1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】確定集合A中元素，根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.
【詳解】由題意得集合，，
故，
故選:C
2. 已知：，：，則是的（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 既不充分也不必要D. 充分必要
【答案】B
【解析】
【分析】求出命題對應的取值范圍，根據(jù)集合包含關(guān)系即可求出.
【詳解】由可得，即，解得或，所以命題對應的的取值范圍為，
因為?，
所以是的必要不充分條件.
故選：B.
3. 已知點在第三象限，則角的終邊在第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】由點M所在的象限，確定正切和余弦的符號，得角終邊所在的象限.
【詳解】因為點在第三象限，所以，，
所以的終邊在第四象限.
故選：D.
4. 在流行病學中，把每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染數(shù).當基本傳染數(shù)高于1時，每個感染者平均會感染一個以上的人，從而導致感染者人數(shù)急劇增長.當基本傳染數(shù)低于1時，疫情才可能逐漸消散.而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，1個感染者平均會接觸到個新人，這人中有個人接種過疫苗(稱為接種率)，那么1個感染者可傳染的新感染人數(shù)為.已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個感染者可傳染的新感染人數(shù)不超過1，該地疫苗的接種率至少為（ ）
A. 30%B. 40%C. 50%D. 60%
【答案】D
【解析】
【分析】由題意列不等式，即可求出結(jié)果
【詳解】為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1人，只需要，
所以，即，
，解得
則該地疫苗的接種率至少為60%
故選：D
5. 若不等式的解集為，則不等式解集為（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次不等式解集的性質(zhì)，結(jié)合韋達定理將不等式化簡為，從而得解.
【詳解】因為由不等式的解集為，
所以，方程的兩根為1和3，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，則，
所以不等式可化為，即，
所以且，解得或，
所以解集為.
故選：B．
6. 已知函數(shù)，圖象向左平移個單位后關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（ ）
A. 在區(qū)間上有一個零點B. 關(guān)于對稱
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 在區(qū)間上的最大值為2
【答案】A
【解析】
【分析】通過函數(shù)的平移變換后圖象關(guān)于直線對稱可求得值，從而可求出函數(shù)解析式，然后使用換元法畫出函數(shù)圖象，再逐項判斷即可.
【詳解】函數(shù)，圖象向左平移個單位后的圖象對應的解析式為：；
而圖象關(guān)于直線對稱，且，于是，；
；
，所以不關(guān)于對稱，故B錯誤；
當時，則，令，則，此時函數(shù)圖象如圖:
結(jié)合圖象可知，當時，即，與坐標軸只有一個交點，即只有一個零點，故A正確；
當時，則，結(jié)合圖象可知，此時有增有減，故C錯誤；
當時，則，結(jié)合圖象可知，此時單調(diào)遞增，所以，當時，即，函數(shù)取最大值，，故D錯誤；
故選：A.
7. 已知，給出下述四個結(jié)論:
①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);
③在上為增函數(shù); ④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的定義即可判斷①；利用舉反例即可判斷②和③；分四個范圍對進行化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求值域，即可得到時的最值，結(jié)合偶函數(shù)即可判斷
【詳解】解：對于①，易得的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，所以是偶函數(shù)，故正確；
對于②和③，因為，
，
且，所以在不是減函數(shù)，在也不是增函數(shù)，故②，③錯誤；
對于④，當時，，
因為，所以，
所以，所以；
當時，，
因為，
所以，所以；
當時，；
當時，，
因為，
所以，所以，
所以，綜上所述，當時，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當時，的最大值也為，故的最大值為，故④正確；
故選：D
【點睛】方法點睛：利用四個象限對進行討論，根據(jù)三角函數(shù)符號去掉絕對值，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解值域
8. 已知函數(shù)（a>0，且a≠1）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y=|f（x）|﹣x﹣2有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性求得a的大致范圍，然后將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，再作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可.
【詳解】解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，且當x>1時，f（x）=（x﹣1）2+4a在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴，解得，
又函數(shù)y=|f（x）|﹣x﹣2有兩個不同的零點等價于|f（x）|=x+2有兩個不同的實數(shù)根，
∴函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=x+2有兩個不同的交點，
作出函數(shù)y=|f（x）|與直線y=x+2的圖象，
當x≤1時，由1+lga|x﹣2|=0得，易知函數(shù)y=|f（x）|與直線y=x+2的圖象在（﹣∞，1]上有唯一交點，
則函數(shù)y=|f（x）|與直線y=x+2的圖象在（1，+∞）上有唯一交點，故4a≤3或（x﹣1）2+4a=x+2，即x2﹣3x+4a﹣1=0有唯一解，
∴或△=9﹣4（4a﹣1）=0，
∴或，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應用，考查函數(shù)的零點問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=x+2有兩個不同的交點，然后畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象求解即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題
二、多選題（該題有4個小題，每個小題有兩個或三個選項正確，每小題5分，共20分）
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)誘導公式可判斷A；根據(jù)兩角差的余弦公式可判斷B；根據(jù)兩角差的正切公式可判斷C；根據(jù)兩角和的正弦公式可判斷D.
【詳解】，故A正確；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選:ABC.
10. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若且，則
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】將時，化為，利用均值不等式可判斷A;利用，利用均值不等式可判斷B；將化為，利用均值不等式可判斷C；利用，結(jié)合均值不等式判斷D.
【詳解】當時，，則，
當且僅當時取等號，故A正確；
若且，則，
當或時取等號，B正確；
由，故，
當時，不成立，故等號取不到，C錯誤；
，當且僅當時取等號，D正確，
故選：.
11. 若定義在R上的減函數(shù)y＝f（x﹣2）的圖像關(guān)于點（2，0）對稱，且g（x）＝f（x）+1，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A. g（2）＝1
B. g（0）＝1
C. 不等式f（x+1）+f（2x﹣1）＞0的解集為（﹣∞，0）
D. g（﹣1）+g（2）＜2
【答案】BCD
【解析】
【分析】由于y＝f（x﹣2）的圖像關(guān)于點（2，0）對稱，可得f（x）為奇函數(shù)，從而由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷AB，對于C，利用函數(shù)為奇函數(shù)將f（x+1）+f（2x﹣1）＞0化為f（x+1）＞f（1﹣2x），再利用其單調(diào)性可得答案，對于D，由于g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+f（2）+2＝﹣f（1）+f（2）+2，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷
【詳解】解：∵定義在R上的減函數(shù)y＝f（x﹣2）的圖像關(guān)于點（2，0）對稱，
∴f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）＝0，
∵g（x）＝f（x）+1，
∴g（0）＝f（0）+1，
∴g（0）＝1，故A選項錯誤，B選項正確，
∵y＝f（x﹣2）為減函數(shù)，
∴f（x）為減函數(shù)，
∴g（x）＝f（x）+1為減函數(shù)，
∵f（x+1）+f（2x+1）＞0，即f（x+1）＞﹣f（2x+1），
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+1）＞f（1﹣2x），
∵f（x）為減函數(shù)，
∴x+1＜1﹣2x，即x＜0，故C選項正確.
g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+f（2）+2＝﹣f（1）+f（2）+2，
∵f（1）＞f（2），
∴g（﹣1）+g（2）＜2，故D選項正確.
故選：BCD.
12. 已知函數(shù)的定義域為，且滿足下列條件：
①對于任意，總有，且；
②若，則有.
給出下列命題，其中正確的有（ ）
A. 可能為區(qū)間內(nèi)的任意值；
B. 函數(shù)的最大值是4；
C. 函數(shù)是符合上述條件的一個函數(shù)；
D. 當時，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)所給性質(zhì)取特殊值求出判斷A，根據(jù)所給性質(zhì)可推斷出函數(shù)的單調(diào)性判斷B，對所給函數(shù)驗證性質(zhì)判斷C，利用性質(zhì)②推理可判斷D.
【詳解】令，得，結(jié)合①知，故A錯誤；
任取，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即函數(shù)故的最大值為4，故B正確；
易知，，
所以任意，總有.
，
，
則
，
故是符合條件的函數(shù)，故C正確；
因為，
所以，當時，，
所以當時，，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題（該題有4個小題，每小題5分，共20分）
13. 已知扇形的圓心角為，其弧長為，則此扇形的面積為_________.（結(jié)果保留π）
【答案】##
【解析】
【分析】首先根據(jù)弧長公式求半徑，再根據(jù)扇形面積公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)條件可知扇形所在圓的半徑，
此扇形的面積.
故答案為：
14. 函數(shù)的值域為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)求出，進而利用正弦函數(shù)圖像即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
則由正弦函數(shù)圖像可知，
所以.
故答案為：.
15. 若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】令，分和兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.
【詳解】解：令，則，
當時，是增函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，
則在上為減函數(shù)，故，即，解得；
當時，是減函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，
則在上為增函數(shù)，故，即，解得，
綜上，的取值范圍是..
故答案為：
16. 已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是____.
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查含參絕對值不等式、函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于能力型考題.從研究入手，令，從而使問題加以轉(zhuǎn)化，通過繪制函數(shù)圖象，觀察得解.
【詳解】使得，
使得令，則原不等式轉(zhuǎn)化為存在，
由折線函數(shù)，如圖
只需，即，即的最大值是
【點睛】對于函數(shù)不等式問題，需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.
四、解答題（17題10分，18-22每題12分，共70分）
17. 已知
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明之．
（2）解關(guān)于t的不等式．
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可知，對函數(shù)進行分離常數(shù)可判斷其單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可對不等式進行求解．
【小問1詳解】
由題意，函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)．
證明如下：在上任取且，
所以
由可知，所以，，，
所以，即．
即在上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
易知，所以函數(shù)為奇函數(shù)；
由（1）知，函數(shù)是上的增函數(shù)，
由可得，
所以，即，解得，
即關(guān)于t的不等式的解集為
18. （1）已知角終邊所在直線經(jīng)過點，求的值；
（2）已知求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用誘導公式化簡即可求解；
（2）利用同角三角關(guān)系與和差公式即可求解.
【詳解】（1）角終邊所在直線經(jīng)過點，
，，.
.
（2）
，，
.
19. 設(shè)函數(shù)，．
（1）求的最小正周期；
（2）若函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等變換公式化簡解析式即可求出最小正周期；
(2)根據(jù)圖像平移求出解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
，
故函數(shù)的最小正周期；
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象左移個單位得到的圖象，
則，
，
則當即時，單調(diào)遞增，
∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為：
20. 1.已知數(shù)，函數(shù).
（1）求函數(shù)的值域；
（2）若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)x的取值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用對數(shù)運算，把化為關(guān)于的二次函數(shù)，配方后求出的值域；（2）不等式對任意實數(shù)恒成立，只需，利用換元法求出，令，求出實數(shù)x的值為2.
【小問1詳解】
，
即的值域為.
【小問2詳解】
∵不等式對任意實數(shù)恒成立，∴.
，
令，∵，∴，
設(shè)，，當時，取得最小值，即，
∴，即，∴實數(shù)x的值為2.
21. 已知二次函數(shù).
（1）若關(guān)于的不等式對恒成立，求的取值范圍；
（2）已知函數(shù)，若對，使不等式成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）分離參數(shù)得對恒成立，只需，利用對勾函數(shù)單調(diào)性求最大值即可；
（2）由，，使不等式成立可得 ，是一元二次函數(shù)，利用對稱軸位置分類討論求最小值即可.
【小問1詳解】
因為二次函數(shù)，
所以關(guān)于的不等式對恒成立，
轉(zhuǎn)化為對恒成立，
即對恒成立，
令，記，因為，所以，
則，因為在上單調(diào)遞增，
所以，，所以；
【小問2詳解】
對，使不等式成立，
轉(zhuǎn)化為
，
在上單調(diào)遞增，
，
，
①當，即時，在上單調(diào)遞增，
，
此時，且，解得；
②當，即時，在上單調(diào)遞減，
此時，且，解得；
③當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時，且，解得，
綜上所述，實數(shù)取值范圍為或.
22. 已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足.
（1）求函數(shù)?的解析式；
（2）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；
（3）若關(guān)于的方程在內(nèi)恰有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合奇偶函數(shù)性質(zhì)，令，兩式聯(lián)立可求?的解析式；
（2）化簡得，結(jié)合單調(diào)性可求的值域；
（3）易得，令，結(jié)合奇偶性與單調(diào)性確定的取值范圍，原方程等價為，分離參數(shù)得，令，結(jié)合單調(diào)性可求的取值范圍.
【小問1詳解】
因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，由已知可得，
即，所以，，解得；
【小問2詳解】
由題意，，因為單調(diào)遞增，
，所以值域為；
【小問3詳解】
由題知方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根.
顯然不是該方程的根，令，則原方程可變形為，
由，所以為偶函數(shù)，
當時，單調(diào)遞增，所以，
則題意轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實根（因為每一個在區(qū)間內(nèi)恰有兩個值與之對應）.
設(shè)，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
又時，，當時，，所以.
綜上所述，所求常數(shù)的取值范圍是.

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