2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：D
2. 已知集合，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先解二次不等式得出集合，然后利用集合交集運(yùn)算得出集合，最后判斷元素與集合間的關(guān)系.
【詳解】由，
又，
所以，
所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
，故選項(xiàng)B正確，
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：B.
3. 已知為定義在上的偶函數(shù)，則的解析式可以為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定正確答案.
【詳解】由于為定義在上的偶函數(shù)，
所以，
所以，所以是奇函數(shù).
在四個(gè)選項(xiàng)中，A選項(xiàng)是奇函數(shù)，BCD選項(xiàng)都不是奇函數(shù).
故選：A
4. 古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子按照實(shí)際面積定價(jià)，每平方米200元，小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為1.8米且離心率為的橢圓，則小張要買的鏡子的價(jià)格約為（ ）
A. 1356元B. 341元C. 339元D. 344元
【正確答案】C
【分析】設(shè)鏡子的外輪廓對(duì)應(yīng)的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為a米，b米，進(jìn)而結(jié)合題意得 再計(jì)算面積即鏡子的價(jià)格。
【詳解】解：設(shè)鏡子對(duì)應(yīng)的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為a米，b米，
因?yàn)殚L軸長為1.8米且離心半為 ，
解得
，即，
元
故選：C.
5. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上單調(diào)，則的取值集合為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)已知條件列式，由此求得的取值集合.
【詳解】關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
所以①；
，而在上單調(diào)，
所以，②；
由①②得的取值集合為.
故選：C
6. 在三棱錐中，“三棱錐為正三棱錐”是“且”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】驗(yàn)證充分性可根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)通過線面垂直的判定及性質(zhì)判斷線線垂直，必要性驗(yàn)證借助直四棱柱構(gòu)造三棱錐滿足，，結(jié)合直四棱柱的性質(zhì)判斷三棱錐是否為正三棱錐即可.
【詳解】解：充分性：如圖，在中，為中點(diǎn)，連接
若三棱錐正三棱錐，則為正三角形，且，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面
所以平面，又平面，則，
同理可得，故充分性成立；
必要性：如圖，
在直四棱柱中，底面為菱形，且，但
由直四棱柱及底面為菱形，易得，又，
則直四棱柱的側(cè)面均為正方形，易得，且，
由于，則不為正三角形，故三棱錐不為正三棱錐，故必要性不成立；
綜上，“三棱錐為正三棱錐”是“且”的充分不必要條件.
故選：A.
7. 已知P，Q為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則坐標(biāo)原點(diǎn)О到直線PQ的距離的最大值為（ ）
A. B. C. D. 2
【正確答案】C
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，求得點(diǎn)的軌跡，由此求得正確答案.
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，由，得，
設(shè)，由，
得，即，
即，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
則點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
故選：C
8. 如圖，已知OAB是半徑為2km的扇形，，C是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作，垂足為H，某地區(qū)欲建一個(gè)風(fēng)景區(qū)，該風(fēng)景區(qū)由和矩形組成，且，則該風(fēng)景區(qū)面積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】設(shè)，其中.利用表示風(fēng)景區(qū)面積，求出最大值即可.
【詳解】設(shè)，其中，則.
又，則.
則風(fēng)景區(qū)面積.
又，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故選：A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得階段性成效，為深入了解該區(qū)的發(fā)展情況，現(xiàn)對(duì)該區(qū)兩企業(yè)進(jìn)行連續(xù)11個(gè)月的調(diào)研，得到兩企業(yè)這11個(gè)月利潤增長指數(shù)折線圖（如下圖所示），下列說法正確的是（ ）
A. 這11個(gè)月甲企業(yè)月利潤增長指數(shù)的平均數(shù)超過82%
B. 這11個(gè)月的乙企業(yè)月利潤增長指數(shù)的第70百分位數(shù)小于82%
C. 這11個(gè)月的甲企業(yè)月利潤增長指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定
D. 在這11個(gè)月中任選2個(gè)月，則這2個(gè)月乙企業(yè)月利潤增長指數(shù)都小于82%的概率為
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)折線圖估算AC，對(duì)于B項(xiàng)把月利潤增長指數(shù)從小到大排列，計(jì)算%=7.7可求,對(duì)于D項(xiàng)用古典概型的概率解決.
【詳解】顯然甲企業(yè)大部分月份位于%以上，故利潤增長均數(shù)大于%，A正確；
乙企業(yè)潤增長指數(shù)按從小到大排列分別是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10
又因?yàn)?=7.7,所以從小到大排列的第8個(gè)月份，即7月份是第70百分位，從折線圖可知，7月份利潤增長均數(shù)大于%，故B錯(cuò)誤；
觀察折現(xiàn)圖發(fā)現(xiàn)甲企業(yè)的數(shù)據(jù)更集中，所以甲企業(yè)月利潤增長指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定，故C正確；
（2個(gè)月乙企業(yè)月利潤增長指數(shù)都小于82%）,故D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其大意是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 此人第三天行走了一百二十里
C. 此人前七天共行走了九百一十里
D. 此人有連續(xù)的三天共行走了三百九十里
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由題意設(shè)此人第一天走里，第天走里，是等差數(shù)列，
，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
里，B選項(xiàng)正確.
里，C選項(xiàng)正確.
，所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
11. 已知棱長為2的正方體的中心為，用過點(diǎn)的平面去截正方體，則（ ）
A. 所得的截面可以是五邊形B. 所得的截面可以是六邊形
C. 該截面的面積可以為D. 所得的截面可以是非正方形的菱形
【正確答案】BCD
【分析】利用正方體的對(duì)稱性逐一判斷即可.
【詳解】過正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個(gè)交，所以可能是四邊形、五邊形、六邊形，
又根據(jù)正方體對(duì)稱性，截面不會(huì)是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形（如圖）故A錯(cuò)誤，BD正確；
因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，當(dāng)截面過中心且平行與底面時(shí)，截面為矩形（此時(shí)也是正方形），且面積為，若這個(gè)截面繞著中心旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與四邊形重合，此時(shí)面積為，所以在轉(zhuǎn)動(dòng)過程一定存在截面面積為，C正確．
故選：BCD．
12. 設(shè)，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ACD
【分析】逐項(xiàng)分析，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性來確定與，與，與，與大小關(guān)系.
【詳解】解：，，，，
對(duì)于A，設(shè)，則，令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
則，即，所以，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，
則，整理得，所以，故B不正確；
對(duì)于D，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以有，即，所以，則，故D正確；
由前面可知，所以，故C正確.
故選：ACD.
本題主要考查構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)比較指對(duì)冪大小問題，屬于難題.解決本題的關(guān)鍵是處理好指對(duì)冪式子中自變量的位置，結(jié)合作差法比較大小，構(gòu)造差函數(shù)，給定定義域求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性最后比較函數(shù)值大小即可判斷，例如比較，大小，將轉(zhuǎn)換得，可構(gòu)造差函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可確定在的單調(diào)性，從而可得函數(shù)值大小，即可判斷大小關(guān)系.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，若，則_________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算直接求解即可.
【詳解】
四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
，，，
.
故答案為.
14. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)的展開式的通項(xiàng)公式求出的系數(shù)即得的展開式中常數(shù)項(xiàng).
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，
所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為.
15. 已知P為雙曲線C：上異于頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，寫出滿足C的焦距小于8且的C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：_________.
【正確答案】（答案不唯一）
【分析】首先設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組，再寫出滿足條件的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】設(shè)，，，
，
所以，取，則，，
所以滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故（答案不唯一）
16. 設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，，，且，則_________，的最小值為_________.
【正確答案】 ①. ②.
【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象求得，，，的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式求得正確答案.
【詳解】畫出的圖象如下圖所示.
由圖可知，其中.
因?yàn)?，即?br>整理得
且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，
又因?yàn)?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
所以的最小值為.
故；
解決含有絕對(duì)值的對(duì)數(shù)函數(shù)的問題，可結(jié)合函數(shù)圖象來進(jìn)行研究.求解最值問題，可考慮利用基本不等式或二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解.二次函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊.已知.
（1）求；
（2）若，，求的周長.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理邊換角，再用和差公式化簡，代入倍角公式即可求解；
（2）利用余弦定理的變形公式代入即可求解.
【小問1詳解】
，
由正弦定理得：
，，
，
，
即.
【小問2詳解】
，，
①，
又②，③，
聯(lián)立①②③解得：，，
.
即的周長為：16.
18. 2022年卡塔爾世界杯于北京時(shí)間11月20日在卡塔爾正式開賽，該比賽吸引了全世界億萬球迷觀看.為了了解喜愛觀看世界杯是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取200名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表.
（1）試根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)?
（2）在喜愛觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取人參加某電視臺(tái)的訪談節(jié)目，設(shè)參加訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數(shù)之差為，求的分布列.
附：，其中.
【正確答案】（1）喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)
（2）分布列詳見解析
【分析】（1）計(jì)算的值，由此作出判斷.
（2）根據(jù)分布列的求法求得的分布列.
【小問1詳解】
零假設(shè)為喜愛觀看世界杯與性別無關(guān)聯(lián).
根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
所以喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián).
【小問2詳解】
按照分層抽樣的方式抽取人，其中男觀眾人，女觀眾人，
的可能取值為，
，
所以的分布列為：
19. 在四棱錐中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中點(diǎn)，，，.
（1）證明：平面EAC.
（2）若四棱錐的體積為，求直線EC與平面PAB所成角的正弦值.
【正確答案】（1）證明詳見解析
（2）
【分析】（1）通過構(gòu)造中位線的方法來證得平面EAC.
（2）根據(jù)四棱錐的體積求得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線EC與平面PAB所成角的正弦值.
【小問1詳解】
連接交于，連接，
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以是的中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)槠矫嫫矫媲医痪€為，平面，
所以平面.
設(shè)，則，解得.
因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以，?
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
故可設(shè)，
則，
所以直線EC與平面PAB所成角的正弦值為.
20. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是公比為的等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由是公比為的等比數(shù)列，可得，再根據(jù)與的關(guān)系可求得的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果得，按照分組求和方法結(jié)合裂項(xiàng)求和與等比數(shù)列求和公式即可得.
【小問1詳解】
解：因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，其首項(xiàng)為，
所以，則①，
當(dāng)時(shí)，②，則①減去②得：，
即，整理得，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
故.
【小問2詳解】
解：由（1）可得，
所以
.
21. 已知拋物線：，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn).
（1）若直線的方程為，求的面積；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為T，已知點(diǎn)P是不同于A，B的一點(diǎn)，若，，且M，N均在拋物線上，證明：直線PT垂直于y軸.
【正確答案】（1）
（2）證明詳見解析
【分析】（1）結(jié)合弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離公式求得的面積；
（2）通過求的縱坐標(biāo)來求進(jìn)行證明.
【小問1詳解】
設(shè)，
拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，
由消去并化簡得，
，
所以，
到直線的距離，
所以三角形的面積為.
【小問2詳解】
設(shè)，，
由于，所以，
解得，同理可得，
由于均在拋物線上，
所以，
可得是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，
即是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以，
則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
又因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)也是，所以直線垂直于軸.
22. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為0.
（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)恒成立，求的取值范圍.
【正確答案】（1）見解析 （2）
【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，根據(jù)單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再計(jì)算單調(diào)區(qū)間即可.
（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，題目轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，分別根據(jù)必要性和充分性得到答案.
【小問1詳解】
，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為0
可得，即則
設(shè)，則對(duì)恒成立.
所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，并且函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)上，
當(dāng)上，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
，
，所以恒成立．
若對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立．
設(shè)，，，
則．
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，且時(shí)，，，則，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，令則
因?yàn)椋栽趨^(qū)間上有無窮多個(gè)零點(diǎn).
設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即在上恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，，可得，不滿足題意，
綜上可知，的取值范圍為
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分離參量是解決恒成立或者能成立的重要解題方法.而且分離常量常常與函數(shù)的最值結(jié)合.
男
女
合計(jì)
喜愛看世界杯
60
20
80
不喜愛看世界杯
40
80
120
合計(jì)
100
100
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2024-2025學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)高三上冊(cè)12月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測試題（附解析）

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2024-2025學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

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