類型1　與旋轉有關的探究【例1】（2023·洛陽三模T23）已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針旋轉（旋轉角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF.
（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數量關系是?　AE＝CF　?.
（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.
解：（2）結論仍成立.證明：∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB.∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF.∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF.
（3）如圖3，延長AO至點D，使得OD＝OA，連接DE.當CF＝4，OA＝5，BC＝6時，求DE的長.
·? ?方法總結·
解與圖形旋轉有關的探究題的一般思路1.類比、拓展探究題一般會有三問，每一問都是對前一問的升華和知識的遷移應用，解題的一般思路為：（1）第一問通過操作發(fā)現(xiàn)，找到解決問題的思路和方法；（2）第二問通常是在第一問的基礎上，改變其中的一個條件，只需觀察改變的條件，即可利用同樣的思路解決問題；（3）第三問通常將原題中的特殊情況推廣到一般情況，利用前兩問的做題思路進行分類求解.
類型2　與軸對稱有關的探究【例2】（2023·白銀改編）【模型建立】（1）如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點C關于AD的對稱點F在BD邊上.
①求證：AE＝CD；②用等式寫出線段AD，BD，DF的數量關系：?　AD＝BD＋DF　?.
（1）①證明：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，
∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD，
【模型應用】（2）如圖2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足為D，點C關于AD的對稱點F在BD邊上.用等式寫出線段AD，BD，DF的數量關系，并說明理由.
理由如下：如圖，過點B作BE⊥AD于點E.
∵點C與點F關于AD對稱，
∴∠ADC＝∠ADB.
又∵CD⊥BD，∴∠ADC＝∠ADB＝45°.
又∵BE⊥AD，∴△BDE是等腰直角三角形.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，
（1）操作判斷如圖1，正方形紙片ABCD，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F.根據以上操作，請直接寫出圖1中BE與CF的數量關系：?　BE＝CF　?.
類型3　與動點有關的探究【例3】（2023·河南省實驗三模T23）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數學活動.
（1）如圖1，△OAB為等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，將△OAB繞點O旋轉180°，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF，則∠BAE＝?　90　?°，OF與DE的數量關系是?　DE＝2OF　?；
類型1　與旋轉有關的探究1.（2023·河南省實驗四模T23）九年級一班同學在數學老師的指導下，以“等腰三角形的旋轉”為主題，開展數學探究活動.操作探究：
遷移探究：（2）如圖2，（1）中的其他條件不變，當△OAB繞點O逆時針旋轉，點D正好落在∠AOB的平分線上，得到△ODE，求出此時∠BAE的度數及OF與DE的數量關系；
拓展應用：（3）如圖3，在等腰三角形OAB中，OA＝OB＝4，∠AOB＝90°.將△OAB繞點O旋轉，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF.當∠EAB＝15°時，請直接寫出OF的長.
2.（2023·黃岡改編）【問題呈現(xiàn)】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，連接AD，BE，探究AD，BE的位置關系.【問題探究】（1）如圖1，當m＝1時，直接寫出直線AD，BE的位置關系：?　AD⊥BE　?；
（2）如圖2，當m≠1時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.
解：（2）（1）中的結論成立.證明如下：
如圖，延長BE交AC于點H，交AD于點N.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE.
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE.
∵∠CAB＋∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴∠CAB＋∠ABE＋∠DAC＝90°.
類型2　與軸對稱有關的探究3.（2023·安陽二模）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師帶領同學們以“正方形和矩形的折疊”為主題開展數學活動.
（1）操作判斷操作一：將正方形紙片ABCD依次沿對角線AC，BD對折，把紙片展平，折痕的交點為O；操作二：在AB上取一點E，在BC上取一點F，沿EF折疊，使點B落在點O處，然后延長EO交DC于點G，連接FG.如圖1是經過以上兩次操作后得到的圖形，則線段EF和FG的數量關系是?　EF＝FG　?；
（2）遷移思考圖2是把矩形紙片ABCD按照（1）中的操作一和操作二得到的圖形，請判斷AE，EF，F(xiàn)C三條線段之間有什么數量關系，并僅就圖2證明你的判斷；
證明：由操作一得點O是矩形對角線的交點，∴OA＝OC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠EAO＝∠GCO，∠AEO＝∠CGO，∴△OAE≌△OCG（AAS），∴AE＝CG，OE＝OG.由折疊的性質，得∠EOF＝∠ABC＝90°，即OF⊥EG，∴OF為EG的垂直平分線，∴EF＝FG.在Rt△FCG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴AE2＋CF2＝EF2.
解：（2）AE2＋CF2＝EF2.
4.（2023·廣西）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數學趣味，我們可以通過折紙開展數學探究活動，探索數學奧秘.【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經過點A，得到折痕AM，點B，E的對應點分別為B'，E'，展平紙片，連接AB'，BB'，BE'.請完成：
（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關系；
解：（1）∠1＝∠2＝∠3.
（2）證明（1）中的猜想.
（2）證明：由折疊的性質，得AB'＝BB'，AB＝AB'，AE＝AE'，AE＝BE，∴AB'＝BB'＝AB，AE'＝B'E'，∴△ABB'是等邊三角形.∵AE'＝B'E'，∠ABB'＝60°，∴∠1＝∠2＝30°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝90°－60°＝30°.∴∠1＝∠2＝∠3.
【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連接BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為B'，P'，展平紙片，連接BB'，P'B'.請完成：
（3）證明：BB'是∠NBC的一條三等分線.
（3）證明：如圖，連接PB'.
由折疊的性質，得BB'＝PB'，PB＝P'B'，∠PBB'＝∠P'B'B.
∵折痕B'E⊥AB，BB'＝PB'，
∵四邊形ABCD為矩形，∴∠EBC＝90°，
∴CB⊥AB，∴B'E∥BC，
∴△PBB'≌△P'B'B（SAS），
∴BB'是∠NBC的一條三等分線.
類型3　與動點有關的探究5.如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AB＝5.D為底邊BC上一動點，連接AD，以AD為斜邊向左上方作等腰直角三角形ADE，連接BE.
觀察猜想：（1）當點E落在線段AB上時，直接寫出EB，ED的數量關系：EB??。健?ED.
類比探究：（2）如圖2，當點D在線段BC上運動時，請問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.
解：（2）（1）中的結論仍然成立.證明如下：
如圖，取BC的中點F，連接EF，AF.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BF＝CF，
∴AF⊥BC，AF＝CF＝BF，
∵△ADE，△AFC都是等腰直角三角形，
∴△EAF∽△DAC，
∴∠EFA＝∠DCA＝45°.
∵∠BFA＝90°，∴∠EFB＝∠EFA＝45°.
∴△EFB≌△EFA（SAS），
∵AE＝DE，∴EB＝ED.
6.【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，點E為CD邊上一點（不與端點重合），連接BE，作點D關于BE的對稱點D'，DD'的延長線與BC的延長線交于點F，連接BD'，D'E.
①小明探究發(fā)現(xiàn)：當點E在CD上移動時，△BCE≌△DCF.并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完整：證明：延長BE交DF于點G.……②進一步探究發(fā)現(xiàn)，當點D'與點F重合時，∠CDF＝?　22.5　?°.
【類比遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD為矩形，點E為CD邊上一點，連接BE，作點D關于BE的對稱點D'，DD'的延長線與BC的延長線交于點F，連接BD'，CD'，D'E.當CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3時，求CD'的長.
由（1）①得，∠EBC＝∠FDC，
又∵∠ECB＝∠EGD＝90°，
∴△ECB∽△EGD，
∵EG是△DCD'的中位線，

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