA＝4t，BG＝BQ?csB＝9﹣3t，QG＝BQ?sinB＝12﹣4t，
∵．?PQMN在三角形內(nèi)部時．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t．
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴當0＜t時，?PQMN與△ABC重疊部分圖形為?PQMN，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝PN?NG＝3t?（16﹣t）＝﹣3t2+48t．
Ⅱ．如解圖（3）2所示．當0＜QG＜QM，?PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQMG時，
即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，
?PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQMG的面積S＝＝＝．
綜上所述：當0＜t時，S＝﹣3t2+48t．當，S＝．
（4）當過點P且平行于BC的直線經(jīng)過?PQMN一邊中點時，有兩種情況，
Ⅰ．如解題圖（4）1，PR∥BC，PR與AB交于K點，R為MN中點，過R點作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PN?ct∠PKN＝3t＝，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝，HR＝，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝．
∴KH＝HR?ct∠HKR＝＝，
∵NK+KH＝NH，
∴，
解得：t＝，
Ⅱ．如解題圖（4）2，PR∥BC，PR與AB交于K點，R為MQ中點，過Q點作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四邊形PCQH為矩形，
∴HQ＝QR?sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝，解得t＝．
綜上所述：當t＝或時，點P且平行于BC的直線經(jīng)過?PQMN一邊中點時，
24．【解答】解：（1）當n＝5時，
y＝，
①將P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，
∴b＝；
②當x≥5時，當x＝5時有最大值為5；
當x＜5時，當x＝時有最大值為；
∴函數(shù)的最大值為；
（2）將點（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝，
∴＜n≤4時，圖象與線段AB只有一個交點；
將點（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝2，
將點（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，
∴n＝，
∴2≤n＜時圖象與線段AB只有一個交點；
綜上所述：＜n≤4，2≤n＜時，圖象與線段AB只有一個交點；
（3）當x＝n時，y＝﹣n2+n2+＝，
＞4，∴n＞8；
當x＝時，y＝+，
+≤4，∴n≥，
當x＝n時，y＝﹣n2+n2+n＝n，
n＜4；
∴函數(shù)圖象上有4個點到x軸的距離等于4時，n＞8或n≤＜4．3
2.5
0.6
1.5
1
2
2
3.3
2.5
1.8
2.5
2.2
3.5
4
1.5
2.5
3.1
2.8
3.3
2.4
網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間x（時）
0＜x≤1
1＜x≤2
2＜x≤3
3＜x≤4
人數(shù)
2
5
8
5
統(tǒng)計量
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
數(shù)值
2.4
m
n