本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
故，
故選：A
2. 函數(shù)的定義域是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用根式函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義域求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，即，
解得，
故選：B
3. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷上的符號、上單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.
【詳解】由解析式知：在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，且，，
綜上，零點(diǎn)所在的區(qū)間為.
故選：B
4. 函數(shù)的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對于函數(shù)，有，解得且，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)，排除CD選項(xiàng)，
當(dāng)時，，則，排除B選項(xiàng).
故選：A.
5. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合“媒介”數(shù)即可比較判斷作答.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，
，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，則，即，
所以a，b，c的大小關(guān)系為.
故選：C.
6. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性結(jié)合得出，再結(jié)合解析式得出答案.
【詳解】由函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，，而，則
故選：A
7. 20世紀(jì)30年代，查爾斯·里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級，其計(jì)算公式為，其中，是被測地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差），則里氏7.5級地震的最大振幅余里氏4級地震的最大振幅的比值約為（參考數(shù)據(jù)：）（）
A. 790B. 1580C. 3160D. 6320
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意給的公式列出關(guān)于對數(shù)的方程組，利用指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)里氏7.5級地震的最大振幅和里氏4級地震的最大振幅分別為、，
由題意得，得
故.
故選：C
8. 已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),,滿足,其中,則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因?yàn)榍?由圖像可知在二次函數(shù)圖像上且,數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍,即可求得的取值范圍.
【詳解】畫出圖像,如圖
且,
由圖像可知在二次函數(shù)圖像上且
由圖可知,,即
的取值范圍是:.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)圖像與性質(zhì),考查了二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達(dá)形式,它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì).
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. （多選題）下列計(jì)算正確的是（）
A. B.
C. D. 已知，則
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)根式運(yùn)算和指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解判斷.
【詳解】A. ，故錯誤；
B. ，故正確；
C. ，故正確；
D. 因?yàn)?，所以，則，故錯誤；
故選：BC
10. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、特殊值確定正確選項(xiàng).
【詳解】若，但，A錯誤.
若，但，D錯誤.
由于和在上遞增，所以，
所以BC選項(xiàng)正確.
故選：BC
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. ，為奇函數(shù)
B. ，為偶函數(shù)
C. ，的值為常數(shù)
D. ，有最小值
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A、B，假設(shè)成立，根據(jù)奇偶性的性質(zhì)得到方程，即可判斷；利用特殊值判斷C；對于D，將函數(shù)解析式變形為，分和兩種情況討論，即可判斷.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>對于A：若為奇函數(shù)，則，即，
即，顯然方程不恒成立，故不存在，使得為奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B：若為偶函數(shù)，則，即，
即，當(dāng)時方程恒成立，故當(dāng)時，對，為偶函數(shù)，故B正確；
對于C：當(dāng)，時為常數(shù)函數(shù)，故C正確；
對于D：的定義域?yàn)?，?br>所以，
當(dāng)，即時變形為，
當(dāng)時方程有解，
當(dāng)、時方程在上恒成立，
當(dāng)，即時，
方程在上有解，所以，
即，
因?yàn)椋?br>當(dāng)、時變形為，解得，
當(dāng)或時，可以求得的兩個值，
不妨設(shè)為和，則，
所以解得，
所以當(dāng)時，，有最小值，故D正確；
故選：BCD
12. 已知，，且，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）
A. B. C. 3D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，，得，即需小于等于的最小值即可得.
【詳解】由，，則，
即恒成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故，即，
即，
解得或.
故選：ABC.
第II卷非選擇題（90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】由分段函數(shù)定義行計(jì)算出和，然后可得結(jié)論．
【詳解】由題意，，
所以．
故答案為：1．
14. 某班有學(xué)生45人，參加了數(shù)學(xué)小組的學(xué)生有31人，參加了英語小組的學(xué)生有26人.已知該班每個學(xué)生都至少參加了這兩個小組中的一個小組，則該班學(xué)生中既參加了數(shù)學(xué)小組，又參加了英語小組的學(xué)生有___________人.
【答案】12
【解析】
【分析】設(shè)該班學(xué)生中既參加了數(shù)學(xué)小組，又參加了英語小組的學(xué)生有人，列方程求解即可.
【詳解】設(shè)該班學(xué)生中既參加了數(shù)學(xué)小組，又參加了英語小組的學(xué)生有人，則.
故答案為：12.
15. 若“”的一個充分不必要條件是“”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合的包含關(guān)系解不等式即可.
【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡囊粋€充分不必要條件，
所以是的真子集，故，
故答案為：
16. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)題意把函數(shù)的零點(diǎn)問題即的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖像交點(diǎn)問題，由題可得關(guān)于對稱，由，可得的周期為4，根據(jù)函數(shù)圖像，即可得解.
【詳解】由可得關(guān)于對稱，
由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以，
所以周期為4，
把函數(shù)的零點(diǎn)問題即的解，
即函數(shù)和的圖像交點(diǎn)問題，
根據(jù)的性質(zhì)可得函數(shù)圖像，結(jié)合的圖像，
由圖像可得共有2個交點(diǎn)，故共有2個零點(diǎn)，
故答案為：2.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 求值：
（1），
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則即可求得答案；
（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則即可求得答案.
【小問1詳解】
原式=.
【小問2詳解】
原式=.
18. 已知集合，且.
（1）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）（2）．
【解析】
【分析】
（1）解不等式組得解；（2）由題得或，解不等式得解.
【詳解】解：（1）由題知得，所以，
解得．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）∵命題“”為真命題，則
∴或，
解得或．又∵
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的關(guān)系，考查充分條件的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.
19. 已知：.
（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)取值范圍；
（2）已知：，如果都是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）為真命題，則，解得答案.
（2）當(dāng)為真命題，在時恒成立，得到，再根據(jù)假命題得到答案.
【小問1詳解】
若為真命題，則，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
若為真命題，則在時恒成立，
又在上單調(diào)遞增，則，，故，即.
都是假命題，故，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20. 已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】(1)由 f（0）=0,求得a,根據(jù)又，求得b，可得解析式.（2）根據(jù)在上單調(diào)遞增，將原不等式等價變形為在有解，分參得，設(shè),可得的最小值，得到結(jié)果.
【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可知f（0）=0,a=-1,
又，則=-，
=-，b=1，
（2） =1-，所以在上單調(diào)遞增；
由 可得在有解
分參得，
設(shè), ，所以,
則的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查了指數(shù)函數(shù)式的運(yùn)算及最值問題，屬于中檔題.
21. 某汽車公司為測量某型號汽車定速巡航狀態(tài)下的油耗情況，選擇一段長度為的平坦高速路段進(jìn)行測試，經(jīng)多次測試得到一輛汽車每小時耗油量單位：與速度單位：的一些數(shù)據(jù)如下表所示.
為了描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，，且.
（1）請選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）這輛車在該測試路段上以什么速度行駛才能使總耗油量最少
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，代入數(shù)據(jù)列得關(guān)于的方程組，解方程組即可，故可得解析式.
設(shè)這輛汽車在該測試路段的總耗油量為單位：，行駛時間為單位：，由題意得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.
【小問1詳解】
由題意可知，符合本題的函數(shù)模型必須滿足定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增.
函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以不符合題意
函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以不符合題意；
函數(shù)，且中的，即定義域不可能為，也不符合題意
所以選擇函數(shù)模型.
由已知數(shù)據(jù)得
解得
所以.
【小問2詳解】
設(shè)這輛車在該測試路段的總耗油量為，行駛時間為.
由題意得:
，因?yàn)?，所以?dāng)時，有最小值.
所以這輛車在該測試路段上以的速度行駛才能使總耗油量最少，最少
為.
22. 若函數(shù)對定義域內(nèi)每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．
（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）若函數(shù)的定義域?yàn)榍仪揖哂行再|(zhì)，求的值；
（3）已知，函數(shù)的定義域?yàn)榍揖哂行再|(zhì)，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）具有性質(zhì)，理由見解析
（2）15（3）
【解析】
【分析】（1）取，即可得到，再根據(jù)的性質(zhì)即可判斷；
（2）首先將函數(shù)配成頂點(diǎn)式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得，從而得到，再根據(jù)、的取值情況得到方程組，解得即可；
（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即可得到，從而求出的值，依題意可得對任意的恒成立，再分和兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.
【小問1詳解】
解：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意的，取，則，
結(jié)合的圖象可知對內(nèi)任意的，是唯一存在的，
所以函數(shù)具有性質(zhì).
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?，所以在上是增函?shù)，
又函數(shù)具有性質(zhì)，所以，即，
因?yàn)?，所以且?br>又，所以，解得，所以．
【小問3詳解】
解：因?yàn)椋?，且在定義域上單調(diào)遞增，
又因，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)榫哂行再|(zhì)，
從而，即，所以，
解得或（舍去），
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，
所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以
即對任意的恒成立．
所以或，
解得或，
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是．

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