注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 復(fù)數(shù)等于它共軛復(fù)數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（ ）
A. B. C. D.
3. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A. 4B. C. 8D. 5
4. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
6. 過圓上一點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、 乙、丙等5名同學(xué)參加政史地三科知識(shí)競賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加概率為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
二、多選題（本題共 4 小題，每小題 6 分，共 24 分．每題至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 平面
C. 平面D. 與所成角是
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的最小值為2
C. 若，則的最大值為2
D. 若，則
11. 已知圓，圓分別是圓與圓上的點(diǎn)，則（ ）
A 若圓與圓無公共點(diǎn)，則
B. 當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為
C. 當(dāng)時(shí)，則斜率的最大值為
D. 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，則不可能等于
12. 已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有且只有兩條公切線
D. 若為單調(diào)函數(shù)，則
三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 第二屆廣東自由貿(mào)易試驗(yàn)區(qū)一聯(lián)動(dòng)發(fā)展區(qū)合作交流活動(dòng)于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨(dú)立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.
14. 函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.
15. 已知向量，，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是______________．
16. 如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在四棱柱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，則的最小值為______．

四、解答題（本題共6小題，共70分）
17. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值.
18. 設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項(xiàng)和為是等差數(shù)列，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù)的值．
19. 在四棱錐中，底面是正方形，若，，，
（1）求四棱錐的體積；
（2）求直線與平面夾角正弦值．
20. 甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主”，設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）在比賽進(jìn)行4場結(jié)束的條件下，求甲隊(duì)獲勝的概率；
（2）賽事主辦方需要預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用萬元．假設(shè)主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用）的期望高于萬元？
21. 拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點(diǎn)作的切線，其斜率為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與交于不同的兩點(diǎn)，，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)，過點(diǎn)N作直線的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
22. 已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．
2024-2025學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)高三上學(xué)期12月期末聯(lián)考
數(shù)學(xué)模擬預(yù)測試題
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【詳解】∵，
，
∴，
故選：D.
2. 復(fù)數(shù)等于它共軛復(fù)數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【詳解】令則．由得，
故選B．
3. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A. 4B. C. 8D. 5
【正確答案】A
【詳解】由題意，所以，即等比數(shù)列公比為，
所以，解得，所以.
故選：A.
4. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【詳解】拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為，
故選：B
5. 已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，
圓O：，圓心為，半徑為，
設(shè)，，點(diǎn)P在雙曲線上，，則有，，可得，
過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點(diǎn)，則，，
同理，，由，
四邊形AMBN的面積為，
，化簡得，則有，則C的離心率.
故選：D
6. 過圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【詳解】取圓上任意一點(diǎn)P，
過P作圓的兩條切線，，

當(dāng)時(shí)，且，；
則，所以實(shí)數(shù).
故選：C
7. 甲、 乙、丙等5名同學(xué)參加政史地三科知識(shí)競賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【詳解】因?yàn)榧缀鸵也粎⒓油豢?，甲和丙參加同一科競賽，若每個(gè)同學(xué)可以自由選擇，
所以3科的選擇數(shù)有2，2，1和3，1，1兩種分配方案，
當(dāng)分配方案為2，2，1時(shí)，共有種不同的選擇方案；
當(dāng)分配方案為3，1，1時(shí)，共有種不同的選擇方案；
所以滿足要求的不同選擇種數(shù)為；
所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為.
故選：C.
8. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【詳解】因?yàn)榈茫瑒t，
所以由題意可得，，解得.
故選：D
二、多選題（本題共 4 小題，每小題 6 分，共 24 分．每題至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 平面
C. 平面D. 與所成的角是
【正確答案】ABD
【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；
連接，，則，平面，平面，
∴平面，即平面，故B正確；
連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯(cuò)誤；
∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．
故選：ABD．
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的最小值為2
C. 若，則的最大值為2
D. 若，則
【正確答案】AD
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，所以，故A正確；
因?yàn)榈牡忍?hào)成立條件不成立，所以B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.
故選：AD
11. 已知圓，圓分別是圓與圓上的點(diǎn)，則（ ）
A. 若圓與圓無公共點(diǎn)，則
B. 當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為
C. 當(dāng)時(shí)，則斜率的最大值為
D. 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，則不可能等于
【正確答案】BC
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，可以無窮大，所以A不正確；
當(dāng)時(shí)兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項(xiàng)；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)如圖，

和為兩條內(nèi)公切線，且，
由平面幾何知識(shí)可知，
所以可得，
即斜率的最大值為，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，

點(diǎn)P在位置時(shí)，
點(diǎn)在位置時(shí)，
所以中間必然有位置使得，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12. 已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有且只有兩條公切線
D. 若為單調(diào)函數(shù)，則
【正確答案】BCD
【詳解】對(duì)A，令，
令或都成立，有兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B， 令
，（）.考慮
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
.
考慮
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).
此時(shí)，故B正確；
對(duì)C，設(shè)，.
設(shè)切點(diǎn)
所以.
①
②
,
,
設(shè)，
所以，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br>所以
所以有兩解，所以當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有且只有兩條公切線，所以該選項(xiàng)正確；
對(duì)D，若單調(diào)遞增，則.
.考慮不滿足.
若單調(diào)遞減，則.
所以考慮不滿足.
當(dāng)時(shí)，不滿足.
當(dāng)時(shí)，
，∴.故D正確.
故選：BCD
三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 第二屆廣東自由貿(mào)易試驗(yàn)區(qū)一聯(lián)動(dòng)發(fā)展區(qū)合作交流活動(dòng)于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨(dú)立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.
【正確答案】##
【詳解】由題意知隨機(jī)變量為，
所以，
故答案.
14. 函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.
【正確答案】1
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，
所以，解得，
則.
故1
15. 已知向量，，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是______________．
【正確答案】（答案不唯一）
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
解得，
所以使成立的一個(gè)充分不必要條件是.
故（答案不唯一）
16. 如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在四棱柱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，則的最小值為______．

【正確答案】
【詳解】連接，交于，設(shè)是的中點(diǎn)，連接.
由于，是的中點(diǎn)，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，，
由于分別是的中點(diǎn)，所以，
由于，所以，由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以是二面角的平面角，
所以，所以，
由于，所以，
所以三角形是等腰直角三角形，所以，
由于平面，
所以平面，且.
由于，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，
半徑為的球面在四棱柱內(nèi)的部分，
關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，
連接，交平面于，
所以的最小值為.
故
求解二面角有關(guān)問題，關(guān)鍵是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定義是：在二面角的交線上任取一點(diǎn)，然后在兩個(gè)半平面內(nèi)作交線的垂線，所得角也即是二面角的平面角.
四、解答題（本題共6小題，共70分）
17. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角的大?。?br>（2）若，求的最小值.
【正確答案】（1）
（2）.
【小問1詳解】
由正弦定理得：
，
又，，
，
；
【小問2詳解】
，，
由余弦定理得：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，即的最小值為.
18. 設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項(xiàng)和為是等差數(shù)列，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù)的值．
【正確答案】（1），；
（2）9.
【小問1詳解】
設(shè)的公比為，
因?yàn)椋裕?，解得或（舍）?br>所以，
設(shè)的公差為，
因，所以，
所以，解得，所以．
故，.
【小問2詳解】
，
即.
所以
.
，化簡得，又，解得.
所以滿足的最大整數(shù).
19. 在四棱錐中，底面是正方形，若，，，
（1）求四棱錐的體積；
（2）求直線與平面夾角正弦值．
【正確答案】（1）
（2）
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?，所以?br>又，，所以，
在正方形中，，所以，
所以，又，
所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四棱錐的體積為；
【小問2詳解】
過作交于，則，
結(jié)合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標(biāo)系：
則，，，D0,1,0，
故，，，
設(shè)平面法向量為，
則，故，取，則，，所以，
設(shè)直線與平面夾角為，
則，
所以直線與平面夾角的正弦值為.
20. 甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主”，設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）在比賽進(jìn)行4場結(jié)束的條件下，求甲隊(duì)獲勝的概率；
（2）賽事主辦方需要預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用萬元．假設(shè)主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用）的期望高于萬元？
【正確答案】（1）
（2）
【小問1詳解】
記事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束”；事件為“甲最終獲勝”，
事件表示“第場甲獲勝”，
事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束甲獲勝”；事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束乙獲勝”．
則，
因?yàn)楦鲌霰荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，
所以
，
，
因?yàn)榛コ?，所以?br>又因?yàn)椋?br>所以由條件概率計(jì)算公式得.
【小問2詳解】
設(shè)主辦方本次比賽總收入為萬元，
由題意：的可能取值為：．
，
，
，
則隨機(jī)變量的分布列為：
所以．
設(shè)主辦方本次比賽獲利為萬元，則，
所以，
由題意：，
所以預(yù)支球隊(duì)的費(fèi)用應(yīng)小于261萬元．
21. 拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點(diǎn)作的切線，其斜率為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與交于不同的兩點(diǎn)，，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)，過點(diǎn)N作直線的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【正確答案】（1）；
（2）存在，，定點(diǎn).
【小問1詳解】
切線方程為，即，由消去y并整理得：
，則，解得，即，
由離心率得，即，雙曲線，則，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
當(dāng)直線PQ不垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線方程為，，，
由消去x并整理得：，
有，，，
，，因以為直徑的圓過點(diǎn)，則當(dāng)P，Q與N都不重合時(shí)，有，
，當(dāng)P，Q之一與N重合時(shí)，成立，于是得，
則有
，即，
整理得，即，
因此，解得或，均滿足，
當(dāng)時(shí)，直線：恒過，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，直線：，即恒過，符合題意，
當(dāng)直線PQ垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線，由解得，
因以為直徑的圓過點(diǎn)，則由對(duì)稱性得，解得，直線過點(diǎn)，
于是得直線過定點(diǎn)，取EN中點(diǎn)，因于H，從而，
所以存在定點(diǎn)D，使得為定值，點(diǎn).
22. 已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．
【正確答案】（1）；
（2）答案見解析.
【小問1詳解】
由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點(diǎn)，.
則到漸近線，即的距離為，所以，
又漸近線的斜率為2，即，所以，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
由已知可得，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則.
聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程可得，，
設(shè)，，.
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，所以，.
，解得，且.
由韋達(dá)定理可得，，且，.
又，，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
要使為常數(shù)，則應(yīng)與無關(guān)，
即應(yīng)有，解得，此時(shí)是個(gè)常數(shù)，這樣的點(diǎn)存在.
所以，在軸上存在定點(diǎn)的坐標(biāo)為，使得為常數(shù).
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