一、單選題（本大題共8小題）
1．已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．3B．4C．8D．10
2．已知是實數(shù)，若為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù) 為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在方格邊長為 的方格紙中，向量的起點和終點均在格點上，則 （ ）
A．B．C．D．
5．現(xiàn)有一盛水實心容器，其外形可以通過如下方式得到：在中，，，以邊所在直線為軸將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體即為該容器，則該容器最多能容納水的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知點 在橢圓 上，則 的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．過點分別作曲線 的切線，則這兩條切線的斜率之積為（ ）
A．B．1C．eD．
8．已知正數(shù) 滿足 ，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．某衛(wèi)星主要用于開展低軌星座系統(tǒng)新技術(shù)試驗， 其主要功能用于記錄飛行過程中觀測到的低軌行星的數(shù)目，已知該衛(wèi)星連續(xù) 8 天內(nèi)觀測到的低軌行星數(shù)目分別為：9，8，6，10，9，7，6，9，則這組樣本數(shù)據(jù)的（ ）
A．極差為 3B．平均數(shù)是 8
C．上四分位數(shù)是 9D．方差為 2
10．已知平面內(nèi)一動點到坐標原點的距離為1，以為圓心、1為半徑的動圓與圓交于兩點，則（ ）
A．存在唯一的圓，使得兩點重合B．
C．若存在，則其不可能為等邊三角形D．的最大值為
11．已知水平放置的正方形的邊長為，利用斜二測畫法繪制該正方形在水平平面內(nèi)的直觀圖四邊形，則（ ）
A．的最小值小于B．的最大值小于
C．的最小值大于D．的最大值大于
三、填空題（本大題共3小題）
12．函數(shù) 的最小正周期為 .
13．已知集合，若集合中有且只有一個元素，則
14．把3個紅球和33個白球隨機排成一圈，則連續(xù)排列的白球個數(shù)不超過13個的概率是
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知雙曲線 的離心率為 2 ，右焦點到 的一條漸近線的距離為 為 上不同的兩點，且線段 AB 的中點為 .
(1)求的標準方程；
(2)證明:直線 AB 的斜率存在且為定值，并求出該定值.
16．已知的內(nèi)角所對的邊分別為 ，且 .
(1)證明：；
(2)若，求 .
17．如圖，平行六面體 的棱長均為 ，且 AD 的中點為 .

(1)證明: ；
(2)求二面角 的余弦值.
18．已知首項為1的正項數(shù)列滿足 .
(1)探究數(shù)列的單調(diào)性；
(2)證明： .
19．小明和小王按照規(guī)定在奇妙種植園中采摘水果， 水果越采摘越多. 奇妙種植園中的每個園區(qū)在最初始時會提供有限個橙子和蘋果供采摘，且每次采摘均為隨機采摘，當每次從種植園中隨機采摘一次得到一個水果后，將水果退回種植園，并再添加同種水果 個放入種植園.
(1)若小王選擇的園區(qū)初始有5個橙子和15個蘋果， 小明選擇的園區(qū)初始有4個橙子和12個蘋果，且 a=2 . 試比較: 小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率大小;
(2)證明:無論初始時橙子和蘋果的個數(shù)是多少，每一次采摘到橙子的概率都相等；
(3)若初始有個橙子和個蘋果，證明: 第次采摘后，累計采摘到的橙子個數(shù)的期望是 .
(附:若隨機變量服從兩點分布，且 ，)
答案
1．【正確答案】B
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則 .
故選：B.
2．【正確答案】B
【詳解】因為為純虛數(shù)，則，解得.
故選：B.
3．【正確答案】C
【詳解】解：由為奇函數(shù)知， ，
令可得 ，C正確，
設(shè)，則，，，，
ABD錯誤，
故選：C.
4．【正確答案】A
【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，
則 ，
則 ， 所以 .
故選：A.
5．【正確答案】B
【詳解】

由題意知，該容器的盛水部分為圓錐形，過點向軸作垂線(為垂足)，
則即為圓錐的高，為圓錐的底面半徑，因為，，
所以，，
其中，，
故該容器最多能容納水的體積為.
故選：B.
6．【正確答案】C
【詳解】將點的坐標代入橢圓方程，得:
，
因為，所以 ，所以橢圓方程 ，
其中 ，故離心率 .
故選：C.
7．【正確答案】B
【詳解】由于是互為反函數(shù)的曲線，所以其關(guān)于直線對稱，
由于點在直線上，所以這兩條切線也關(guān)于直線對稱，
不妨設(shè)其中一條切線的傾斜角為，則另一條的傾斜角為，
故這兩條切線的斜率之積為 .
故選：B.
8．【正確答案】D
【詳解】因為，故原題干等式可轉(zhuǎn)化為 ，得 ，
設(shè) ，則 ，解得 ，
因為 ，所以 ，
解得 或 ，又因為 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
當且僅當 時，等號成立.
因此 ，即 2，所以的取值范圍是 .
故選：D.
9．【正確答案】BCD
【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10.
這組數(shù)據(jù)的極差為，故A錯誤.
平均數(shù)為 ，故 B 正確.
因為 ，所以上四分位數(shù)為 ，故C正確.
方差為 ，故 D 正確.
故選：BCD.
10．【正確答案】BCD
【詳解】依題意，坐標原點與點之一重合，不妨設(shè)坐標原點為，圓的圓心，半徑，
對于A，當動圓與圓內(nèi)切或外切時，均有兩點重合，A錯誤；
對于B，點在以為圓心、1為半徑的圓上運動，，，B正確；
對于C，，要使為等邊三角形，則，而，
當且僅當點共線時取等號，則不可能為等邊三角形，C正確；
對于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，
此時，，D正確．
故選：BCD
11．【正確答案】AD
【詳解】
對于AB選項，考慮正方形的一條邊與軸重合，由斜二測畫法的性質(zhì)，
另一條邊與軸重合，如圖所示，
由于對稱性與旋轉(zhuǎn)可換性，圖中與均等價為所求角.
而由斜二測圖性質(zhì)， ，
過作的垂線，則，
即，故的最小值小于，故正確；
過作的垂線，易有，且，
故，則的最大值大于，故B錯誤；
對于CD選項，設(shè)圖形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，則 ，
即 ，
其中，則最小值為，
最大值為， 故C錯誤， D正確.
故選 ：AD.
12．【正確答案】
【詳解】由題意可得 ，故 的最小正周期為 .
故答案為 .
13．【正確答案】
【詳解】當時，表示拋物線的一部分；
當時，為空集，
因此當且僅當a=2時，集合表示一個點，有且只有一個元素.
故
14．【正確答案】
【詳解】
如圖，位于紅球之間的白球個數(shù)記為，
故滿足方程的解共有組，
滿足時的解有以下情形：
①若時，有，
，共7種；
同理，時，有7種；時，有7種，
去掉重復(fù)的共有18種，
②若時，有，共4種；
同理，時，有4種；時，有4種，去掉重復(fù)的共有9種，
③若，有，此時只有1種，
④若，有，與前面重復(fù)，舍去，
⑤若，有，與前面重復(fù)，舍去，
⑥若，有，與前面重復(fù)，舍去，
⑦若，有，與前面重復(fù)，舍去，
⑧若，不存在，
共有種，
連續(xù)排列的白球個數(shù)不超過13個的概率是.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)證明見解析，定值 2
【詳解】（1）由題意得 ，右焦點坐標為(c，0)，雙曲
線漸近線方程為 ，故 ，解得 ，又 ，
故 ，
故的標準方程為 .
（2）設(shè) ，
則 ，兩式相減得
若 或 ，
則AB的中點在坐標軸上，不滿足 ， 故 且 ，
即直線AB的斜率存在且不為 0 ，此時 ，即 ，
解得 ，故直線AB的斜率存在且為定值 2.

16．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由及正弦定理得 .
因為，所以，
所以 ，
所以 .
由正弦定理，得.
（2）因為，
由余弦定理可得，
整理得，即， 解得或.
因為，所以，即，故.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）在 中，由余弦定理可得:，

所以，所以 ，同理可得 ，
又因為 平面 平面
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
依題意，有 ，所以 ；
（2）以 為原點， 所在直線分別為 軸， 軸，
過點 作 軸垂直于平面 ，建立如圖所示空間直角坐標系.

在 中，由余弦定理得 ，
所以，得，
又 ，
所以 ，
由 (1) 可得平面 的一個法向量為 ，
設(shè)平面 的一個法向量為 ，
則有 ，即 ，取 .
則 ，
所以二面角 的余弦值為 .
18．【正確答案】(1)數(shù)列為遞減數(shù)列，理由見解析.
(2)證明見解析
【詳解】（1）數(shù)列為遞減數(shù)列，理由如下：
由題意可得，
則，
令函數(shù)，
則，
∴fx在上單調(diào)遞減，
則，令，
則，
，
即數(shù)列為遞減數(shù)列；
（2）令函數(shù)，
，
令函數(shù)，
則，當時，?'x0時，?'x>0，
故?x在單調(diào)遞減，在0,+∞為單調(diào)遞增，
故，則，
，
，故在定義域上單調(diào)遞增，，
令，
則，
又，
.
當時，
.
即，又時，.
所以.
19．【正確答案】(1)都是
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）記第次采摘到橙子的概率是，則第 次采摘到蘋果的概率是，
對于小明， ，由全概率公式可得:
同理，對于小王：

故小王第 2 次采摘到橙子的概率和小明第 2 次采摘到橙子的概率大小相等均為.
（2）設(shè)第次采摘時有個橙子和個蘋果，
則 ；，
由全概率公式可得:
所以，即每一次采摘到橙子的概率都相等.
（3）設(shè)第次采摘到橙子的個數(shù)為，
則，所以服從兩點分布.
記第次采摘后，累計采摘到的橙子個數(shù)是，
則 ，所以 .

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