湖北省部分市州2025年元月高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份湖北省部分市州2025年元月高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共18頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知命題，命題，則命題p是命題q的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2．已知單位向量a，b滿(mǎn)足，則a與b的夾角為( )
A.B.C.D.
3．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為( )
A.B.C.D.
4．若隨機(jī)變量的分布列如下表，表中數(shù)列為等差數(shù)列，則的取值是( )
A.B.C.D.
5．函數(shù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則( )
A.B.C.D.
6．已知拋物線(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且，則直線(xiàn)的斜率的最大值為( )
A.B.1C.D.2
7．正方體的棱長(zhǎng)為3，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，該三棱錐外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
8．已知，對(duì)恒成立，則的最小值為( )
A.4B.6C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說(shuō)法中正確的是( )
A.回歸直線(xiàn)恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)
B.用決定系數(shù)刻畫(huà)回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好
C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大
D.基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)
10．如圖所示，已知角，的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B，M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，射線(xiàn)與單位圓交于點(diǎn)C，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.
C.
D.點(diǎn)M的坐標(biāo)為
11．直線(xiàn)族是指具有某種共同性質(zhì)的直線(xiàn)的全體，例如表示過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)族（不包括直線(xiàn)）.直線(xiàn)族的包絡(luò)曲線(xiàn)定義為：直線(xiàn)族中的每一條直線(xiàn)都是該曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)，且該曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)處的切線(xiàn)都是該直線(xiàn)族中的某條直線(xiàn).已知直線(xiàn)族，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若，，則該直線(xiàn)族的包絡(luò)曲線(xiàn)為圓
B.若，.則該直線(xiàn)族的包絡(luò)曲線(xiàn)為橢圓
C.當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)可能在直線(xiàn)族上
D.當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是直線(xiàn)族的包絡(luò)曲線(xiàn)
三、填空題
12．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則________.
13．若A，B為曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間距離的最大值為_(kāi)_______.
14．已知，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_______.
四、解答題
15．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.
（1）求A；
（2）若，，求的周長(zhǎng).
16．已知函數(shù).
（1）時(shí)，求的極值；
（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17．如圖，四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正方形，是以P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，O為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，.
（1）證明：；
（2）過(guò)B，Q兩點(diǎn)的平面與直線(xiàn)，分別交于點(diǎn)M，N，且平面，求平面與平面夾角的余弦值.
18．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，的最小值是.
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)A，B為橢圓的上，下頂點(diǎn)，C，D為橢圓上異于A(yíng)，B的兩點(diǎn)，記直線(xiàn)，的斜率分別為，，且.
（i）證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)S；
（ii）設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q，直線(xiàn)的斜率為，試探究，，滿(mǎn)足的關(guān)系式.
19．某商家推出一個(gè)活動(dòng)：將n件價(jià)值各不相同的產(chǎn)品依次展示在參與者面前，參與者可以選擇當(dāng)前展示的這件產(chǎn)品，也可以不選擇這件產(chǎn)品，若選擇這件產(chǎn)品，該活動(dòng)立刻結(jié)束；若不選擇這件產(chǎn)品，則看下一件產(chǎn)品，以此類(lèi)推.整個(gè)過(guò)程參與者只能繼續(xù)前進(jìn)，不能返回，直至結(jié)束.同學(xué)甲認(rèn)為最好的一定留在最后，決定始終選擇最后一件，設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為；同學(xué)乙采用了如下策略：不取前件產(chǎn)品，自第件開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的每一個(gè)產(chǎn)品的價(jià)值都大，就選擇這件產(chǎn)品，否則就取最后一件，設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為.
（1）若，，求和；
（2）若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第件，求；
（3）當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度（即），求的最大值及取最大值時(shí)k的值.（?。?br>參考答案
1．答案：A
解析：由得，由得，所以命題p是命題q的充分不必要條件，故選A.
2．答案：C
解析：?jiǎn)挝幌蛄縜，b滿(mǎn)足，
設(shè)a與b的夾角為，,
,
求得，故，
故選：C.
3．答案：C
解析：由題意得，所以，
即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選C.
4．答案：D
解析：由分布列的性質(zhì)可知，，再根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，則．故選：D.
5．答案：B
解析：函數(shù)，求導(dǎo)得
在處的切線(xiàn)斜率為
又在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，
所以，解得.
故選：B.
6．答案：B
解析：已知拋物線(xiàn)，焦點(diǎn)為，
點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，且.
設(shè)，則由拋物線(xiàn)定義，.根據(jù)向量關(guān)系，
可得.直線(xiàn)的斜率為.
將代入，得到.
利用基本不等式，，則.
當(dāng)時(shí)，.
由于M為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，因此的最大值為1.
故選B.
7．答案：C
解析：（法一）平面內(nèi)，以，為x，y軸建系，
則，，
設(shè)，則由，化簡(jiǎn)可得.
Q在平面上以為圓心，2為半徑的圓上，當(dāng)Q到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，設(shè)此時(shí)錐體的外接球半徑為R，可補(bǔ)體為長(zhǎng)方體，則有，
（法二）平面內(nèi)，，延長(zhǎng)至M，使得，延長(zhǎng)至，使得，由阿氏圓的性質(zhì)可知，Q在以M為圓心，2為半徑的圓上，則Q在時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)此時(shí)錐體的外接球半徑為R，則有（或同法一，補(bǔ)體為長(zhǎng)方體）.
（法二）平面內(nèi)，，延長(zhǎng)至M，使得，延長(zhǎng)至，使得，由阿氏圓的性質(zhì)可知，Q在以M為圓心，2為半徑的圓上，則Q在時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)此時(shí)錐體的外接球半徑為R，則有（或同法一，補(bǔ)體為長(zhǎng)方體）.
8．答案：B
解析：分析得與有相同的零點(diǎn)1和7，
易知，且1和7是方程的兩根，所以，
所以，，所以，取等，選B.
9．答案：BD
解析：回歸直線(xiàn)恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，但不一定過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故B正確；
將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變，故C錯(cuò)誤；
基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)，故D正確.
故選BD.
10．答案：ACD
解析：A.因?yàn)辄c(diǎn)M是的中點(diǎn)，且，
所以，故A正確；
B.有條件可知，,，
所以，故B錯(cuò)誤；
C.，故C正確；
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故D正確.
故選：ACD.
11．答案：ABD
解析：在處的切線(xiàn)方程為，所以A正確；
橢圓在處的切線(xiàn)方程為，B正確；
將代入得，
構(gòu)造，，易知在無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
若不在直線(xiàn)族上，代入直線(xiàn)得，
，所以，聯(lián)立和得，
所以，所以直線(xiàn)和相切，又不包括直線(xiàn)，所以是直線(xiàn)族的包絡(luò)曲線(xiàn)，D正確.
12．答案：28
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由條件可知，,所以，，
所以.
故答案為：28
13．答案：
解析：當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)為在第一象限的部分，即，且圖像關(guān)于x軸，y軸，坐標(biāo)原點(diǎn)均對(duì)稱(chēng)．則A，B距離的最大值為直徑的2倍，為.
14．答案：
解析：方法一：
，不等式恒成立
令，則
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．
且，，，
，，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
方法二：，不等式恒成立.
即，
令，，，
在上恒成立．
令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
15．
答案：（1）；
（2）
解析：（1）由正弦定理得
，，，，
，又，
，
，又，所以，
（2）由正弦定理及二倍角公式得，
，又，，
，
由正弦定理，，，
周長(zhǎng).
16．答案：（1）有極大值，無(wú)極小值；
（2）
解析：（1）時(shí)，，.
令，所以，
當(dāng)，，當(dāng)，；
所以時(shí)，有極大值，無(wú)極小值
（2）方法一：由題意可知，所以
由（1）知，取等號(hào)，
所以只需，取等號(hào)
下面證明時(shí)，不等式成立，
要證，即需證明成立.
令，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，所以不等式成立，
所以時(shí)，成立
方法二：由題意，
易知時(shí)，，所以
下面證明時(shí)，不等式成立，
要證，即需證明成立.
令，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以不等式成立，
所以時(shí)，成立.
方法三：依題意，恒成立
令，則，
當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增；
，.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
解析：（1），O為中點(diǎn)，，
在中，
又，即，
，平面，
平面，.
（2）取中點(diǎn)H，則，由（1）可知，平面，
，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
，，，，
設(shè)平面法向量為，
，
平面，面，面面
，，，
設(shè)平面法向量為，，，
，，，
平面與平面夾角的余弦值為.
18．答案：（1）；
（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
解析：（1）
，，
橢圓M的方程為.
（2）（i）若直線(xiàn)斜率不存在，則，不符合題意；
當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，，，，
聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，
韋達(dá)定理可得：且
方法一：
令直線(xiàn)斜率為，則，
又，，
即，，
，
，
，
展開(kāi)可得：，，或，
若，直線(xiàn)恒過(guò)，不合題意，舍去；
若，直線(xiàn)恒過(guò)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
方法二：，，
，
，
，
又所以，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
（ii）由（i）可知，直線(xiàn)，直線(xiàn)，
，，
即Q點(diǎn)在直線(xiàn)上，令與y軸的交點(diǎn)為，
則；；，
顯然，，同號(hào)，則有.
19．答案：（1），；
（2）；
（3）
解析：（1）；
依題意，4個(gè)產(chǎn)品的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有種情況，同學(xué)B要取到最貴價(jià)值產(chǎn)品，有以下兩種情況：
最貴價(jià)值產(chǎn)品是第3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況；
最貴價(jià)值產(chǎn)品是第4個(gè)，第二貴價(jià)值產(chǎn)品是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況，所以所求概率.
（2）法一：若考慮全部產(chǎn)品排序，價(jià)值最大的產(chǎn)品是第件，共有種排法，先從件產(chǎn)品中挑件產(chǎn)品出來(lái)，其中價(jià)值最大的產(chǎn)品放在前k件，剩下的全排列，共種排法，剩下的件產(chǎn)品全排列，即
法二：若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第件，則乙同學(xué)能取到該產(chǎn)品，只需要前件產(chǎn)品中價(jià)值最大的產(chǎn)品排在前k件，即.
（3）記事件A表示最貴價(jià)值產(chǎn)品被乙同學(xué)取到，
事件表示最貴價(jià)值產(chǎn)品排在第i個(gè)，則，
由全概率公式知：，
當(dāng)時(shí)，最貴價(jià)值產(chǎn)品在前k個(gè)中，不會(huì)被取到，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，最貴價(jià)值產(chǎn)品被取到，當(dāng)且僅當(dāng)前件產(chǎn)品中最貴的一個(gè)在前k個(gè)之中，此時(shí)，
因此，
令，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，于是當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的最大值為，此時(shí)k的值為.
3
4
5
6
7
P