一、單選題（本大題共8小題）
1．雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
2．關于空間向量，下列運算錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知橢圓的離心率為，且過點，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，，若，，共面，則（ ）
A．0B．1C．2D．－1
5．圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（ ）
A．B．C．D．
6．已知橢圓，過點的直線交于、兩點，且是的中點，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
7．若動圓過定點，且和定圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
8．已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知拋物線的焦點為，直線與在第一象限的交點為，過點作的準線的垂線，垂足為，下列結論正確的是（ ）
A．直線過點B．直線的傾斜角為
C．D．是等邊三角形
10．圓和圓的交點為，，點在圓上，點在圓上，則（ ）
A．直線的方程為
B．線段的中垂線方程為
C．
D．點與點之間的距離的最大值為8
11．若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，， 分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（ ）

A．若，則
B．存在點H，使得平面
C．線段長度的最小值是
D．存在點H，使得
三、填空題（本大題共3小題）
12．若直線與互相垂直，則 .
13．如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，則 .
14．已知橢圓與雙曲線有公共焦點與在第一象限的交點為，且，記的離心率分別為，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知在中，，，，記的外接圓為圓.
(1)求圓的標準方程；
(2)求過點且與圓相切的直線的方程.
16．如圖，長方體的底面是正方形，分別為的中點，.

(1)證明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
17．已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過點且與軸垂直的直線交于兩點，是與的一個公共點，，.
(1)求與的標準方程；
(2)過點且與相切的直線與交于點，求.
18．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.
(1)證明.
(2)點在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
19．已知為坐標原點，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右頂點分別為，圓過點，與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且.
(1)求的方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與雙曲線的左?右兩支的交點分別為，，連接并延長，交雙曲線于點，記直線與直線的交點為，證明：點在曲線上.
答案
1．【正確答案】C
令雙曲線方程的右邊為0，兩側開方，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．
【詳解】解：雙曲線標準方程為，
其漸近線方程是，
整理得．
故選：．
2．【正確答案】D
【詳解】根據空間向量數(shù)量積的運算律可知：，，
均成立，即A、B、C正確；
為與共線的向量，
為與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯誤．
故選：D
3．【正確答案】A
【詳解】由題意可得解得，
所以橢圓的方程為.
故選：A
4．【正確答案】D
【詳解】因為共面，所以，
即，
則解得.
故選：D.
5．【正確答案】C
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則點.設拋物線的方程為，
由點可得，解得，所以.
當時，，所以水面寬度為.
故選：C.
6．【正確答案】A
【詳解】若線段軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，
設、，由題意可得，，
則，兩式相減可得，
所以，，解得，
因此，直線的斜率為.
故選：A.
7．【正確答案】D
【詳解】定圓的圓心為，與關于原點對稱.
設，由兩圓外切可得，
所以,
所以的軌跡為雙曲線的右支.
設的軌跡方程為，則，
所以軌跡方程為.
故選：D
8．【正確答案】B
【詳解】設，則，，
因為，所以，
即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.
點在直線上，
所以直線與圓有公共點，
則，解得
故選:B.
9．【正確答案】ABD
【詳解】拋物線的焦點為，而，所以直線過點，故A正確；
設直線的傾斜角，因為直線的斜率為，，
所以，即直線的傾斜角為，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為點在拋物線上，由拋物線定義可知，，
又，所以是等邊三角形，故D正確.
故選：ABD.

10．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，將兩圓的方程作差，可得，即直線的方程為，A正確.
對于B，圓，圓，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，，線段的中垂線經過和的圓心，故線段的中垂線方程為，故B正確.
對于C，圓的圓心到直線的距離為，故，C錯誤.
對于D，點與點之間的距離的最大值為，D正確.
故選：ABD.
11．【正確答案】ABC
【詳解】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四點共面，
若，則，解得，A正確；
對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，
過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，
則，，，，
故，，，，
易得是平面的一個法向量，若平面，
則，即，解得，符合題意，
所以存在點H，使得平面，B正確，
對于C：，
當時，取得最小值，最小值為，C正確.
對于D：若，則，
得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.
故選：ABC
12．【正確答案】1
【詳解】直線的斜率，則直線的斜率，解得.
故1
13．【正確答案】6
【詳解】棱長為的正方體中，
連接，則是邊長為的等邊三角形，
..
故選：
14．【正確答案】2
【詳解】由題意可知，，
所以.
因為，所以，即，
所以，
故2.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）（方法一）直線的方程為，、的中點為，
所以線段的中垂線方程為，
直線的方程為，、的中點為，
線段的中垂線方程為.
直線與直線的交點為，即圓的圓心為.
點與點的距離為，
即圓的半徑為，所以圓的標準方程為.
（方法二）設圓的標準方程為，
則，
解得
故圓的標準方程為
（2）圓的圓心為，，直線的斜率為，
所以切線斜率為，所求切線方程為，
整理得.
16．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）

設，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設平面的法向量為n=x,y,z，
則即
令，則.
證明.
因為，所以，
平面ACD1，所以平面.
（2）易知為平面的一個法向量，且.
.
易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
17．【正確答案】(1)的標準方程為，的標準方程為
(2)
【詳解】（1）記，則拋物線的方程為，其準線方程為.
因為，所以，解得，則的標準方程為.
不妨設點在第一象限，記，因為，
所以，解得.因為，所以，即.
由解得
所以的標準方程為.
（2）
不妨設點在第一象限，則.
設直線.
聯(lián)立得.
由，解得，則.
設.
聯(lián)立得，則，
故.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取的中點，連接.
因為為等邊三角形，所以.
因為為等腰直角三角形，且，所以.
因為平面平面，所以平面，
所以.
（2）因為平面平面，平面平面平面，所以平面.
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設，則
.
設平面的法向量為n=x,y,z，
則即
令，則，所以.
設直線與平面所成的角為，
則
，當且僅當時，等號成立.
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
19．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為圓過點，得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等邊三角形，.
雙曲線的一條漸近線的斜率為，即，所以.
故的方程為.
（2）證明點在曲線上，即證明點在曲線上.
設直線，則.
聯(lián)立得，
則.
直線的方程為，直線的方程為
將直線與直線的方程變形可得,
即,
得，
即，
即，
化簡可得.
得，
，
，
，
化簡得.
將代入可得，
即點在曲線上.

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