一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知函數(shù)，則從1到的平均變化率為( )
A.2B.C.D.
3．2024年度最具幸福感城市調(diào)查推選活動(dòng)于9月16日正式啟動(dòng)，在100個(gè)地級及以上的候選城市名單中，成都市入選“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為7.5
B.該組數(shù)據(jù)的極差為5
C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5
D.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7
4．若數(shù)列的前四項(xiàng)依次為2，12，112，1112，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為( )
A.B.
C.D.
5．已知點(diǎn)M，N在直線上運(yùn)動(dòng)，且，點(diǎn)P在圓上，則的面積的最大值為( )
A.B.C.20D.15
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的面積為( )
A.B.1C.D.2
7．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱上的一點(diǎn)，且，則直線與所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
8．已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，B是C的上頂點(diǎn)，的延長線交C于點(diǎn)A，若，則C的離心率是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知事件A，B，且，，則下列說法正確的是( )
A.若，則
B.若A與B互斥，則
C.若A與B相互獨(dú)立，則
D.若A與B相互獨(dú)立，則
10．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，公比，，則( )
A.B.
C.當(dāng)時(shí)，最小D.當(dāng)時(shí)，最大
11．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中一定正確的有( )
A.的圖像關(guān)于直線對稱B.
C.D.在上單調(diào)遞減
三、填空題
12．若復(fù)數(shù)，則___________.
13．若一個(gè)圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為___________.
四、雙空題
14．已知等差數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________；記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.
五、解答題
15．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的周長為.
(1)求角B的大?。?br>(2)已知，，求的面積
16．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，，E為的中點(diǎn)
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值
17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且.
(1)求函數(shù)的圖像的一個(gè)對稱中心；
(2)若，求的解析式
19．若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實(shí)軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線已知橢圓的共軛雙曲線為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，直線l（不過點(diǎn)A）與相交于M、N兩點(diǎn)，且，求點(diǎn)A到直線l的距離的最大值
參考答案
1．答案：A
解析：，
解得，故
故.
故選：A
2．答案：B
解析：
故選：B.
3．答案：C
解析：A選項(xiàng)：，
因此該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為，故A正確；
B選項(xiàng)：該組數(shù)據(jù)最大為9，最小為4，
因此極差為，故B正確；
C選項(xiàng)：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第五個(gè)和第六個(gè)數(shù)據(jù)的平均值7，故D正確，
故選：C.
4．答案：B
解析：由，，
，，
可得的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
故選：B.
5．答案：D
解析：設(shè)圓心C到直線的距離為d，
P到直線l的距離為，
又圓心坐標(biāo)為，所以，又半徑為，
則當(dāng)最大時(shí)，，
此時(shí)的面積也最大，最大值為.
故選：D.
6．答案：A
解析：如圖，，
作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為B，由拋物線的定義知，
所以的周長為，要使周長最小，
則必須使得A，P，B三點(diǎn)共線，
即點(diǎn)P在過A垂直于的直線上（圖中點(diǎn)處），
將代入中，
求得點(diǎn)，所以，
在邊上的高為1，
故其面積為.
故選：A.
7．答案：D
解析：因?yàn)椋?，?br>則，
故，
在直三棱柱中，底面，
以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)辄c(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱上的一點(diǎn)，且，
則、、、，
，，
所以，.
因此，直線與所成角的余弦值為.
故選：D.
8．答案：D
解析：設(shè)F、分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，橢圓的焦距為，連接，，
則，由，
可得，
在中，由余弦定理得，
結(jié)合，可得，
解得，
所以橢圓C的離心率.
故選：D.
9．答案：BC
解析：對于A，若，則，故A錯(cuò)誤；
對B，若A與B互斥，則，故B正確；
對于C，若A與B相互獨(dú)立，則與B相互獨(dú)立，
所以，故C正確；
對于D，若A與B相互獨(dú)立，
則，
，故D錯(cuò)誤
故選：BC.
10．答案：BC
解析：對于選項(xiàng)AB：由題意知，
由，得，
所以，得，，
所以，且，，
所以，故A錯(cuò)誤，B正確
對于選項(xiàng)CD：因?yàn)?，，，?br>所以數(shù)列為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，最小，故C正確，D錯(cuò)誤
故選：BC.
11．答案：ACD
解析：是偶函數(shù)，
，
圖像關(guān)于直線對稱，A正確；
又在上單調(diào)遞增，
，但與的正負(fù)符號不確定，
無法確定，的大小，B錯(cuò)誤；
,在上單調(diào)遞減，
，C正確；
令，得，
在上單調(diào)遞減，D正確
故選：ACD.
12．答案：
解析：,
故
故答案為：
13．答案：
解析：
過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得及其內(nèi)切圓和外接圓，
且兩圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，
所以為正三角形，
由題意的半徑為，
所以的邊長為6，
所以圓錐的底面半徑為3，
所以圓錐的側(cè)面積.
故答案為：.
14．答案：；.
解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得，
解得，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
所以，
故，
故恒成立，
故，
又，
所以是遞增數(shù)列，且當(dāng)n趨向于時(shí)，恒成立且趨向于2，
故，解得或，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：，.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意得，
由正弦定理得：，
所以，
所以，又
所以.
(2)易知角A為銳角，所以，
，
由正弦定理，
所以.
16．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)，
所以得，
又,
所以，
又，，
平面，所以平面，
(2)知，，
以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則有，
令，則有，，
平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)由，得，
令，則，解得；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
有，
又，滿足上式，
所以，得，
所以數(shù)列是等差數(shù)列
(2)由(1)知，所以，
所以，
故，
兩式相減，得，
所以.
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)由題意可知，在區(qū)間上單調(diào)，
所以當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)的圖像的一個(gè)對稱中心為.
(2)由題意可知，的最小正周期，
所以，因?yàn)椋?br>所以或，
由(1)可知，，，
因?yàn)?，所以?br>所以，或，，
若，，則，，
即，，，
易知，不存在，，使得或；
若，，
則，，
即，，，
易知，當(dāng)，
即時(shí)，，
此時(shí)，，
由，得，
所以.
綜上可知，.
19．答案：(1)
(2)12
解析：(1)由題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，
得，
所以且，
即且，
由韋達(dá)定理可得，，
.
因?yàn)椋?，?br>所以
.
所以或.
當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，合乎題意；
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
則、
因?yàn)?，所以?br>解得或（舍去）.
所以直線l恒過點(diǎn)，
所以當(dāng)直線l時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離最大，距離的最大值為.

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