1．用符號(hào)表示“平面與相交于直線” ．
2．在正方體中，與直線異面的直線是 ．（寫出一個(gè)即可）.
3．空間中，斜線與平面所成角的取值范圍為 ．（用弧度制表示）．
4．命題：“若兩個(gè)平面垂直，那么過(guò)第一個(gè)平面上一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線，不一定在第一個(gè)平面上.”上述命題為 （選填“真命題”或“假命題”）．
5．現(xiàn)行國(guó)際比賽標(biāo)準(zhǔn)排球的直徑約為，在忽略材料厚度和制造誤差的情況下，則排球的表面積大約為 ．
6．如圖，矩形是由斜二側(cè)畫法得到的水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形面積為 ．
7．某圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面積展開圖的圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為 ．
8．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，將這個(gè)正方體復(fù)原后，在其所有棱以及三條面對(duì)角線、、中，直線與直線所成角為 ．
9．一個(gè)圓柱的外接球的體積為，該圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，則該圓柱的底面面積為 ．
10．三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面三角形的面積分別為，則三棱錐的體積是 ．
11．空間中存在三條不同的直線，直線與直線所成角為，直線與直線所成角為，直線與直線所成角的取值范圍為 ．（用弧度制表示）.
12．我國(guó)歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長(zhǎng)方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長(zhǎng)方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm，口長(zhǎng)13.5cm，口寬12cm，底長(zhǎng)12.5cm，底寬10.5cm．現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約8cm，下部分看作臺(tái)體.則其體積約為 （精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：，）
二、單選題（本大題共4小題）
13．設(shè)、是平面外的兩條直線，且，那么是的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
14．下列命題正確的是（ ）
A．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線垂直
B．過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行
C．過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與該平面垂直
D．過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與該平面平行
15．若直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓周上異于的一點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．平面
16．如圖所示，在四面體中，和都是等邊三角形，且，則二面角的大小為（ ）
A．B．C．D．
三、解答題（本大題共5小題）
17．如圖，在圓柱中，是底面圓的直徑，為半圓弧上一點(diǎn)，是圓柱的母線．已知，，圓柱的體積為．求異面直線與所成角的大?。?br>18．如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，分別是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
19．如圖，直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
(1)求證：直線與直線垂直；
(2)求直線與平面所成的角的大小．
20．如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面平面．

(1)求證：為線段中點(diǎn)；
(2)求二面角的正切值；
(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．
21．設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是正四棱柱，上部的形狀是正四棱錐，且該帳篷外接于球（如圖所示）．

(1)若正四棱柱是棱長(zhǎng)為的正方體，求該帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離；
(2)若該帳篷外接球的半徑，設(shè)，該帳篷的體積為，則當(dāng)為何值時(shí)，體積取得最大值．
答案
1．【正確答案】
【詳解】“平面與相交于直線”的符號(hào)表示，
故答案為.
2．【正確答案】（或或或，答案不唯一）
【詳解】如圖，由異面直線的定義知，直線異面的直線是等，
故（或或或，答案不唯一）.
3．【正確答案】
【詳解】根據(jù)斜線與平面所成角的定義可知，空間中，斜線與平面所成角的范圍是.
故答案為.
4．【正確答案】假命題
【詳解】如圖，我們將垂直的兩個(gè)平面記為，兩條直線分別記為，點(diǎn)記為，

由題意得，，且設(shè)，
過(guò)點(diǎn)作，故，
由面面垂直的性質(zhì)得，因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與垂直，
所以直線與直線重合，故.
故假命題.
5．【正確答案】
【詳解】由題意知，排球半徑，
則表面積.
故答案為.
6．【正確答案】
【詳解】依題意，矩形的面積，
由原圖形面積是直觀圖面積的，得原圖形面積.
故
7．【正確答案】
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由題有，解得.
故答案為.
8．【正確答案】/60°
【詳解】將正方體的平面展開圖還原成正方體，如圖所示，連接，
易知，則或其補(bǔ)角為直線與直線所成的角，
在中，易知，所以，
故答案為.
9．【正確答案】
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則母線長(zhǎng)為，外接球的半徑為，
由題有，則，解得，
所以圓柱的底面面積為，
故答案為.
10．【正確答案】
【詳解】如圖，兩兩垂直，又面，則面，
則三棱錐的體積,
又三個(gè)側(cè)面三角形的面積分別為，不妨設(shè)，
則，得到,
所以，
故答案為.
11．【正確答案】
【詳解】過(guò)三條直線外任一點(diǎn)分別作的平行線，
則直線與直線所成角即所成角為，
直線與直線所成角即所成角為，
直線與直線所成角即即所成角.
如圖，根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)圓錐，由題意知，

其中底面圓心為，軸所在直線為，
小圓錐的母線所在直線為，軸截面；
大圓錐的母線所在直線為，軸截面，且在一條直線上.
由題意，，
由圖可知，當(dāng)移動(dòng)到，移動(dòng)到時(shí)，可得與所成角的最小，
最小值為.
當(dāng)移動(dòng)到，移動(dòng)到時(shí)，可得與所所成角的最大，
最大值為，
當(dāng)與所在直線重合，直線繞點(diǎn)在小圓錐表面從連續(xù)運(yùn)動(dòng)至，
直線與所成角連續(xù)變化且越來(lái)越大，從增至.
所以與所成角的取值范圍為.
故答案為.
12．【正確答案】
【詳解】由題意可得：
，
，
所以幾何體的體積.
故答案為.
13．【正確答案】A
【詳解】證明充分性：若，結(jié)合，且b在平面M外，可得，是充分條件；
證明必要性：若，結(jié)合，且a，b是平面M外，則a，b可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．
故是的“充分非必要”
故選：A．
14．【正確答案】D
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，過(guò)直線外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這條直線垂直，
且這無(wú)數(shù)條直線均相交于這個(gè)點(diǎn)（即與它垂直的平面內(nèi)的任意一條過(guò)該點(diǎn)的直線），A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)平面外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，
且這無(wú)數(shù)條直線均相交于這個(gè)點(diǎn)（即與它平行的平面內(nèi)的任意一條過(guò)該點(diǎn)的直線），B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直，
若將過(guò)該直線的平面繞這條直線旋轉(zhuǎn)，則可以得到無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，過(guò)平面外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，
且這無(wú)數(shù)條直線均相交于這個(gè)點(diǎn)，并且這無(wú)數(shù)條直線共面，
故過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與該平面平行，D對(duì).
故選：D.
15．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)橹本€垂直于以為直徑的圓所在的平面，
又面，所以，故選項(xiàng)C正確，
又，，面，所以平面，
又面，所以，故選項(xiàng)B和D正確，
對(duì)于選項(xiàng)A，若，又，面，
則面，又面，所以，與相矛盾
故選：A.
16．【正確答案】C
【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)楹投际堑冗吶切危?br>則，所以為二面角的平面角，
又，則，，所以，
所以二面角的大小為.
故選：C.
17．【正確答案】
【詳解】由題意知，則異面直線與所成角即為，
又，
在中，又，
，
．
則異面直線與所成角的大小為．
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，
在中，為的中位線，
.
又在正方形中，且，
，且
又是的中點(diǎn)，
，且，
四邊形為平行四邊形，.
又平面，平面
平面.
（2）連接.
由題意，在四棱錐中，平面，
為三棱錐的高.
又平面，則.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則有，則，（）
由題意，，則，
由為的中點(diǎn)，則，
所以，
，
所以，且，
代入（）化簡(jiǎn)可得，解得，
點(diǎn)A到平面的距離為.
19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)（或或）
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，
因?yàn)?，分別是、的中點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)橹崩庵校傻茫?br>又，面，所以平面，
又平面，所以.
（2）平面，平面
可得，又，即，又，面，
平面
為直線與平面所成角，且，所以，
假設(shè)，則，所以，，
得到，所以，
所以直線與平面所成角為（或或）.
20．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，且
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面?br>可得，
又因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，
故點(diǎn)為的中點(diǎn).
（2）解：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以，平面，
又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、
、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋瑒t、、，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，，，
則，取，可得，
易知平面的一個(gè)法向量為，，
則，
所以，.
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
因此，二面角的正切值為.
（3）解：易知、、、，
設(shè)，其中，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，則，
則，解得，
所以，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，故.
21．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用外接球的球心為正方體的中心，可得，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件得到，令，得到，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)外接球的半徑為，因?yàn)檎睦庵抢忾L(zhǎng)為的正方體，
易知外接球的球心為正方體的中心，所以，而，
得到．
（2），
，
．
，
令，
由，得到，
在上遞增，在遞減．
時(shí)，體積取得最大值．

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