2、請在答題紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評分.
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分．考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分或5分，否則一律得零分．
1. 函數(shù)的定義域________.
2. 設(shè)全集，集合，集合，則______．
3. 已知則______．
4. 若點在冪函數(shù)的圖象上，則該冪函數(shù)的表達式為_____.
5. 若角滿足，且，則角屬于第_______象限.
6. 不等式的解集為____________．
7. 已知，．則________．（用及表示）
8. 已知集合，且，則實數(shù)的值為___________.
9. 展開式中的系數(shù)為______.
10. 將5個人排成一排，則甲和乙須排在一起的概率是________.（用數(shù)字作答）
11. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個同號實根， 則實數(shù)的取值范圍是____.
12 下面有四個命題：
①若點為角的終邊上一點，則；
②同時滿足，角有且只有一個；
③如果角滿足，那么角是第二象限的角；
④滿足條件的角的集合為.
其中真命題的序號為________.
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．
13. 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
14. “”是“”的（ ）
A 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
15. 已知陳述句是的充分非必要條件.若集合滿足，滿足，則與的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
16. 對于函數(shù)：①；②；③；有如下兩個命題：命題：是偶函數(shù)；命題：在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù).能使命題、均為真的所有函數(shù)的序號是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②D. ③
三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. （1）設(shè)、為實數(shù)，比較與的值的大??；
（2）已知，求曲線在點處的切線方程．
18. 已知函數(shù)最小正周期為.
（1）求與的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，若，求的取值范圍.
19. 已知A、B、C為的三個內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，﹒
（1）若，求b、c；
（2）若，求c．
20. 已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性（不需要說明理由）；
（2）若在上恒成立，求a的取值范圍；
（3）若在上的值域是()，求a的取值范圍.
21. 已知函數(shù)，其中，．
（1）當時，討論函數(shù)單調(diào)性；
（2）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；
（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
2024-2025學(xué)年上海市浦東區(qū)高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題
考生注意：
1、本試卷共21道試題，滿分150分，答題時間120分鐘；
2、請在答題紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評分.
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分．考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分或5分，否則一律得零分．
1. 函數(shù)的定義域________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)有意義的條件得到不等式求解.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即，
所以函數(shù)的定義域為，
故答案為:.
2. 設(shè)全集，集合，集合，則______．
【正確答案】.
【分析】
由已知得，結(jié)合全集即可求.
【詳解】由題意有，，而，
∴，
故答案為.
本題考查了集合的基本運算，屬于簡單題.
3. 已知則______．
【正確答案】
【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.
【詳解】因為故，
故答案為.
4. 若點在冪函數(shù)的圖象上，則該冪函數(shù)的表達式為_____.
【正確答案】
【分析】將的坐標代入冪函數(shù)的解析式易得結(jié)果.
【詳解】將代入，得，解得.
所以該冪函數(shù)的表達式為.
故答案為.
5. 若角滿足，且，則角屬于第_______象限.
【正確答案】二
【分析】根據(jù)正弦值、正切值符號判斷角所在的象限即可.
【詳解】由且，根據(jù)各象限對應(yīng)正弦、正切的函數(shù)值符號，知屬于第二象限.
故二
6. 不等式的解集為____________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)條件，利用分式不等式的解法即可求出結(jié)果.
詳解】由，得到，
等價于，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為.
7. 已知，．則________．（用及表示）
【正確答案】##
【分析】利用對數(shù)的運算法則計算即可.
【詳解】由可知，所以.
故
8. 已知集合，且，則實數(shù)的值為___________.
【正確答案】或0.
【分析】根據(jù)題意，考慮到各種可能性，分別解方程，并注意檢驗集合元素的互異性，即可得到答案.
【詳解】若，則或
當時，，符合元素的互異性；
當時，，不符合元素的互異性，舍去
若，則或
當時，，符合元素的互異性；
當時，，不符合元素的互異性，舍去；
故或0.
關(guān)鍵點點睛：本題考查元素與集合的關(guān)系，檢驗集合元素的互異性排除不符合答案是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.
9. 展開式中的系數(shù)為______.
【正確答案】15
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接求出結(jié)果.
【詳解】 展開式中令的項為，
所以 展開式中的系數(shù)為15.
故15
10. 將5個人排成一排，則甲和乙須排在一起的概率是________.（用數(shù)字作答）
【正確答案】##0.4
【分析】應(yīng)用排列數(shù)求5個人排成一排、甲和乙須排在一起的排法數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.
【詳解】由題設(shè)，5個人排成一排有種，甲和乙須排在一起有種，
所以甲和乙須排在一起的概率是.
故
11. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個同號實根， 則實數(shù)的取值范圍是____.
【正確答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，即實數(shù)的取值范圍是.
故
12. 下面有四個命題：
①若點為角的終邊上一點，則；
②同時滿足，的角有且只有一個；
③如果角滿足，那么角是第二象限的角；
④滿足條件的角的集合為.
其中真命題的序號為________.
【正確答案】④
【分析】①根據(jù)正弦函數(shù)定義求正弦值判斷；②注意任意角定義即可判斷；③直接判斷角所在象限即可；④根據(jù)正切值及任意角定義求角即可判斷.
【詳解】①若點為角的終邊上一點，（注意參數(shù)a的符號不確定），假命題；
②同時滿足，，只要終邊與相同的角都滿足，假命題；
③如果角滿足，那么角是第三象限的角，假命題；
④滿足條件的角，，真命題.
故④
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．
13. 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】對四個選項一一驗證：
對于A：利用奇偶性的定義進行證明；
對于B：取特殊值否定結(jié)論；
對于C：取特殊值否定結(jié)論；
對于D：取特殊值否定結(jié)論.
【詳解】對于A：的定義域為R.
因為，所以為偶函數(shù).故A正確；
對于B：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故B錯誤；
對于C：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故C錯誤；
對于D：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故D錯誤；
故選：A.
14. “”是“”的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
【正確答案】A
【分析】化簡分式不等式，即可根據(jù)充分不必要條件的定義判斷.
【詳解】由可得，解得或，
“”可以推出“或”，“或”不能推出“”，例如，
故“”是“”的充分非必要條件，
故選：A
15. 已知陳述句是的充分非必要條件.若集合滿足，滿足，則與的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)充要條件和集合包含關(guān)系可得.
【詳解】因為是的充分非必要條件，所以成立時一定成立
所以x滿足時，x一定滿足，所以，
又成立時推不出成立，即x滿足時x不一定滿足，所以N不是M的子集.
故選：A
16. 對于函數(shù)：①；②；③；有如下兩個命題：命題：是偶函數(shù)；命題：在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù).能使命題、均為真所有函數(shù)的序號是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②D. ③
【正確答案】C
【分析】根據(jù)常見函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合單調(diào)性的判斷，對函數(shù)進行逐一分析，即可容易判斷.
【詳解】①是非奇非偶函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，與題意不符；
②是偶函數(shù)，
對稱軸為，在上減，在上增，符合，
③是偶函數(shù)，
但在上不是減函數(shù)，在上不是增函數(shù)，不符，
故選：C.
本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和求解，屬綜合基礎(chǔ)題.
三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. （1）設(shè)、為實數(shù)，比較與的值的大??；
（2）已知，求曲線在點處的切線方程．
【正確答案】（1）；（2）
【分析】（1）應(yīng)用作差法比較大?。?br>（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程.
【詳解】（1），
當且僅當時等號成立，
所以；
（2），則，
因此，曲線在點處的切線斜率為，
于是，所求切線方程為，即.
18. 已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求與單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，若，求的取值范圍.
【正確答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期為，可求，并寫出函數(shù)式進而求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）結(jié)論，求角，根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可知角B、C的關(guān)系，進而求B的范圍，即可求的取值范圍.
【詳解】（1）因為的最小正周期為，即
∴，令
解得
∴的單調(diào)遞增區(qū)間是
（2）在中，若，
由（1）得，，所以
因為 所以，即

因為，所以；
所以
所以的取值范圍
關(guān)鍵點點睛：
（1）由最小正周期求參數(shù)，利用整體代入法求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）應(yīng)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得內(nèi)角B、C的關(guān)系，進而用其中一角表示另一角并確定角的范圍，進而求函數(shù)值的范圍.
19. 已知A、B、C為的三個內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，﹒
（1）若，求b、c；
（2）若，求c．
【正確答案】（1）1，；
（2）﹒
【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．
(2)根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得、的值，進而根據(jù)正弦定理可得的值．
【小問1詳解】
∵，由正弦定理得，
又，可得，
由于，可得．
【小問2詳解】
∵，0＜C＜π，
∴，C＞＞A，
.
∵，
∴，
又，
可解得或(舍)，
由正弦定理，可得．
20. 已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性（不需要說明理由）；
（2）若在上恒成立，求a的取值范圍；
（3）若在上的值域是()，求a的取值范圍.
【正確答案】（1）非奇非偶；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱即可判斷；
（2）問題化為在上恒成立，求右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將問題化為方程有兩個不相等的正根，結(jié)合判別式求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由于，即定義域不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；
【小問2詳解】
∵在上恒成立，且，
∴在上恒成立，
令（當且僅當時取等號），則.
故a的取值范圍是.
【小問3詳解】
函數(shù)在定義域上是增函數(shù).
所以，即，
故方程有兩個不相等的正根，注意到，
故只需要且，則.
21. 已知函數(shù)，其中，．
（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；
（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
【正確答案】（1）在內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（2）（3）
【分析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù),代入的值,根據(jù)零點及自變量、、的變化情況即可求得單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)極值點的，即可判斷出成立，進而利用判別式求得的取值范圍．
（3）根據(jù)條件，可知，從而判斷出在上的最大值，進而可得關(guān)于的不等式組，
根據(jù)的范圍即可求得的取值范圍．
【詳解】（1）先求得導(dǎo)函數(shù)為
當時，．令，解得，
當變化時，，的變化情況如下表：
所以在內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．
（2）
顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須成立
即有．
解不等式，得．
這時，在單減，單增，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是．
（3）
由條件，可知
從而恒成立．
上，當時，；當時，
因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當
即在上恒成立
所以，因此滿足條件的的取值范圍是
0
－
0
+
0
－
↘
極小值
↗
極大值
↘

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