2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。在試題卷上作答無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。滿分100分，考試用時(shí)75分鐘。
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。
1. 2022年11月30日，“神舟十五號(hào)”載人飛船與“天和”核心艙成功對(duì)接，對(duì)接前“神舟十五號(hào)”飛船在圓形軌道1運(yùn)行，對(duì)接后共同沿圓形軌道2運(yùn)行，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 飛船在1軌道周期大于在2軌道周期
B. 飛船從1軌道變到2軌道需要點(diǎn)火加速
C. 飛船在2軌道的加速度大于在1軌道的加速度
D. 飛船在1軌道與地心的連線和在2軌道與地心的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相同
【答案】B
【解析】
【詳解】A．根據(jù)開(kāi)普勒第三定律
可知，飛船在1軌道周期小于在2軌道周期，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B．飛船從1軌道變到2軌道需要點(diǎn)火加速做離心運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B正確；
C．根據(jù)
可知，飛船在2軌道的加速度小于在1軌道的加速度，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D．因1軌道和2軌道不是同一軌道，則飛船在1軌道與地心的連線和在2軌道與地心的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不相同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
故選B。
2. 某同學(xué)宿舍的門(mén)口掛著若干串連珠，每一串都是由10顆完全相同的小珠組成，相鄰的小珠之間用等長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線連接，一陣風(fēng)吹來(lái)，假設(shè)每個(gè)小珠受到水平向右且大小相等的恒定風(fēng)力，則穩(wěn)定時(shí)連珠在空中的排列位置最接近的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】對(duì)最下方小燈籠受力分析可知，小燈籠受到重力、風(fēng)力，繩子拉力的作用，根據(jù)平衡條件有
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為，有
對(duì)最下方的兩個(gè)小燈籠受力分析有
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為，有
同理可知對(duì)最下方n個(gè)小燈籠受力分析有
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為，有
可得繩子與豎直方向夾角都相等。
故選C。
3. 如圖所示，在正方體的、兩點(diǎn)分別放置電量為、的點(diǎn)電荷，取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 點(diǎn)的電勢(shì)為零
B. 點(diǎn)與點(diǎn)的電勢(shì)相等
C. 將電子從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，電場(chǎng)力做正功
D. 點(diǎn)與點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等、方向相反
【答案】B
【解析】
【詳解】A．點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離不相等，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)的電勢(shì)不為零，故A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)與點(diǎn)的電勢(shì)相等，故B正確；
C．點(diǎn)與正電荷距離近，與負(fù)電荷距離遠(yuǎn)，而點(diǎn)與正電荷距離遠(yuǎn)，與負(fù)電荷距離近，則點(diǎn)電勢(shì)高于點(diǎn)的電勢(shì)，將電子從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，電勢(shì)降低，電場(chǎng)力做負(fù)功，故C錯(cuò)誤；
D．根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加可知，點(diǎn)與點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向相同，故D錯(cuò)誤。
故選B。
4. 如圖所示，一對(duì)完全相同的線圈A、B固定在水平薄板的上、下兩側(cè)，圓形線圈P靜置在水平薄板上與A、B共軸平行等距。設(shè)從上往下看順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，現(xiàn)給線圈P通入正方向的電流，忽略薄板對(duì)磁場(chǎng)的影響，若使線圈P恰好能離開(kāi)薄板，可能的辦法是（）
A. 線圈A、B通入等大且同為負(fù)向的電流
B. 線圈A、B通入等大且同為正向電流
C. 線圈A、B通入等大且分別為正向、負(fù)向的電流
D. 線圈A、B通入等大且分別為負(fù)向、正向的電流
【答案】C
【解析】
【詳解】線圈P通入正方向的電流，線圈P恰好能離開(kāi)薄板時(shí)，水平薄板對(duì)線圈P向上的支持力為零，可知線圈A、B對(duì)線圈P的安培力均向上，根據(jù)同向電流相互吸引，反向電流相互排斥，可能的辦法是線圈A、B通入等大且分別為正向、負(fù)向的電流。
故選C。
5. 重慶一中校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上，愛(ài)一中同學(xué)舉著班牌檢閱時(shí)天空突然下雨。如圖所示，設(shè)雨滴分布均勻，以恒定速度豎直下落，單位體積雨滴質(zhì)量一定，愛(ài)一中以速度保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，班牌始終在豎直平面內(nèi)，則雨滴對(duì)班牌的水平平均作用力（）
A. 與成正比B. 與成正比
C. 與成正比D. 與、都無(wú)關(guān)
【答案】D
【解析】
【詳解】設(shè)單位體積里面的雨滴的質(zhì)量為，水的密度為，根據(jù)密度公式
從水平方向上分析，設(shè)班牌的面積為S，班牌對(duì)水的力為F，作用時(shí)間極短為，碰撞后水的速度變成了v
解得
在水平方向?qū)τ甑瘟袆?dòng)量定理，則有
求得
根據(jù)牛頓第三定律，雨滴對(duì)班牌的水平平均作用力
由于不清楚碰撞之后雨滴的速度，故選D。
6. 重慶市三峽廣場(chǎng)的三峽水景觀景處，水池底水平放置四條紅色線狀燈帶構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形，燈帶平面到水面的距離為，水對(duì)紅光的折射率為，有紅光射出的水面形狀為下列圖中的（用陰影表示）（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】取細(xì)燈帶上某一點(diǎn)作為點(diǎn)光源，點(diǎn)光源發(fā)出的光在水面上有光射出的水面形狀為圓形，設(shè)此圓形的半徑為R，點(diǎn)光源出的光線在水面恰好全反射的光路圖如圖所示。
由
可得
根據(jù)幾何關(guān)系可得
則一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的光在水面上能看到的圓，光射出的水面形狀邊緣為弧形。四條紅色線狀燈帶構(gòu)成的發(fā)光體發(fā)出的光在水面上有光射出的水面形狀的示意圖如圖所示
故選A。
7. 如圖所示，廚師在展示廚藝時(shí)，將蛋糕放置在一水平托盤(pán)上，并控制托盤(pán)做豎直平面內(nèi)半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，托盤(pán)始終保持水平。蛋糕可視為質(zhì)點(diǎn)，與托盤(pán)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為。若蛋糕始終與托盤(pán)保持相對(duì)靜止，則托盤(pán)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速率為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】設(shè)托盤(pán)給蛋糕最大靜摩擦力為f，支持力為N，對(duì)于右上方可以列
兩個(gè)式聯(lián)立，當(dāng)
時(shí)，速度有最大值，則解得
故選B。
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分。
8. 如圖所示，勁度系數(shù)為的輕彈簧上端固定于點(diǎn)，下端連接一個(gè)質(zhì)量為可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊?，F(xiàn)將物塊由點(diǎn)靜止釋放，為彈簧原長(zhǎng)，物塊到達(dá)最低點(diǎn)點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 物塊在點(diǎn)的加速度大小為
B. 、兩點(diǎn)的距離為
C. 從點(diǎn)到點(diǎn)，物塊的加速度先增大后減小
D. 從點(diǎn)到點(diǎn)，物塊的回復(fù)力先減小后增大
【答案】AD
【解析】
【詳解】A．物塊由點(diǎn)靜止釋放后做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因在O點(diǎn)時(shí)的加速度為向下的g，則到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的加速度為向上的g，選項(xiàng)A正確；
B．在OA的中點(diǎn)時(shí)為平衡位置，此時(shí)滿足
則、A兩點(diǎn)的距離為
選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
CD．從點(diǎn)到A點(diǎn)，開(kāi)始階段重力大于向上的彈力，則加速度向下，隨彈力的增加，回復(fù)力減小，加速度減小，當(dāng)?shù)竭_(dá)平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，此時(shí)加速度為零；然后繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)向上的彈力大于重力，回復(fù)力增加，加速度向上且逐漸增大，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)加速度最大，則物塊的回復(fù)力先減小后增大，物塊的加速度先減小后增大，故選C錯(cuò)誤，D正確。
故選AD。
9. 如圖（a）所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中固定一個(gè)傾角為的斜面，電場(chǎng)方向沿斜面向上，一帶正電的物體受與摩擦力大小相等的電場(chǎng)力作用，從斜面底端以某一初速度沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，到速度減為零的過(guò)程中，電場(chǎng)力和重力對(duì)物體做功隨時(shí)間變化的關(guān)系分別如圖（b）中曲線①、②所示，則（）
A. 物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為
B. 物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為
C. 從底端開(kāi)始，當(dāng)重力做功為時(shí)，物體的動(dòng)能可能為
D. 從底端開(kāi)始；當(dāng)重力做功為時(shí)，物體的動(dòng)能可能為.
【答案】AC
【解析】
【詳解】AB．設(shè)沿斜面上升速度減為零，根據(jù)圖像可知，重力做功
由于電場(chǎng)力等于摩擦力，故物塊沿斜面上升過(guò)程中電場(chǎng)力做的正功等于摩擦力做的負(fù)功，即
聯(lián)立上式解得
故A正確，B錯(cuò)誤；
CD．當(dāng)重力做功為時(shí)，設(shè)物體沿斜面上升的距離為，則
物塊沿斜面向下時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理
其中
解得
故C正確，D錯(cuò)誤。
故選AC。
10. 利用磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)粒子偏轉(zhuǎn)或聚焦是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。如圖所示，圓柱體真空管內(nèi)存在與圓柱體中軸線軸平行向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，圓柱體半徑為，在左側(cè)面圓心（為坐標(biāo)原點(diǎn)）有一粒子源，某時(shí)刻發(fā)射大量電量為、質(zhì)量為的粒子進(jìn)入真空管，初速度方向在與軸夾角為的同一豎直平面內(nèi)，初速度沿軸方向的分量大小為，粒子在磁場(chǎng)中做螺旋線運(yùn)動(dòng)，忽略粒子間的相互作用和磁場(chǎng)的邊界效應(yīng)，不計(jì)重力，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 粒子從圓心發(fā)射到再次匯聚一點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為
B. 欲使粒子剛好在匯聚點(diǎn)離開(kāi)真空管，則真空管長(zhǎng)應(yīng)為
C. 粒子運(yùn)動(dòng)中都不碰撞到真空管壁，則最大值為
D. 若磁場(chǎng)方向垂直平面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨坐標(biāo)變化關(guān)系為，則在平面內(nèi)沿與軸夾角為發(fā)射的粒子不碰撞區(qū)域內(nèi)的真空管壁，初速度的最大值為
【答案】BC
【解析】
【詳解】A．粒子在圓柱體內(nèi)沿x軸方向做速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直與x軸方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子從圓心發(fā)射到再次匯聚一點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期
故A錯(cuò)誤；
B．欲使粒子剛好在匯聚點(diǎn)離開(kāi)真空管，則真空管長(zhǎng)應(yīng)為
（n=1，2，3，……）
故B正確；
C．粒子在圓柱體中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，則
解得
粒子運(yùn)動(dòng)中都不碰撞到真空管壁，則在垂直與x軸方向的最大速度為，則
垂直與x軸方向的最大速度與水平方向的速度關(guān)系
解得最大值為
故C正確；
D．在平面內(nèi)沿與軸夾角為發(fā)射的粒子不碰撞區(qū)域內(nèi)的真空管壁，則粒子的速度與真空管壁平行；由于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨坐標(biāo)變化關(guān)系為，所以從O點(diǎn)到真空管壁的磁感應(yīng)強(qiáng)度的平均值為
如圖
設(shè)初速度的最大值為，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
由
解得
故D錯(cuò)誤。
故選BC。
三、非選擇題：本大題共5小題，共57分。
11. 某興趣小組測(cè)量某粗細(xì)均勻電阻絲的電阻率，將電阻絲拉直固定在帶有刻度尺的木板上，現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)器材：螺旋測(cè)微器、電源（電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)阻未知）、電流表（內(nèi)阻很?。㈦娮柘?、待測(cè)電阻絲、單刀單擲開(kāi)關(guān)、導(dǎo)線若干。圖（a）是實(shí)驗(yàn)電路設(shè)計(jì)圖，完成下列填空：
（1）測(cè)量電阻絲直徑如圖（b）所示，讀數(shù)為_(kāi)_____cm；
（2）閉合開(kāi)關(guān)，調(diào)節(jié)電阻箱，使電流表為某一適當(dāng)?shù)淖x數(shù)，測(cè)量并記下此時(shí)電阻絲接入電路的長(zhǎng)度和電阻箱讀數(shù)；
（3）改變電阻絲接入電路的長(zhǎng)度，調(diào)節(jié)電阻箱阻值，使得電流表的示數(shù)為_(kāi)_____時(shí)，記錄每次不同長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的電阻箱阻值，畫(huà)出圖線如圖（c）所示，則電阻絲的電阻率為_(kāi)_____（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）。
【答案】 ①. 0.0680 ②. ③.
【解析】
【詳解】（1）[1]測(cè)量電阻絲直徑為
d=0.5mm+0.01mm×18.0=0.680mm=0.0680cm
（3）[2][3]改變電阻絲接入電路的長(zhǎng)度，調(diào)節(jié)電阻箱阻值，使得電流表的示數(shù)為時(shí)，記錄每次不同長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的電阻箱阻值，則每次的總電阻不變，即
（常數(shù)）
則
由圖線可得
則電阻絲的電阻率為
12. 現(xiàn)利用如圖（a）所示電路圖測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)阻和待測(cè)電壓表V1的內(nèi)阻。V2是非理想電壓表，靈敏電流計(jì)內(nèi)阻較大（零刻度在中央），兩個(gè)電阻箱、的電阻調(diào)節(jié)范圍足夠大，實(shí)驗(yàn)如下：
（1）將、的阻值調(diào)到最大，閉合開(kāi)關(guān)；
（2）反復(fù)調(diào)節(jié)、的阻值，直到靈敏電流計(jì)的示數(shù)為零時(shí)，記錄電壓表V1、V2的讀數(shù)分別為、，、的讀數(shù)分別為、，電源的路端電壓______，電源的電流______，待測(cè)電壓表V1的內(nèi)阻______。（用題中所給字母表示）
（3）重復(fù)步驟（2），得到多組和的數(shù)值，作出圖像如圖（b）所示，縱、橫截距分別為、。測(cè)得電源電動(dòng)勢(shì)______，內(nèi)阻______。（用題中所給字母表示）
（4）不考慮偶然誤差，測(cè)得的電動(dòng)勢(shì)______（填“大于”“等于”或“小于”）真實(shí)值。
【答案】 ①. + ②. ③. ④. a ⑤. ⑥. 等于
【解析】
【詳解】（2）[1]反復(fù)調(diào)節(jié)兩個(gè)電阻箱的阻值，直到靈敏電流計(jì)的示數(shù)為零時(shí)，電壓表V1、V2的讀數(shù)分別為、，則路端電壓為
U=+
[2]電源的電流為
[3]同時(shí)有
解得
（3）[4] [5]根據(jù)閉合電路歐姆定律可知
結(jié)合圖像的斜率和截距可知
，
（4）[6]實(shí)驗(yàn)中消除了電表內(nèi)阻帶來(lái)的影響，所以測(cè)得的電動(dòng)勢(shì)等于真實(shí)值。
13. 如圖所示，光滑水平地面上有可視為質(zhì)點(diǎn)的P、Q兩物體，質(zhì)量分別為、。在水平推力作用下，P、Q自點(diǎn)由靜止開(kāi)始一起向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)。OA、AB、BC段距離分別為、、，且；所用時(shí)間分別為、、。求：
（1）的大??；
（2）若，則P、Q兩物體間作用力的大小。
【答案】（1）0.5s；（2）16N
【解析】
【詳解】（1）根據(jù)勻加速直線位移公式有
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于這段時(shí)間的平均速度可知
聯(lián)立解得
s
（2）若，根據(jù)
可解得
m/s2
對(duì)Q，根據(jù)牛頓第二定律有
N
14. 如圖所示，虛線將坐標(biāo)系分成上下兩部分，上方區(qū)域?yàn)樨Q直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，下方為垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)電量為、質(zhì)量為的帶電粒子從點(diǎn)以初速度水平拋出，恰好從點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)。A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，不計(jì)粒子重力。求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大?。?br>（2）若粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)能過(guò)點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；
（3）若粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)后再次經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則粒子從離開(kāi)磁場(chǎng)到點(diǎn)的時(shí)間為多少？
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【詳解】（1）從C到B過(guò)程，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
聯(lián)立解得
，
（2）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度與水平方向夾角滿足
根據(jù)幾何關(guān)系，虛線與水平方向夾角
則進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子速度方向與虛線夾角為
速度大小為
在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系，軌跡圓心與B點(diǎn)連線與x軸負(fù)方向夾角為60°，故
軌跡半徑
根據(jù)洛倫茲力提供向心力
解得
（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，粒子出磁場(chǎng)時(shí)，速度方向也與虛線夾角30°，即水平方向出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，剛好到C，設(shè)出磁場(chǎng)的位置到y(tǒng)軸的距離為x，則根據(jù)幾何關(guān)系到A點(diǎn)的豎直距離為，從出磁場(chǎng)到C過(guò)程中
聯(lián)立解得
或
15. 代數(shù)法和幾何法都是解決物理問(wèn)題的重要方法。如圖所示，在光滑水平面上，有兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊A、B，質(zhì)量分別為、，且。開(kāi)始時(shí)A物塊以初速度水平向右運(yùn)動(dòng)，B物塊靜止，A物塊右側(cè)為一豎直墻面，A與B、B與墻面之間的碰撞均為彈性碰撞。在A、B碰撞中，A、B系統(tǒng)的總動(dòng)量①恒定；碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能②相等，其中、分別為物塊A、B的速度。為求解碰撞后速度，有以下兩種方法。代數(shù)法：①式和②式聯(lián)立求解。幾何法：規(guī)定、向右為正值，向左為負(fù)值，在直角坐標(biāo)系中，令坐標(biāo)，，①式和②式分別是關(guān)于、的直線方程和圓方程，兩方程圖像交點(diǎn)即為碰撞通解。設(shè)A與B、B與墻面之間碰撞總次數(shù)為。（題中已知物理量為、、；當(dāng)無(wú)窮小時(shí)，）求：
（1）若，，通過(guò)代數(shù)法計(jì)算A與B、B與墻面每次碰撞后A、B的速度及的大??；
（2）寫(xiě)出A、B第一次碰撞關(guān)于、的直線方程及斜率和圓方程及半徑；
（3）通過(guò)幾何法計(jì)算驗(yàn)證（1）問(wèn)中的大小并作圖；
（4）、是定值且，則的取值范圍。
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），，，；（3）見(jiàn)解析；（4）
【解析】
【詳解】（1）設(shè)A、B第一次碰撞后速度分別為、，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可得
聯(lián)立解得
，
A、B第一次碰撞后，B與墻面發(fā)生彈性碰撞，速度反向，返回的過(guò)程中與A發(fā)生第二次碰撞，設(shè)第二次碰撞后A、B的速度分別為、，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可得
聯(lián)立解得
，
設(shè)第三次碰撞后A、B的速度分別為、，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可得
聯(lián)立解得
，
之后A、B及B與墻面將不再發(fā)生碰撞，該過(guò)程中A與B共發(fā)生了3次碰撞，而B(niǎo)與墻面發(fā)生了2次碰撞，則總碰撞次數(shù)。
（2）根據(jù)以上分析，結(jié)合已知條件，將坐標(biāo)，，代入直線方程，可得A、B第一次碰撞關(guān)于、的直線方程分別為
整理可得
可得該直線方程的斜率為
將，，代入圓的方程，可得
整理可得
由此可知該圓的半徑為
（3）將，分別代入直線方程和圓的方程可得
將直線方程與圓的方程聯(lián)立可得
解得
，
可得
，
發(fā)生第一次碰撞后，A、B同向向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B與墻面碰撞后速度反向，A、B發(fā)生第二次碰撞時(shí)的速度分別為、，則發(fā)生第二次碰撞時(shí)系統(tǒng)的總動(dòng)量為0，因此可得直線方程為
斜率與直線方程的斜率相同；A、B發(fā)生第三次碰撞時(shí)的速度分別為、，則發(fā)生第三次碰撞時(shí)系統(tǒng)的總動(dòng)量為，因此可得直線方程為
斜率與直線方程的斜率相同，因此可知，三條直線方程平行，直線方程過(guò)圓的最右端與相交，直線過(guò)原點(diǎn)，直線過(guò)圓的最左端與相交，做出圓的方程，將三條直線方程與圓的方程做在同一直角坐標(biāo)系中，圖像如圖所示
三條斜率相同的傾斜直線與圓的交點(diǎn)即為碰后坐標(biāo)，而B(niǎo)與墻面發(fā)生碰撞速度大小不變，只是方向發(fā)生改變，坐標(biāo)圖中垂直于的直線即表示B與墻面發(fā)生碰撞，綜合分析可知，直線與圓的交點(diǎn)即為碰撞的總次數(shù)，初始交點(diǎn)坐標(biāo)（，0）除外總計(jì)有5個(gè)交點(diǎn)，即總共碰撞了5次，因此可證得。
（4）根據(jù)以上分析可知，直線斜率
則
如圖所示
初始坐標(biāo)為A，A、B碰撞，B與墻面碰撞后的坐標(biāo)依次為B、C、D、E、F、G，則的弦切角即所對(duì)圓周角，為，、、所對(duì)圓周角也為，而若的弦切角小于，碰撞即停止，所以N次碰撞后所對(duì)圓周角總和小于，但N+1次碰撞大于等于，即
可得
由已知
當(dāng)無(wú)窮小時(shí)
由此可得

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