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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21266" 題型01 抽象函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc21266 \h 1
\l "_Tc6946" 題型02 抽象函數(shù)求值 PAGEREF _Tc6946 \h 2
\l "_Tc4006" 題型03 抽象函數(shù)的解析式 PAGEREF _Tc4006 \h 3
\l "_Tc31219" 題型04 抽象函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc31219 \h 5
\l "_Tc6580" 題型05 抽象函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc6580 \h 7
題型01 抽象函數(shù)的定義域
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·貴州六盤水·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）．
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
題型02 抽象函數(shù)求值
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若對(duì)任意的，函數(shù)滿足，則（ ）
A．6B．4C．2D．0
2．（24-25高三上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，都有，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·廣東江門·階段練習(xí)）函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，均有，且，則（ ）
A．1014B．1012C．2024D．2025
4．（24-25高三上·山東濰坊·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，且，，則（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足條件①，，②，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
題型03 抽象函數(shù)的解析式
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、填空題
1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則的解析式可以是 （寫出滿足條件的一個(gè)解析式即可）．
2．（23-24高三上·遼寧遼陽·期中）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且，，則 ．
3．（23-24高三上·湖北·期末）函數(shù)滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)的解析式 .
4．（24-25高三上·北京·期中）寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù) .
①，，；
②，且，.
5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足對(duì)任意，，等式恒成立，則的解析式為 ．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①對(duì)任意，都有；②的函數(shù) .
7．（23-24高三上·海南?？凇て谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，，請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè) （答案不唯一）．
8．（2024·陜西銅川·三模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，寫出函數(shù)的一個(gè)解析式為 .
題型04 抽象函數(shù)的單調(diào)性
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
1．（24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．（湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·甘肅天水·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①；②；③.則等于（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·江蘇·期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，若且時(shí)，恒成立，，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
題型05 抽象函數(shù)的奇偶性
【典例訓(xùn)練】
1．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，，則函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)
2．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)
3．已知對(duì)任意x，，都有，且，那么 （ ）
A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)
4．（23-24高三下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）
A．B．C．為偶函數(shù)D．為奇函數(shù)
5．（多選）（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，且，則（ ）
A．B．
C．不可能是奇函數(shù)D．在上單調(diào)遞增
6．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．D．若，則
一、單選題
1．（2024·山西·一模）已知函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，若，則（ ）
A．B．
C．為偶函數(shù)D．為奇函數(shù)
2．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿足，且 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．
4．（24-25高三上·天津北辰·階段練習(xí)）已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·河南駐馬店·期末）設(shè)函數(shù)，則使成立的的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)是減函數(shù)
7．（24-25高三上·新疆·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·遼寧撫順·一模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)
二、多選題
9．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的實(shí)數(shù)，滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．為上的減函數(shù)D．為奇函數(shù)
10．（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．
C．D．在上單調(diào)遞增
11．（24-25高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若?duì)，都有，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)為奇函數(shù)D．函數(shù)為增函數(shù)
12．（24-25高三上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．
C．是奇函數(shù)D．
13．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，下面對(duì)于定義在R上的函數(shù)，滿足，有，則下面判斷一定正確的是（ ）
A．是的一個(gè)周期B．是奇函數(shù)
C．是偶函數(shù)D．
三、填空題
14．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）寫出滿足的函數(shù)的解析式 ．
15．（22-23高三上·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)，，；②．請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)f（x）＝ ．
16．（22-23高三上·河南開封·階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：
（1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y恒有；
（2）在上單調(diào)遞減.
請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè) .
抽象函數(shù)定義域的確定
所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對(duì)應(yīng)法則。在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)。
抽象函數(shù)的定義域的求法
(1)若已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f (g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函數(shù)f (g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f (x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．
注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.
一般采用賦值法，0,1，x,-x是常見的賦值手段
抽象函數(shù)的模型
【反比例函數(shù)模型】
反比例函數(shù)：，則，
【一次函數(shù)模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則為奇函數(shù)；
模型3：若則；
模型4：若則；
【指數(shù)函數(shù)模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則；
模型3：若，則；
模型4：若，則；
【對(duì)數(shù)函數(shù)模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
模型3：若，則
模型4：若，則
模型5：若，則
【冪函數(shù)模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
代入則可化簡(jiǎn)為冪函數(shù)；
【余弦函數(shù)模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
【正切函數(shù)模型】
模型：若，則
模型3：若，則
抽象函數(shù)的性質(zhì)
1.周期性：；；
；（為常數(shù)）；
2.對(duì)稱性：
對(duì)稱軸：或者 關(guān)于對(duì)稱；
對(duì)稱中心：或者 關(guān)于對(duì)稱；
3.如果同時(shí)關(guān)于對(duì)稱，又關(guān)于對(duì)稱，則的周期
4.單調(diào)性與對(duì)稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題
①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有
；
在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有
；
②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號(hào)加絕對(duì)值）；
在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（變號(hào)加絕對(duì)值）；
③關(guān)于對(duì)稱，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有
；
關(guān)于對(duì)稱，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有
；
④關(guān)于對(duì)稱，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號(hào)加絕對(duì)值）；
關(guān)于對(duì)稱，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（不變號(hào)加絕對(duì)值）；

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