湖南省衡陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

這是一份湖南省衡陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題，共16頁(yè)。試卷主要包含了本試卷共四道大題，滿分150分，測(cè)試時(shí)量等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1．本試卷共四道大題，滿分150分．
2．測(cè)試時(shí)量：120分鐘，請(qǐng)同學(xué)們科學(xué)、合理地安排好答題時(shí)間．
3．本卷為試題卷，答案必須答在答題卡的指定位置，答在試題卷上無(wú)效．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合，結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.
【詳解】∵，∴，∴，
可知，故A、B、C錯(cuò)誤；，故D正確.
故選：D.
2. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理即可得答案.
【詳解】在定義域上單調(diào)遞增，
，，
而，，
由，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知零點(diǎn)，
故選：C.
3. 的值為（ ）
A. 10B. C. 1D. 不能確定
【答案】A
【解析】
【分析】令，兩邊取常用對(duì)數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.
【詳解】令，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得，解得，
故選：A.
4. 如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象的特征及選項(xiàng)中的解析式，利用排除法進(jìn)行選擇.
【詳解】∵，∴.
由圖知，排除A；
由圖知，進(jìn)而排除C；
對(duì)于D中解析式，顯然，與圖不符，排除D，
所以函數(shù)的解析式可能為B.
故選：B.
5. 已知θ為第三象限角，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】已知條件式切化弦，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，又θ為第三象限角，，可解得，，化簡(jiǎn)所求式子即可得出答案.
【詳解】，即，
又，θ為第三象限角，，
∴，，
∴，
故選：C.
6. ，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及中間值0和1求得結(jié)果.
【詳解】∵，∴，
∴，，，
∴.
故選：B.
7. 若，則的最小值為（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由題可知，利用基本不等式即可求解.
【詳解】由題可知：，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故選：C.
8. “”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.
【詳解】令，，
若在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，
則需使是上的增函數(shù)且，則且，解得.
因?yàn)?，故是的必要不充分條件，
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 若，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、C，利用特殊值判斷D.
【詳解】解：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故B正確，
因?yàn)?，所以，又，∴，故C正確；
對(duì)于D：令，，，，滿足，但是，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 能正確表示圖中陰影部分的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)集合運(yùn)算，結(jié)合圖形分析可得.
【詳解】因?yàn)殛幱安糠衷贐中不在A中，根據(jù)集合的運(yùn)算分析可知ACD正確.
故選：ACD
11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列正確的是（ ）
A. θ的值可為
B. 若，則k為奇數(shù)
C. 若，則
D. 若，則的最大值要大于
【答案】BCD
【解析】
【分析】由圖象確定函數(shù)的周期求得，再由零點(diǎn)求得，從而得函數(shù)解析式，然后由結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)、輔助角公式，判斷各選項(xiàng)．
【詳解】選項(xiàng)A，，，是的零點(diǎn)，由圖象得，得，（以下只要取即可），A錯(cuò)；
選項(xiàng)B，，則，，，故k為奇數(shù)，B對(duì)；
選項(xiàng)C，由，可得，即對(duì)稱軸為，，為其對(duì)稱軸，C對(duì)；
選項(xiàng)D，當(dāng)，時(shí)，，
設(shè)
，
易知的最大值是，
所以的最大值為，大于，D對(duì)．
故選：BCD．
12. 奇函數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 的一個(gè)周期為2B.
C. 為偶函數(shù)D. 為奇函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得的對(duì)稱軸為，結(jié)合的奇函數(shù)性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.
【詳解】，的對(duì)稱軸為，
，∴，A正確；
，故，，
關(guān)于時(shí)稱，故，B錯(cuò)誤；
，偶函數(shù)，C正確；
，為奇函數(shù)，D正確，
故選：ACD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 函數(shù)與互為反函數(shù)，則___________ ．
【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互反函數(shù)求解即可.
【詳解】與互為反函數(shù)，
，故，
∴.
故答案為：
14. 命題p：，的否定為_(kāi)__________；使命題p成立的一個(gè)x的值為_(kāi)__________．
【答案】 ①. ， ②.
【解析】
【分析】由特稱命題的否定為全稱命題得第一空的答案；驗(yàn)證時(shí)，命題p成立，即得第二空答案.
【詳解】解：因?yàn)槊}p：，，
所以命題p：，；
當(dāng)時(shí)，成立，
所以命題p成立的一個(gè)x的值為1.
故答案為：，，1.
15. 2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)，直角三角形中較小的銳角為θ，若，則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為_(kāi)__________．
【答案】5
【解析】
【分析】用三角函數(shù)表示直角三角形的兩條直角邊，得小正方形的邊長(zhǎng)為，由解出，即可求大正方形與小正方形的面積之比.
【詳解】如圖所示，
設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為1，則，，小正方形的邊長(zhǎng)為，
由，兩邊同時(shí)平方得，，
所以，
則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為.
故答案為：5
16. 已知函數(shù)，若函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，則可得，結(jié)合的圖象，即可得答案.
【詳解】解：令，
則有，
∴，
如圖，當(dāng)或，，滿足題意．
故答案為：
四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知函數(shù)．
（1）若，求a；
（2）用定義法證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．
【答案】（1）或
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）直接解方程可得；
（2）根據(jù)定取值、作差、定號(hào)、下結(jié)論的步驟證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，得
故，解得或
【小問(wèn)2詳解】
證：任取
則
∵，∴，
故，即
故在區(qū)間上單調(diào)遞減
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求解即可；
（2）先求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因，
令，，
解得，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
令，由知，
所以要求在區(qū)間上的最值，即求在上的最值，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以.
19. 如圖為傳統(tǒng)節(jié)日玩具之一走馬燈，常見(jiàn)于除夕、元宵、中秋等節(jié)日燈內(nèi)點(diǎn)上蠟燭，蠟燭燃燒產(chǎn)生的熱力造成氣流，令輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)．輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖像便不斷走動(dòng)，因剪細(xì)圖像為古代武將騎馬的圖畫，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)看起來(lái)好像幾個(gè)人你追我趕一樣，故名走馬燈，現(xiàn)打算做一個(gè)體積為96000的如圖長(zhǎng)方體狀的走馬燈(題中不考慮木料的厚薄粗細(xì))．
（1）若底面大矩形的周長(zhǎng)為160cm，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，底面面積最大？
（2）若燈籠高為40cm，現(xiàn)只考慮燈籠的主要框架，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，框架用料最少？
【答案】（1）當(dāng)長(zhǎng)、寬皆為20cm時(shí)，底面矩形面積最大
（2）當(dāng)長(zhǎng)為60cm、寬為40cm時(shí)，用料最少
【解析】
【分析】(1) 設(shè)大矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則有，借助基本不等式計(jì)算面積的最大值；
(2)易得底面面積，借助基本不等式計(jì)算底面周長(zhǎng)最小值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)大矩形的長(zhǎng)為x，寬為y
依題有：，即，則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，底面矩形面積最大
【小問(wèn)2詳解】
依題有，
框架用料最少等價(jià)于底面用料為最小即可，
，當(dāng)，即取等
故當(dāng)長(zhǎng)為60cm、寬為40cm時(shí)，用料最少
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求的值
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】(1)由題意可得，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象求解即可；
(2)由題意可得，將所求式子重新結(jié)合，即可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題知：，
∴，
所以，
∴，
其定義域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，，…，，
所以.
21. m，n為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且．
（1）若，求不等式的解集；
（2）比較a，b，1的大小關(guān)系．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由韋達(dá)定理聯(lián)立消去得 ，從而求得的值，得到的解集；
（2）解法一：根據(jù)零點(diǎn)的分布列出滿足的不等式組求解即可；
解法二：根據(jù)不等式及韋達(dá)定理得，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由換底公式得，
依題意得，兩式相乘得
代入，得
由，得，而
故不等式解集為
【小問(wèn)2詳解】
解法一：因，故，
化簡(jiǎn)得，
故或，
即或.
解法二：∵，∴
即，故，即
故或，
即或.
22. 二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．
（1）求的解析式；
（2），記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1) 設(shè)，由，恒成立，列出不等式組，求解即可；
(2)分，，和，求出的解析式，即可得的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
解：依題設(shè)，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意可得：，，
若，則，則在[0,1]上單調(diào)遞增，
所以；
若，當(dāng)，即時(shí)，在[0,1]上單調(diào)遞增，
當(dāng)，只須比較與的大小，
由，得：，此時(shí)，
時(shí)，，此時(shí)，
綜上，，
時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
綜上可知：的最小值為．