一、選擇題
1．若集合，，則( )
A.B.C.D.
2．命題p：“”的否定是( )
A.，B.
C.，D.，
3．計算( )
A.14B.49C.D.
4．函數(shù)的圖像大致形狀是( )
A.
B.
C.
D.
5．設，若函數(shù)在上的最小值是2，則其在上的最大值是( )
A.3B.4C.5D.6
6．設，則“”是“關于x的方程有兩個負實根”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
7．下列四個數(shù)中最大的是( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列命題中正確的是( )
A.“”是“”的充分不必要條件
B.“”是“”的必要不充分條件
C.“”是“”的既不充分也不必要條件
D.“”是“”的充要條件
10．下列幾個不等式中，能取到等號的是( )
A.B.
C.D.
11．設，，下列四個命題中，正確的是( )
A.當時的單調(diào)遞增區(qū)間是和
B.當時的圖像與直線有兩個交點
C.在內(nèi)單調(diào)遞減的充要條件是
D.若的最小值是零，則
三、填空題
12．已知冪函數(shù)的圖像過點，則其解析式___________.
13．設方程的兩根是，，若不等式的解集是，則的值是___________.
14．若正數(shù)a，b滿足，則的最大值是___________.
四、解答題
15．已知命題.
(1)若不等式的解集是，求a的值；
(2)若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍
16．某醫(yī)院為改善醫(yī)療技術，2024年初以72萬元的價格購進一套醫(yī)療設備已知該套醫(yī)療設備每年獲得的總收入為40萬元，使用年后所需要的各種維護費用總計為萬元，2024年為第一年
(1)寫出該套醫(yī)療設備的利潤函數(shù)的表達式，并求的最大值；
(2)第幾年后，該套醫(yī)療設備的年平均利潤最大？
17．一般地，我們把形如的函數(shù)稱為飄帶函數(shù)，若飄帶函數(shù)在上的最小值、最大值分別為和1.
(1)確定a，b的值；
(2)求的零點
18．定義在上的函數(shù)滿足：①當時，；②對任意實數(shù)x，y都有.
(1)證明：當時，；
(2)判斷在上的單調(diào)性；
(3)解不等.
19．我們知道，若，則有不等式成立（當且僅當時等號成立）從可以得到即正數(shù)a，b，c的算術平均數(shù)的平方不大于a，b，c平方的算術平均數(shù)請運用這個結(jié)論解答下列三道題：
(1)求代數(shù)式的最大值；
(2)已知，，若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若a，b，，證明：.
參考答案
1．答案：A
解析：因為，，
所以，
故選：A
2．答案：C
解析：“”改為“”，“”改為“”，
因此是“，”.
故選：C.
3．答案：B
解析：因為.
故選：B.
4．答案：A
解析：由題設易知，而時，
冪函數(shù)在第一象限單調(diào)遞減
故選：A
5．答案：A
解析：設，
則.
因為，所以，
當時，；
當時，.
故選：A.
6．答案：D
解析：方程的判別式，
當時，的符號可正可負，
即由推不出方程有兩個負實根
反之，若方程有兩個負實根，
則，且，
因此由不能推出.
所以“”是“方程有兩個負實根”的既不充分也不必要條件
故選：D.
7．答案：C
解析：因為，
所以，
因為，
所以，
所以最大,
故選：C.
8．答案：C
解析：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點，
等價于在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，
又等價于函數(shù)的圖像與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個公共點，
因為，
由圖知，
即，解得.
故選：C.
9．答案：AD
解析：由，所以，若，
例如，則得不到，故A正確；
由，則，若，
例如，，則沒意義，
故“”是“”充分不必要條件，故B錯誤；
若“”則“”，反過來若，
例如，則，
故“”是“”的充分不必要條件，故B錯誤；
由，則，
反過來若則，
故“”是“”的充要條件，故D正確；
故選：AD.
10．答案：ABC
解析：對A，
，當且僅當時等號成立；
對B，∵，∴，
，
當且僅當時等號成立；
對C，∵，則，
所以，，
則，當且僅當時等號成立；
對D，∵，∴，
當且僅當，即時等號成立，
而，
因此中的等號取不到
故選：ABC.
11．答案：AC
解析：對于A，當時，二次函數(shù)與x軸交于點和，
畫出函數(shù)的圖像如下：
的單增區(qū)間是和，故A正確；
對于B，當時，二次函數(shù)與x軸交于點和，
頂點是，
畫出函數(shù)的圖像如下：
的圖像與直線有三個交點，故B不正確；
對于C，當時，在內(nèi)單調(diào)遞減；
當時，在內(nèi)單減，故C正確
對于D，若的最小值是零，
則，，均可以，故D不正確
故選：AC.
12．答案：
解析：設，則，解得.
故答案為：.
13．答案：19
解析：由不等式的解集是
可知：的兩根為-3，2，
所以，
所以，
所以就是，，
于是.
故答案為：19.
14．答案：
解析：因為對任意實數(shù)x，y都有，
當且僅當時等號成立，
所以，
當且僅當，
即，時等號成立
故的最大值是.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意知，-3，-2是方程的兩根，
所以，且，解得.
(2)因為，
即，所以.
因為p是q的充分不必要條件，
所以集合是集合的真子集
因此，解得.
故實數(shù)a的取值范圍是.
16．答案：(1)，最大值56
(2)第6后年平均利潤最大
解析：(1)，
因為，
所以當時，取最大值56.
(2)年平均利潤為
，
當且僅當，即時取等號，
故第6后年平均利潤最大
17．答案：(1)，或，
(2)和或和
解析：(1)當，時，是上的增函數(shù)，
所以，即，解得；
當，時，是上的減函數(shù)，
所以，即，解得；
故，或，
(2)當，時，，令，
所以的兩個零點分別是和；
當，時，，令，
所以的兩個零點分別是和；
故的零點為和或和.
18．答案：(1)證明見解析
(2)增函數(shù)
(3)
解析：(1)令，則，所以
當時，，則.
在中，
令，則，所以
(2)設，則，所以.
于是，
故在上是增函數(shù)
(3)由題意知，原不等式等價于
由(2)，在上是增函數(shù)得到，，
且，解得.
故原不等式的解集是.
19．答案：(1)
(2)
(3)證明見解析
解析：(1)當時，有，
即，
當且僅當，即時等號成立
而，
故代數(shù)式的最大值為.
(2)當，時，有，
所以，
即，
當且僅當時等號成立
因此的最小值為.
恒成立
恒成立.
故實數(shù)m的取值范圍是.
(3)因為，
所以
，
當且僅當時等號成立
故a，b，，

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