山東省泰安市2024年中考數(shù)學(xué)水平提升模擬試題（含解析）

這是一份山東省泰安市2024年中考數(shù)學(xué)水平提升模擬試題（含解析），共31頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（4分）在實(shí)數(shù)|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π
2．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)6÷a3＝a3B．a(chǎn)4?a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a(chǎn)2+a2＝a4
3．（4分）2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“嫦娥四號”探測器，“嫦娥四號”進(jìn)入近地點(diǎn)約200公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)約42萬公里的地月轉(zhuǎn)移軌道，將數(shù)據(jù)42萬公里用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米
4．（4分）下列圖形：
是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
5．（4分）如圖，直線11∥12，∠1＝30°，則∠2+∠3＝（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
6．（4分）某射擊運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練中射擊了10次，成績?nèi)鐖D所示：
下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．眾數(shù)是8B．中位數(shù)是8
C．平均數(shù)是8.2D．方差是1.2
7．（4分）不等式組的解集是（ ）
A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2
8．（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（ ）km．
A．30+30B．30+10C．10+30D．30
9．（4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝119°，過點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為（ ）
A．32°B．31°C．29°D．61°
10．（4分）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些球除標(biāo)號外都相同，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸出的小球標(biāo)號之和大于5的概率為（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（ ）
A．πB．πC．2πD．3π
12．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
14．（4分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可列方程組為 ．
15．（4分）如圖，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)A、點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，若OA＝3，則陰影都分的面積為 ．
16．（4分）若二次函數(shù)y＝x2+bx﹣5的對稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解為 ．
17．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，……在直線l上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前n個(gè)正方形對角線長的和是 ．
18．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，將△AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長是 ．
三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
19．（8分）先化簡，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．
20．（8分）為弘揚(yáng)泰山文化，某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動(dòng)，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的比賽成績，根據(jù)成績（成績都高于50分），繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）：
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求出a，b的值；
（2）計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若該校共有1800名學(xué)生，那么成績高于80分的共有多少人？
21．（11分）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
22．（11分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某商場在端午節(jié)來臨之際用3000元購進(jìn)A、B兩種粽子1100個(gè)，購買A種粽子與購買B種粽子的費(fèi)用相同．已知A種粽子的單價(jià)是B種粽子單價(jià)的1.2倍．
（1）求A、B兩種粽子的單價(jià)各是多少？
（2）若計(jì)劃用不超過7000元的資金再次購進(jìn)A、B兩種粽子共2600個(gè)，已知A、B兩種粽子的進(jìn)價(jià)不變．求A種粽子最多能購進(jìn)多少個(gè)？
23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于點(diǎn)G，PF⊥BD于點(diǎn)F，如圖①，證明四邊形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如圖②，求證：AE?AB＝DE?AP；
（3）在（2）的條件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的長．
24．（13分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（3，0）、B（0，﹣2），且過點(diǎn)C（2，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且S△PBA＝4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上（AB下方）是否存在點(diǎn)M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由．
25．（14分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點(diǎn)E在AB上，且∠CEF＝90°，F(xiàn)G⊥AD，垂足為點(diǎn)C．
（1）試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；
（2）若點(diǎn)H為CF的中點(diǎn)，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由．
2024年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請把正確的選項(xiàng)選出來，每小題選對得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）
1．（4分）在實(shí)數(shù)|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π
【分析】根據(jù)絕對值的大小進(jìn)行比較即可，兩負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反爾?。?br>【解答】解：
∵||＝＜|﹣3|＝3
∴﹣＜（﹣3）
C、D項(xiàng)為正數(shù)，A、B項(xiàng)為負(fù)數(shù)，
正數(shù)大于負(fù)數(shù)，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查利用絕對值來比較實(shí)數(shù)的大小，此題要掌握性質(zhì)”兩負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反爾小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值為正數(shù)“．
2．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)6÷a3＝a3B．a(chǎn)4?a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a(chǎn)2+a2＝a4
【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及積的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此選項(xiàng)正確；
B、a4?a2＝a6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、（2a2）3＝8a6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、a2+a2＝2a2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了合并同類項(xiàng)以及積的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．（4分）2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“嫦娥四號”探測器，“嫦娥四號”進(jìn)入近地點(diǎn)約200公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)約42萬公里的地月轉(zhuǎn)移軌道，將數(shù)據(jù)42萬公里用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：42萬公里＝420000000m用科學(xué)記數(shù)法表示為：4.2×108米，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（4分）下列圖形：
是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念分別確定出對稱軸的條數(shù)，從而得解．
【解答】解：①是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項(xiàng)正確；
②是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項(xiàng)正確；
③是軸對稱圖形且有4條對稱軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
5．（4分）如圖，直線11∥12，∠1＝30°，則∠2+∠3＝（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
【分析】過點(diǎn)E作EF∥11，利用平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．
6．（4分）某射擊運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練中射擊了10次，成績?nèi)鐖D所示：
下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．眾數(shù)是8B．中位數(shù)是8
C．平均數(shù)是8.2D．方差是1.2
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差的算法進(jìn)行計(jì)算，即可得到不正確的選項(xiàng)．
【解答】解：由圖可得，數(shù)據(jù)8出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為8，故A選項(xiàng)正確；
10次成績排序后為：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位數(shù)是（8+8）＝8，故B選項(xiàng)正確；
平均數(shù)為（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C選項(xiàng)正確；
方差為[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果叫方差．
7．（4分）不等式組的解集是（ ）
A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2
【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜2，
所以不等式組的解集是﹣2≤x＜2．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．
8．（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（ ）km．
A．30+30B．30+10C．10+30D．30
【分析】根據(jù)題意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，過B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
過B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C兩港之間的距離為（30+10）km，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，三角形的內(nèi)角和，是基礎(chǔ)知識比較簡單．
9．（4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝119°，過點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為（ ）
A．32°B．31°C．29°D．61°
【分析】連接OC、CD，由切線的性質(zhì)得出∠OCP＝90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【解答】解：如圖所示：連接OC、CD，
∵PC是⊙O的切線，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些球除標(biāo)號外都相同，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸出的小球標(biāo)號之和大于5的概率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的小球的標(biāo)號之和大于5的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖如圖所示：
∵共有25種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球的標(biāo)號之和大于5的有15種結(jié)果，
∴兩次摸出的小球的標(biāo)號之和大于5的概率為＝；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
11．（4分）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（ ）
A．πB．πC．2πD．3π
【分析】連接OA、OB，作OC⊥AB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OC＝OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
【解答】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由題意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的長＝＝2π，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是弧長的計(jì)算、直角三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
【分析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為BP1的長，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如圖：
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1＝DP1，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP＝FP
由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，
∴當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，
∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值為BP1的長
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查軌跡問題、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用特殊位置解決問題，有難度．
二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 k ．
【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范圍；
【解答】解：∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k；
故答案為：k．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
14．（4分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可列方程組為 ．
【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量＝11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）﹣（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）＝13兩，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．
【解答】解：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．
15．（4分）如圖，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)A、點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，若OA＝3，則陰影都分的面積為 π ．
【分析】連接OC，作CH⊥OB于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)勾股定理求出BD，證明△AOC為等邊三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：連接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝＝3，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝，
∴陰影都分的面積＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，
故答案為：π．
【點(diǎn)評】本題考查的是扇形面積計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握扇形面積公式、三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）若二次函數(shù)y＝x2+bx﹣5的對稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解為 x1＝2，x2＝4 ．
【分析】根據(jù)對稱軸方程求得b，再解一元二次方程得解．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx﹣5的對稱軸為直線x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
則x2+bx﹣5＝2x﹣13可化為：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得，x1＝2，x2＝4．
故意答案為：x1＝2，x2＝4．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用拋物線的對稱性求得b的值是解題的關(guān)鍵．
17．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，……在直線l上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前n個(gè)正方形對角線長的和是 （2n﹣1） ．
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以求得點(diǎn)A1，A2，A3，A4的坐標(biāo)，從而可以得到前n個(gè)正方形對角線長的和，本題得以解決．
【解答】解：由題意可得，
點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)A4的坐標(biāo)為（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n個(gè)正方形對角線長的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），
設(shè)S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，則2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
則2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n個(gè)正方形對角線長的和是：×（2n﹣1），
故答案為：（2n﹣1），
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
18．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，將△AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長是 2 ．
【分析】連接EC，利用矩形的性質(zhì)，求出EG，DE的長度，證明EC平分∠DCF，再證∠FEC＝90°，最后證△FEC∽△EDC，利用相似的性質(zhì)即可求出EF的長度．
【解答】解：如圖，連接EC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴AE＝DE＝AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∵EC＝＝＝3，
∴，
∴FE＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)妮o助線，連接CE，構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果．
三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
19．（8分）先化簡，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將a的值代入計(jì)算可得．
【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
當(dāng)a＝時(shí)，
原式＝＝1﹣2．
【點(diǎn)評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及二次根式的運(yùn)算能力．
20．（8分）為弘揚(yáng)泰山文化，某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動(dòng)，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的比賽成績，根據(jù)成績（成績都高于50分），繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）：
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求出a，b的值；
（2）計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若該校共有1800名學(xué)生，那么成績高于80分的共有多少人？
【分析】（1）抽取學(xué)生人數(shù)10÷25%＝40（人），第2組人數(shù) 40×50%﹣8＝12（人），第4組人數(shù) 40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；
（2）＝27°，所以“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)為27°；
（3）成績高于80分：1800×50%＝900（人），所以成績高于80分的共有900人．
【解答】解：（1）抽取學(xué)生人數(shù)10÷25%＝40（人），
第2組人數(shù) 40×50%﹣8＝12（人），
第4組人數(shù) 40×50%﹣10﹣3＝7（人），
∴a＝12，b＝7；
（2）＝27°，
∴“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)為27°；
（3）成績高于80分：1800×50%＝900（人），
∴成績高于80分的共有900人．
【點(diǎn)評】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．
21．（11分）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）先求出OB，進(jìn)而求出AD，得出點(diǎn)A坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）分三種情況，①當(dāng)AB＝PB時(shí)，得出PB＝5，即可得出結(jié)論；
②當(dāng)AB＝AP時(shí)，利用點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于AD對稱，得出DP＝BD＝4，即可得出結(jié)論；
③當(dāng)PB＝AP時(shí)，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，進(jìn)而建立方程求解即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，
將點(diǎn)A（9，3），B（5，0）代入直線y＝kx+b中，，
∴，
∴直線AB的解析式為y＝x﹣；
（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①當(dāng)AB＝PB時(shí)，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②當(dāng)AB＝AP時(shí)，如圖2，
由（1）知，BD＝4，
易知，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于AD對稱，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③當(dāng)PB＝AP時(shí)，設(shè)P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．
【點(diǎn)評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
22．（11分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某商場在端午節(jié)來臨之際用3000元購進(jìn)A、B兩種粽子1100個(gè)，購買A種粽子與購買B種粽子的費(fèi)用相同．已知A種粽子的單價(jià)是B種粽子單價(jià)的1.2倍．
（1）求A、B兩種粽子的單價(jià)各是多少？
（2）若計(jì)劃用不超過7000元的資金再次購進(jìn)A、B兩種粽子共2600個(gè)，已知A、B兩種粽子的進(jìn)價(jià)不變．求A種粽子最多能購進(jìn)多少個(gè)？
【分析】（1）設(shè)B種粽子單價(jià)為x元/個(gè)，則A種粽子單價(jià)為1.2x元/個(gè)，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用3000元購進(jìn)A、B兩種粽子1100個(gè)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)A種粽子m個(gè)，則購進(jìn)B種粽子（2600﹣m）個(gè)，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總價(jià)不超過7000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)B種粽子單價(jià)為x元/個(gè)，則A種粽子單價(jià)為1.2x元/個(gè)，
根據(jù)題意，得：+＝1100，
解得：x＝2.5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2.5是原方程的解，且符合題意，
∴1.2x＝3．
答：A種粽子單價(jià)為3元/個(gè)，B種粽子單價(jià)為2.5元/個(gè)．
（2）設(shè)購進(jìn)A種粽子m個(gè)，則購進(jìn)B種粽子（2600﹣m）個(gè)，
依題意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A種粽子最多能購進(jìn)1000個(gè)．
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于點(diǎn)G，PF⊥BD于點(diǎn)F，如圖①，證明四邊形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如圖②，求證：AE?AB＝DE?AP；
（3）在（2）的條件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的長．
【分析】（1）想辦法證明AG＝PF，AG∥PF，推出四邊形AGFP是平行四邊形，再證明PA＝PF即可解決問題．
（2）證明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解決問題．
（3）利用（2）中結(jié)論．求出DE，AE即可．
【解答】（1）證明：如圖①中，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四邊形AGFP是平行四邊形，
∵PA＝PF，
∴四邊形AGFP是菱形．
（2）證明：如圖②中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴AE?AB＝DE?AP；
（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD＝?BD?AE＝?AB?AD，
∴AE＝，
∴DE＝＝，
∵AE?AB＝DE?AP；
∴AP＝＝．
【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
24．（13分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（3，0）、B（0，﹣2），且過點(diǎn)C（2，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且S△PBA＝4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上（AB下方）是否存在點(diǎn)M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式．
（2）設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，用t代入二次函數(shù)表達(dá)式得其縱坐標(biāo)．把t當(dāng)常數(shù)求直線BP解析式，進(jìn)而求直線BP與x軸交點(diǎn)C坐標(biāo)（用t表示），即能用t表示AC的長．把△PBA以x軸為界分成△ABC與△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到關(guān)于t的方程，解之即求得點(diǎn)P坐標(biāo)．
（3）作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E，根據(jù)軸對稱性質(zhì)即有AB垂直平分OE，連接BE交拋物線于點(diǎn)M，即有BE＝OB，根據(jù)等腰三角形三線合一得∠ABO＝∠ABM，即在拋物線上（AB下方）存在點(diǎn)M使∠ABO＝∠ABM．設(shè)AB與OE交于點(diǎn)G，則G為OE中點(diǎn)且OG⊥AB，利用△OAB面積即求得OG進(jìn)而得OE的長．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，應(yīng)用到Rt△OEF即求得OF、EF的長，即得到點(diǎn)E坐標(biāo)．求直線BE解析式，把BE解析式與拋物線解析式聯(lián)立，求得x的解一個(gè)為點(diǎn)B橫坐標(biāo)，另一個(gè)即為點(diǎn)M橫坐標(biāo)，即求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴ 解得：
∴二次函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣2
（2）如圖1，設(shè)直線BP交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D
設(shè)P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）
∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2
設(shè)直線BP解析式為y＝kx﹣2
把點(diǎn)P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2
∴k＝t﹣
∴直線BP：y＝（t﹣）x﹣2
當(dāng)y＝0時(shí)，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝
∴C（，0）
∵t＞3
∴t﹣2＞1
∴，即點(diǎn)C一定在點(diǎn)A左側(cè)
∴AC＝3﹣
∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC?OB+AC?PD＝AC（OB+PD）＝4
∴＝4
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）
∴t2﹣t﹣2＝
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）
（3）在拋物線上（AB下方）存在點(diǎn)M，使∠ABO＝∠ABM．
如圖2，作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E，連接OE交AB于點(diǎn)G，連接BE交拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F
∴AB垂直平分OE
∴BE＝OB，OG＝GE
∴∠ABO＝∠ABM
∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°
∴OA＝3，OB＝2，AB＝
∴sin∠OAB＝，cs∠OAB＝
∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OG
∴OG＝
∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°
∴∠OAB＝∠BOG
∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cs∠BOG＝
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝
∴E（，﹣）
設(shè)直線BE解析式為y＝ex﹣2
把點(diǎn)E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣
∴直線BE：y＝﹣x﹣2
當(dāng)﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝
∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為．
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，一元二次方程的解法，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．第（3）題點(diǎn)的存在性問題，可先通過畫圖確定滿足∠ABO＝∠ABM的點(diǎn)M位置，通過相似三角形對應(yīng)邊成比例或三角函數(shù)為等量關(guān)系求線段的長．
25．（14分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點(diǎn)E在AB上，且∠CEF＝90°，F(xiàn)G⊥AD，垂足為點(diǎn)C．
（1）試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；
（2）若點(diǎn)H為CF的中點(diǎn)，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由．
【分析】（1）過點(diǎn)F作FM⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)M，可證四邊形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可證△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；
（2）延長GH交CD于點(diǎn)N，由平行線分線段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性質(zhì)可得DH⊥HG．
【解答】解：（1）AG＝FG，
理由如下：如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)M
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，F(xiàn)G⊥AD
∴四邊形AGFM是矩形
∴AG＝MF，AM＝FG，
∵∠CEF＝90°，
∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC
∴△EFM≌△CEB（AAS）
∴BE＝MF，ME＝BC
∴ME＝AB＝BC
∴BE＝MA＝MF
∴AG＝FG，
（2）DH⊥HG
理由如下：如圖，延長GH交CD于點(diǎn)N，
∵FG⊥AD，CD⊥AD
∴FG∥CD
∴，且CH＝FH，
∴GH＝HN，NC＝FG
∴AG＝FG＝NC
又∵AD＝CD，
∴GD＝DN，且GH＝HN
∴DH⊥GH
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明△EFM≌△CEB是本題的關(guān)鍵．
組別
分?jǐn)?shù)
人數(shù)
第1組
90＜x≤100
8
第2組
80＜x≤90
a
第3組
70＜x≤80
10
第4組
60＜x≤70
b
第5組
50＜x≤60
3
組別
分?jǐn)?shù)
人數(shù)
第1組
90＜x≤100
8
第2組
80＜x≤90
a
第3組
70＜x≤80
10
第4組
60＜x≤70
b
第5組
50＜x≤60
3